Einführung in Octave / Matlab

 

 

 

von

 

Rolf Wirz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Version 1.3.1   vom 23.09.2007 (mit Updates vom 21. 10 2009 / 17. 1. 2010)

 

 

 

 

Matlab_Octave00.rtf  erstellt mit MS-Word

  

 

   

 

 

© Rolf Wirz

2006 / 07 / 09 / 10

 

 

Adresse des Autors:

Hochschule für Architektur, Bau und Holz HSB

Pestalozzistrasse 20, CH-3400 Burgdorf

Tel. +41 (0)34 426 42 30

  

     

  

 

  

 

INHALTSVERZEICHNIS

Einführung in Octave / Matlab  1

INHALTSVERZEICHNIS  2

Einführung in Octace / Matlab  3

Herkunft von Matlab, Geschichte und daraus folgende Situation bei der Darstellung von Zahlen (Matlab_Octave001.RTF) 3

Etwas herumspielen mit Octave / MATLAB (Matlab_Octave002.RTF): 4

Downloads aus dem Internet 4

Octave starten. 4

Help, simple Arithmetik. 4

Simple Arithmetik: 5

Arbeiten mit Funktionen: 5

Spiele etwas mit MATLAB. 6

Arbeiten mit Variablen und Befehlsketten. 6

Speichern und laden. 6

Etwas spielen mit Plots und Funktionen (Beispiele) 7

Grundkenntnisse: Arithmetik, Funktionen, Formate, Loops, Fehler, löschen,.... (Matlab_Octave003.RTF) 8

Zahlenformate. 8

Schlaufen. 8

Arithmetische Operationen, Wurzel, Fehler, kleinste Zahl 9

Clear, beep, who. 9

Einige Funktionen und Konstanten: exp, log, e, floor, round, rem, sign. 9

Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt 10

Imaginäre Einheit, real, imag, conj 10

Komposition von Vektoren, Kenngrössen (Matlab_Octave004.RTF) 11

(Vektoren sind hier Arrays resp. Listen.) 11

Sequenzen mit Vektoren: Elementextraktion, Transponierte, Vektorenerzeugung. 11

Probiere die folgenden Sequenzen mit Vektoren am Computer aus: 11

Vektoroperationen, diskrete Plots (Matlab_Octave005.RTF:) 14

length, size, sum.. 14

Addition einer Konstante, Addition von Vektoren, Operationen komponentenweise ausführen. 15

Sortieren, Maximum, Minimum, Mittelwert 15

Elemente finden unter gesetzten Bedingungen, rechnen unter Bedingungen. 16

Plots  16

Plots (Matlab_Octave006.RTF) 17

Probiere die folgenden verschiedenartigen Plots aus! 17

Gitter, Plots übereinanderlegen, Labels, Unterfenster 18

Graphikfenster löschen, leeres Fenster öffnen, Plot speichern. 18

Ploteigenschaften anzeigen und ändern, Graphik drucken. 19

Vektoren, Matrizen, Gleichungssysteme (Matlab_Octave007.RTF) 19

Matrix eingeben, Element abfragen, Größe der Matrix abfragen. 19

Elemente umordnen, als Vektor darstellen. 20

Matrixprodukt, Elemente quadrieren. 20

Inverse, Transponierte, Gleichung mit der Inversen lösen. 21

Gauss-Verfahren auf Matrix oder erweiterte Matrix anwenden. 22

Diverse Gleichungslösungsmethoden. 22

Was passiert hier?. 23

Manipulation von Vektoren, Beispiel einer Funktion, Aufsummieren von Teillängen (Matlab_Octave008.RTF) 23

Vektoren manipulieren: Verlängern, Elemente auswählen, Elemente anders einfügen u.s.w. 23

Beispiel einer eigenen Funktion (in Octave) 24

Eigene Funktionen definieren in Matlab. 25

Aufsummieren von Teillängen (Quadratwurzeln), die aus zwei Vektoren gewonnen werden (alle x- und y-Werte von Punkten der Ebene als zwei Vektoren) 26

Spezielle Matrizen, Determinante (Matlab_Octave009.RTF) 26

Untersuchung diverser Matrix-Typen. 26

Determinante. 28

Differenzieren und Integrieren (Matlab_Octave010.RTF) 28

Problematik. 28

Integration (Beispiel) 29

3D-Graphiken (Matlab_Octave011.RTF) 29

Beispiel 1: 29

Beispiel 2: 30

Wie weiter?. 39

Literatur 39

 

Top

 

Hinweis:  Matlab_Octave001.RTF“ ist ein File-Name. Dieses File kann im Verzeichnis, in dem diese kurze Einführung gefunden worden ist, zu Copy-Paste-Zwecken beim Arbeiten mit Matlab heruntergeladen werden.

 

 

   

Einführung in Octace / Matlab

 

von Rolf Wirz

 

Herkunft von Matlab, Geschichte und daraus folgende Situation bei der Darstellung von Zahlen (Matlab_Octave001.RTF)

 

Top

 

Nachfolgend werden einige erwähnenswerte Fakten stichwortartig wiedergegeben:

 

·        Octave ist ein Clone von Matlab (Nachahmung mit Einschränkungen). Octave ist „Public domaine Software“ (gratis). Download siehe im folgenden Kapitel.

·        Matlab: Numerikprogramm, rechnet mit Approximationen, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/MATLAB, http://en.wikipedia.org/wiki/MATLAB

·        MATLAB: Abkürzung für "MATrix LABoratory". MATLAB wurde in den späten 1970-Jahre erfunden durch Cleve Moler, Chef des Computer Science Department der University von New Mexico. MATLAB wurde damals entworfen um den Studenten Zugang zu LINPACK und EISPACK zu ermöglichen, ohne dass zuerst Fortran gelernt werden musste. Das Paket hatte sich schnell verbreitet. Der Ingenieur Jack Little lernte es während einem Besuch 1983 an der Stanford University 1983 kennen und erkannte sein wirtschaftliches Potential. Zusammen mit Steve Bangert wurde das Packet in C umgeschrieben (JACKPAC) und 1984 die Firma MathWorks gegründet....

·        Matlab war ursprünglich eine Fortranroutinen-Sammlung. Das sieht man dem Programm heute noch an (single und double-Precision).

·        Traditionell wurde es oft eingeführt bei Ingenieuren.

·        In der Technik: Praktisch findet man meistens nur Approximationen von Massen (Messungen)

·        Datentypen: Integer => 2 Byte, Bereich -32768 bis 32767

·        Real: 8 Bytes 16 Halbbytes, Ziffern Platz in Halbbyte ==> 15 Zeichen

·        Problem: Binär werden abbrechende Dezimalbrüche oft periodisch ==> Näherungen, Fehler (1 ungefähr auf 1016 genau)

·        Problem bei Summation: Grössere Zahlen zuerst  ===> Man beginnt so mit dem grösserem Fehler. Einfluss auf die genaueren Stellen bei den kleineren Zahlen: Zählen nur wenig mit, Fehler hier also grösser.

·        Besser mit kleineren Summanden zu summieren beginnen.....

·        Problem der Operationsabfolge bei Berechnungen: Ausdrücke sind oft so umformbar, dass genauere oder ungenauere Resultate entstehen (die Fehlergrösse ist durch den Weg beeinflussbar).

·        Bsp.: Rekursives Berechnen von abgebrochenen Reihen ist oft besser....

 

(Matlab_Octave001.RTF: File  im Download-Menü mit dem Inhalt des Kapitels für copy-paste.)

    

   

Etwas herumspielen mit Octave / MATLAB (Matlab_Octave002.RTF):

 

Top

Downloads aus dem Internet

 

Octave für Windows 95/98/NT/2000, Ghostscript 

Gnuplot (für Octave)

 

Octave starten

 

Top

 

Starten:

Programm wählen in der Programmsammlung....

(man muss wissen, wo auf dem jeweiligen Computer ein Startbefehl existiert, bei Windows wird ein Icon erzeugt, z.B. unter Start – Programme – oder auf dem Desktop)

 

Beenden:

exit  ENTER:   Beendet das Programm.

Help, simple Arithmetik

 

Top

 

 

Die Eingabe:   >> help cos  ENTER   erzeugt

 

cos is a built-in mapper function

 

 - Mapping Function:  cos (X)

     Compute the cosine of each element of X.

 

Additional help for built-in functions, operators, and variables

is available in the on-line version of the manual.  Use the command

`help -i <topic>' to search the manual index.

 

Help and information about Octave is also available on the WWW

at http://www.octave.org and via the help-octave@bevo.che.wisc.edu

mailing list.

 

helpdesk  ENTER: Funktioniert nicht in Octave, ebenso "doc"

Jedoch funktioniert help

 

Eingaben erzeugen jeweils eine Ausgabe ans (answer ein Speicherplatzinhalt)

 

Achtung Problem bei Octave: Copy-paste funktioniert im Gegensatz zu Matlab nicht!

Dafür kann man mit den Pfeiltasten frühere Eingaben zurückscrollen und abändern.

  

Simple Arithmetik:

 

Top

 

>> 1+2

ans = 3

 

>> 1+4.65

ans = 5.650

 

>> 2*3

ans = 6

 

>> 2/3

ans = 0.66667

 

>> 2^3

ans = 8

 

>> 2^(1/2)

ans = 1.4142

 

>> sqrt(2)

ans = 1.4142

 

>> ans

ans = 1.4142

   

Arbeiten mit Funktionen:

 

Top

 

>> cos(pi)     

ans = -1

 

>> cos(0.5)

ans = 0.87758

 

>> cos(pi)     

ans = -1

 

>> cos(0.5)

ans = 0.87758

  

Spiele etwas mit MATLAB

 

Top

  

Scrolle mit den Pfeiltasten. Probiere dann die folgenden Befehle aus, wenn es sonst nicht geht mit help:

 

cos, acos, cosh, acosh

sin, asin, sinh, asinh

tefunc, dst, idst

 

Wie man aus einigen Beispielen sehen kann, ist der Befehlsumfang von Octave kleiner

als derjenige von MATLAB.

  

Arbeiten mit Variablen und Befehlsketten

 

Top

 

>> x=1.8; X=1e-4; x*X

ans = 0.00018000

 

Mittelwert:

 

>> a=2.65; b=1.3; c=5.5; m=(a+b+c)/3

m = 3.1500

 

Ausgabe auf später aufsparen:

 

>> u=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7;

>> u

u = 0.75952

 

Speichern und laden

 

Top

  

Das Speichern und Laden illustrieren wir an folgendem Beispiel:

 

Wir starten Octave neu.

Eingabe einer Variablen und speichern:

  

>> x=1

x = 1

>> save('C://work_loeschen/myFile')

 

Achtung auf den Pfad! In einem Computernetzwerk muss das verwendete Laufwerk nicht existieren.

Verwende dann ein anderes, wenn möglich eigenes Laufwerk.

 

Jetzt beenden wir beenden und starten das Programm neu. Die Variable ist dann gelöscht.

 

>> load('C://work_loeschen/myFile2') 

 

Nun fragen können wir die neu geladene Variable ab:                                                                                                            

 

>> x

x = 1

 

Achtung: Keine Sessions abspeichern, in der schon Ladebefehle drin sind. Bei neuen

Laden wird dann sofort wieder ein Ladebefehl aktiviert, was in einem Loop enden könnte.

 

clear löscht den Speicher, clear x die Variable x:

 

>> x=1

x = 1

>> clear x

>> x

error: `x' undefined near line 4 column 1

>>

>> x=1; y=2

y = 2

>> clear

>> y

error: `y' undefined near line 6 column 1

 

>> save('C://work_loeschen/myFile')

  

Etwas spielen mit Plots und Funktionen (Beispiele)

 

Top

    

Wir definieren eine Funktion, den Definitionsbereich und ploten dies.

Wandle die Grössen etwas ab und schaue, was passiert! (Plot è in neuem Fenster!)

 

>> a=2; r=0.5;x=0:0.1:10;y=x ./(1+a.*x+r.*x.^2);plot(x,y);  http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/out1.jpg

 

>> x=0:0.1:pi;y=sin(x);plot(x,y)                 Output siehe     http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/out2.jpg

 

Workspace abfragen, nachdem wieder Variablen definiert worden sind:

 

>> whos

 

*** local user variables:

 

prot  type                       rows   cols  name

====  ====                       ====   ====  ====

 rwd  scalar                        1      1  X

 rwd  scalar                        1      1  a

 rwd  scalar                        1      1  b

 rwd  scalar                        1      1  c

 rwd  scalar                        1      1  m

 rwd  scalar                        1      1  u

 rwd  scalar                        1      1  x

   

Grundkenntnisse: Arithmetik, Funktionen, Formate, Loops, Fehler, löschen,.... (Matlab_Octave003.RTF)

 

Top

   

Zahlenformate

   

Probiere, die folgenden Sequenzen am Computer aus.

 

>> 1/3                         (Am Ende einer solchen Zeile immer ENTER drücken!)                                                                                                     

ans = 0.33333           (Genauigkeit in der Regel 8 Bytes oder Zeichen inkl. +/- etc., 8 Bit pro Byte)

 

>> realmax                 (Grösste darstellbare Zahl)

realmax =  1.7977e+308

 

>> b=realmax;

 

>> c=b+100000000

c =  1.7977e+308

 

>> c=b+1e+308

c = Inf                           (Unendlich, da nicht grösser darstellbar)

 

>> format long             (In Fortran IV double precision)

 

Schlaufen

 

Top

  

>> x=0; for i=1:10000 x=x+1/i^2;end   (Schlaufenprogrammierung)

 

>> x

x = 1.64483407184806

 

>> x=0; for i=10000:-1:1 x=x+1/i^2; end

 

>> x

x = 1.64483407184806

 

>> format short          (In Fortran IV single precision)

 

 

>> x=0; for i=1:10000 x=x+1/i^2; end

 

>> x

x = 1.64

 

>> x=0; for i=10000:-1:1 x=x+1/i^2; end

 

>> x

x = 1.64

 

>> format long

  

Arithmetische Operationen, Wurzel, Fehler, kleinste Zahl

 

Top

  

>> a=sqrt(987600)          (Quadratwurzel)

a = 993.780659904388

 

>> b=sqrt(987599)          (Quadratwurzel)

 

b = 993.780156775129

 

>> a-b

ans =   0.0005031292585045

 

>> 1/(a+b)                 (x+y)(x-y) = x^2-y^2,  x-y = (x^2-y^2)/(x+y)

ans =   0.0005031292585404

 

>> c=a-b

c =   0.0005031292585045

 

>> d=1/(a+b)

d =   0.0005031292585404

 

>> c-d

ans =  -3.59550713854850e-14     (Fehler!)

 

>> beep           (Es ertönt ein Beep-Ton)

 

>> realmin        (Kleinste darstellbare Zahl)

realmin =  2.22507385850720e-308

  

Clear, beep, who

 

Top

   

>> clear d         (d löschen)

 

>> beep           (Es ertönt ein Beep-Ton)

 

>> who              (Situation, Variablen anzeigen)

 

*** currently compiled functions:

 

beep  puts

 

*** local user variables:

 

a  b  c  i  x

  

Einige Funktionen und Konstanten: exp, log, e, floor, round, rem, sign

 

Top

   

>> exp(e)            (e hoch e)

ans = 15.1542622414793

 

>> exp(1)            (e hoch 1)

ans = 2.71828182845905

 

>> log(1.4)            (Logarithmus naturalis von 1.4)

ans = 0.336472236621213

 

>> log10(1.4)            (10-er Logarithmus von 1.4)

ans = 0.146128035678238

 

>> log10(10)            (10-er Logarithmus von 10)

ans = 1

 

>> log(e)                 (Logarithmus naturalis von e)

ans = 1

 

>> e                        (Eulersche Zahl e)

e = 2.71828182845905

 

>>

>> floor(pi)              (Nächst kleinere ganze Zahl)

 

ans = 3

 

>> round(pi+0.5)          (Rundung)

ans = 4

 

>> rem(5,6)             (Divisionsrest)

 

ans = 5

 

>> rem(70,12)

ans = 10

 

>> sign(-4)            (Signum-Funktion)

ans = -1

  

Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt

 

Top

 

>> u=[3,4,6]; v=[1,2,3]; dot(u,v)   (Vektoren und Skalarprodukt)

ans = 29

 

>> cross(u,v)        (Vektorprodukt)

ans =

                   0                  -3                   2

  

Imaginäre Einheit, real, imag, conj

 

Top

   

>> j                     (Imaginäre Einheit, i ist vorher als Index missbraucht worden)

j = 0 + 1i

 

>> i

i = 1

 

>> j^2

ans = -1

 

>> real(j+1)                   (Realanteil)

ans = 1

 

>> g=j+2; conj(g)                   (Konjugiert komplexe Zahl)

ans = 2 - 1i

 

>> imag(g)                   (Imaginäranteil)

ans = 1

 

>> g=(3+j); imag(g)

ans = 1

 

>> g=1+3j; imag(g)

ans = 3

     

Komposition von Vektoren, Kenngrössen (Matlab_Octave004.RTF)

(Vektoren sind hier Arrays resp. Listen.)

   

Top

 

Sequenzen mit Vektoren: Elementextraktion, Transponierte, Vektorenerzeugung

    

Probiere die folgenden Sequenzen mit Vektoren am Computer aus:

 

>> a=[3.4 2.9 6 -4.76 8]              

                        (Eingabe eines Vektors mit den angegebenen Komponenten)

a =

 

   3.40000   2.90000   6.00000  -4.76000   8.00000

 

>> a(4)               (4. Element des Vektors)

ans = -4.7600

 

>> a(3)               (2. Element des Vektors)

 

ans = 6

 

>> b=[3.4; 2.9; 6; -4.76; 8]               (Eingabe eines Spaltenvektors mit geg. Komp. )   

b =

 

   3.40000

   2.90000

   6.00000

  -4.76000

   8.00000

 

>> a1=a'               (a wird transponiert)

a1 =

 

   3.40000

   2.90000

   6.00000

  -4.76000

   8.00000

 

>> c=0:7               (Zeilenvektor mit den Elementen von 0 bis 7, Schrittweite 1)

c =

  0  1  2  3  4  5  6  7

 

>> x=1:0.1:3               (Schrittweite 0.1 )

x =

 Columns 1 through 8:

 

  1.00000  1.10000  1.20000  1.30000  1.40000  1.50000  1.60000  1.70000

 

 Columns 9 through 16:

 

  1.80000  1.90000  2.00000  2.10000  2.20000  2.30000  2.40000  2.50000

 

 Columns 17 through 21:

 

  2.60000  2.70000  2.80000  2.90000  3.00000

 

>> y=linspace(0,1.5*pi)               (Zeilenvektor, 100 Komponenten von 0 bis 1.5 pi)

y =

 

 Columns 1 through 8:

 

  0.00000  0.04760  0.09520  0.14280  0.19040  0.23800  0.28560  0.33320

 

 Columns 9 through 16:

 

  0.38080  0.42840  0.47600  0.52360  0.57120  0.61880  0.66640  0.71400

 

 Columns 17 through 24:

 

  0.76160  0.80920  0.85680  0.90440  0.95200  0.99960  1.04720  1.09480

 

 Columns 25 through 32:

 

  1.14240  1.19000  1.23760  1.28520  1.33280  1.38040  1.42800  1.47560

 

 Columns 33 through 40:

 

  1.52320  1.57080  1.61840  1.66600  1.71360  1.76120  1.80880  1.85640

 

 Columns 41 through 48:

 

  1.90400  1.95160  1.99920  2.04680  2.09440  2.14199  2.18959  2.23719

 

 Columns 49 through 56:

 

  2.28479  2.33239  2.37999  2.42759  2.47519  2.52279  2.57039  2.61799

 

 Columns 57 through 64:

 

  2.66559  2.71319  2.76079  2.80839  2.85599  2.90359  2.95119  2.99879

 

 Columns 65 through 72:

 

  3.04639  3.09399  3.14159  3.18919  3.23679  3.28439  3.33199  3.37959

 

 Columns 73 through 80:

 

  3.42719  3.47479  3.52239  3.56999  3.61759  3.66519  3.71279  3.76039

 

 Columns 81 through 88:

 

  3.80799  3.85559  3.90319  3.95079  3.99839  4.04599  4.09359  4.14119

 

 Columns 89 through 96:

 

  4.18879  4.23639  4.28399  4.33159  4.37919  4.42679  4.47439  4.52199

 

 Columns 97 through 100:

 

  4.56959  4.61719  4.66479  4.71239

 

>> y1=linspace(1,7,25)               (25 Elemente zwische 1 und 7)

y1 =

 

 Columns 1 through 8:

 

  1.00000  1.25000  1.50000  1.75000  2.00000  2.25000  2.50000  2.75000

 

 Columns 9 through 16:

 

  3.00000  3.25000  3.50000  3.75000  4.00000  4.25000  4.50000  4.75000

 

 Columns 17 through 24:

 

  5.00000  5.25000  5.50000  5.75000  6.00000  6.25000  6.50000  6.75000

 

 Column 25:

 

  7.00000

 

>> w=[c 10:12]               (w besteht aus c und den Zahlen von 10 bis 12)

 

w =

 

 Columns 1 through 8:

 

        0        1        2        3        4        5        6        7

 

 Columns 9 through 11:

 

       10       11       12

 

>> u=w(1:2:8)               (Komponenten von w mit Index 1 bis 8, Indexschrittweite 2)

u =

 

        0        2        4        6

 

>> beta=w(3:-1:1)            (Komponenten von w mit Index 3 bis 1, Indexschrittweite -1)

beta =

        2        1        0

 

>> w([1 1 7])               (Komponenten von w mit Index 1, 1 und 7)

ans =

 

        0        0        6

 

>> zeros(1,6)               (6 mal die 0)

ans =

 

        0        0        0        0        0        0

 

>> ones(1,4)               (4 mal die 1)

ans =

 

        1        1        1        1

 

>> ones(6,1)               (Die 1 in 6 Zeilen und 1 Spalte)

ans =

 

        1

        1

        1

        1

        1

        1

  

Vektoroperationen, diskrete Plots (Matlab_Octave005.RTF:)

  

Top

length, size, sum

   

 

>> u=[0 2 4 10 11]          (Grundvektor)

u =

 

        0        2        4       10       11

 

>> length(u)          (Anzahl Komponenten)  

ans = 5

 

>> size(u)

ans =

 

        1        5          (eine Zeile, 5 Spalten)  

 

>> size(u.')

ans =

 

        5        1          (5 Zeilen, 1 Spalte)  

 

>> norm(u)

ans = 15.524         (Vektorlänge)  

 

 

>> sum(u)             (Komponentensumme)  

ans = 27

  

Addition einer Konstante, Addition von Vektoren, Operationen komponentenweise ausführen

 

Top

   

>> m=[43 0 -5]; n=[1 1 6 2];   (Eingabe zweier Vektoren)

 

>> m+7              (Addiert zu jeder Komponente von m 7)

ans =

 

       50        7        2

 

>> 3*m               (Multipliziert jede Komponente von m mit 3)

ans =

 

       129         0       -15

 

>> m+n               (Erzeugt Error, da ungleich lange Vektoren nicht addiert werden können)

 

error: operator +: nonconformant arguments (op1 is 1x3, op2 is 1x4)

error: evaluating binary operator `+' near line 28, column 2

 

>> m=[4 5 3 -5];              (m neu eingeben)

 

>> m+n                           (Addition von zwei Vektoren)

ans =

 

         5         6         9        -3

 

>> m.*n                          (Komponentenweise Multiplikation)

ans =

 

         4         5        18       -10

 

>> m./n                          (Komponentenweise Division)

ans =

 

   4.00000   5.00000   0.50000  -2.50000

 

>> n.^(1.5)                           (Komponentenweise potenzieren)

ans =

 

  1.0e+01  *

 

  0.10000  0.10000  1.46969  0.28284

   

Sortieren, Maximum, Minimum, Mittelwert

 

Top

 

>> sort(n)                          (n der Grösse nach sortieren)

ans =

 

        1        1        2        6

 

>> [min(m) max(m)]                          (Kleinste und grösste Komponente)

ans =

 

        -5         5

 

>> [sum(m) mean(m)]                         (Komponentensumme und Mittelwert)

ans =

 

7.0                 1.75000

8.0                  

   

Elemente finden unter gesetzten Bedingungen, rechnen unter Bedingungen

 

Top

   

>> w1=find(m>1)                          (Liest die Komponenten grösser als 1 von m aus)

w1 =

 

        1        2        3

 

>> m<1                            (Setzt 1 falls die Bedingung wahr ist, sonst 0)

ans =

 

        0        0        0        1

 

>> m>1

ans =

 

        1        1        1        0

 

>> m(m>1)                 (Liest die Komponenten von m aus, für die die Bedingung wahr ist)

 

ans =

 

        4        5        3

 

>> m(m<1)

ans = -5

 

>> cos(m)                            (Berechnet in m elementweise den Cosinus)

ans =

 

  -0.65364   0.28366  -0.98999   0.28366

 

>> cos(cos(m))

ans =

 

  0.79387  0.96004  0.54870  0.96004

  

Plots

 

Top

   

>> plot(m,n,'o')              (Plotet 'o' bei jeweils der x-Koord. aus m und der y-Koord. aus n)

 

>> plot(n,m)              (Plotet Geradenstücke zwischen den Punkten im letzten)

 

 

      

Plots (Matlab_Octave006.RTF)

   

Top

Probiere die folgenden verschiedenartigen Plots aus!

   

>> x=linspace(0,2*pi,50); y=sin(sin(x)); plot(x,y)

>>                                                      (Einteilung der x-Achse, y-Wert definieren, Plot)

 

 

>> plot(x,y,':',x,cos(x),'g')                   (Zwei Funktionen in ein Diagramm ploten, Farbwahl)

 

  

  

Gitter, Plots übereinanderlegen, Labels, Unterfenster

 

Top

   

Aufgabe: Probiere die nachfolgenden Befehle aus!

Achtung: Die Bereiche und Funktionen müssen zuerst definiert sein!

 

>> grid                                              (Im nächsten Plot Gitter aktivieren)

 

>> plot(x,cos(x))                                (Plot)

 

>> xlabel('Variable x')                        (Im nächsten Plot x-Achse beschriften)

 

>> z=sin(sin(x)).^2;                           (Funktion definieren)

 

>> hold on;plot(x,z,'r')                       (Plot über den alten Plot legen, rot)

 

>> hold off                                        (Übereinander legen abschalten)

 

>> subplot(2,1,1)    

(Graphikfenster mit Unterfenster in 2 Zeilen, 1 Spalte erzeugen, 1. Unterfenster aktivieren, Problem in Octave)

 

>> plot(x,y)                                       (Plot ins 1. Unterfenster)

                              

>> subplot(2,1,2)

(Graphikfenster mit Unterfenster in 2 Zeilen, 1 Spalte erzeugen, 2. Unterfenster aktivieren, Problem in Octave)

 

>> plot(x,z)                                       (Plot ins 2. Unterfenster)

   

Graphikfenster löschen, leeres Fenster öffnen, Plot speichern

 

Top

  

>> clf                                                (Graphikfenster löschen)

 

>> figure

ans = 1

>> figure;                                           (Leeres Fenster öffnen)

 

 

>> h = plot(x,sin(x.^2));             (Grafik als Objekt in h speichern - Problem in Octave)

 

error: value on right hand side of assignment is undefined

error: evaluating assignment expression near line 4, column 3

  

Ploteigenschaften anzeigen und ändern, Graphik drucken

 

Top

  

>> get(h)                                   (Ploteigenschaften anzeigen - Problem in Octave)

 

error: `get' undefined near line 4 column 1

 

>> set(h,'Color',[1 0 1],'LineWith',2)      (Graphikeigenschaften ändern - Problem in Octave)

 

error: `h' undefined near line 4 column 5

error: evaluating argument list element number 1

 

>> help print     (Info Graphik ausdrucken resp. an LPT1 schicken - vgl. Skript TU München)

 

print is the user-defined function from the file

/usr/share/octave/2.1.42/m/plot/print.m

 

Copyright (C) 1999 Daniel Heiserer

Copyright (C) 2001 Laurent Mazet

 

This program is free software; it is distributed in the hope that it

will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied

warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See

the GNU General Public License for more details.

 

You should have received a copy of the GNU General Public License

along with this file; see the file COPYING.  If not, write to the

Free Software Foundation, 59 Temple Place - Suite 330, Boston, MA

02111-1307, USA.

 

 

Additional help for built-in functions, operators, and variables

is available in the on-line version of the manual.  Use the command

`help -i <topic>' to search the manual index.

 

Help and information about Octave is also available on the WWW

at http://www.octave.org and via the help-octave@bevo.che.wisc.edu

mailing list.

  

Vektoren, Matrizen, Gleichungssysteme (Matlab_Octave007.RTF)

  

Top

Matrix eingeben, Element abfragen, Größe der Matrix abfragen

  

Matrix eingeben

  

 >> A=[3 4;2 2;-1,6]

 

A =

 

         3         4

         2         2

        -1         6

  

Element abfragen

  

 >> A(3,2)

ans = 6

>> A(3,:)

ans =

 

        -1         6

  

Größe der Matrix abfragen

  

 >> size(A)

ans =

 

        3        2

  

Elemente umordnen, als Vektor darstellen

 

Top

  

Elemente umordnen

  

 >> B = reshape(A,2,3)

B =

 

         3        -1         2

         2         4         6

  

Als Vektor darstellen

  

 >> x=A(:)

x =

 

         3

         2

        -1

         4

         2

         6

   

Matrixprodukt, Elemente quadrieren

 

Top

    

Matrixprodukt

  

 >> B*A

ans =

 

        5       22

        8       52

 

>> A*B

ans =

 

       17       13       30

       10        6       16

        9       25       34

  

Elemente quadrieren

  

 >> A.*A

ans =

 

        9       16

        4        4

        1       36

 

>> B.*B

ans =

 

        9        1        4

        4       16       36

  

Inverse, Transponierte, Gleichung mit der Inversen lösen

 

Top

  

Neue Matrix und Vektor eingeben

  

 >> C=[1 2; 3 4]

C =

 

        1        2

        3        4

 

>> b=[6;8]

b =

 

        6

        8

 

  

Inverse

   

 >> inv(C)

ans =

 

  -2.00000   1.00000

   1.50000  -0.50000

 

   

Transponierte

   

>> G=[1 2; 3 4]

G =

 

        1        2

        3        4

 

>> G'

ans =

 

        1        3

        2        4

  

Gleichung mit der Inversen lösen

  

 >> inv(C)*b

ans =

 

  -4.00000

   5.00000

  

Gauss-Verfahren auf Matrix oder erweiterte Matrix anwenden

 

Top

   

>> rref(A)

ans =

 

        1        0

        0        1

        0        0

 

>> rref(B)

ans =

 

        1        0        1

        0        1        1

       

>> E=[6 4 8 9;3 2 1 7;6 5 3 2]

E =

 

        6        4        8        9

        3        2        1        7

        6        5        3        2

       

>> rref(E)

ans =

 

  1.0e+01  *

 

   0.10000   0.00000   0.00000   1.00556

   0.00000   0.10000   0.00000  -1.11667

   0.00000   0.00000   0.10000  -0.08333

  

Diverse Gleichungslösungsmethoden

 

Top

   

 >> inv(C)*b

ans =

 

  -4.00000

   5.00000

 

>> C\b

ans =

 

        -4

         5

  

Was passiert hier?

 

Top

 

 >> A/A

ans =

 

   0.71345   0.45029   0.04094

   0.45029   0.29240  -0.06433

   0.04094  -0.06433   0.99415

 

>> D=A/A

D =

 

   0.71345   0.45029   0.04094

   0.45029   0.29240  -0.06433

   0.04094  -0.06433   0.99415

 

>> D*A

ans =

 

   3.00000   4.00000

   2.00000   2.00000

  -1.00000   6.00000

 

>> A./A

ans =

 

        1        1

        1        1

        1        1

 

  

Manipulation von Vektoren, Beispiel einer Funktion, Aufsummieren von Teillängen (Matlab_Octave008.RTF)

  

Top

 

Vektoren manipulieren: Verlängern, Elemente auswählen, Elemente anders einfügen u.s.w.

   

>> u1=[1 2 3 4 5]

u1 =

 

        1        2        3        4        5

 

>> size(u1)

ans =

 

        1        5

 

>> size(u1,2)

ans = 5

 

>> u1(5)

ans = 5

 

>> u1=[3,6,7,9,3]

u1 =

 

        3        6        7        9        3

 

>> u1(size(u1,2))

ans = 3

 

>> u1(1)

ans = 3

 

>> u1(2)

ans = 6

>>

  

Beispiel einer eigenen Funktion (in Octave)  

 

Top

  

Funktion definieren, die eine Serie von Flächenprodukten rechnet. Die Koordinaten verschiedener Punkte in der Ebene sind durch zwei Vektoren gegeben

  

>> function z=flaechePolygon(x,y)                                                                                                 

z=dot([0 x],[y y(1)])-dot([x x(1)],[0 y])     

endfunction

 

  

Vektoren mit x- und y-Koordinaten definieren

  

>> x=[1 2 3 4 5]

x =

 

        1        2        3        4        5

 

>> y=[6 7 8 9 0]

y =

 

        6        7        8        9        0

 

  

Funktion anwenden

  

>> flaechePolygon(x,y)

z = -30

ans = -30

 

  

x-Vektor anders definieren

  

>> x=[1 3 4 7 8]

x =

 

        1        3        4        7        8

  

Funktion anwenden

  

>> flaechePolygon(x,y)

z = -59

ans = -59

    

Eigene Funktionen definieren in Matlab

 

Top

  

Klicke im Matlab oben links auf File è New è M-file, dann öffnet sich ein Editor.

Eingabe:

  

function z = f(y);  z = y^2 ;

  

Speichere dann die Datei unter dem Namen „f.m“. Die Datei muss wie oben erwähnt denselben Namen haben wie die Funktion. Dann kann man die Funktion unter dem Namen f in Matlab aufrufen, zum Beispiel:

   

f und g kann man dann wie vordefinierte Matlab-Funktionen benutzen :

   

>> f(5)

 

ans =

 

  25

 

>> [f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)]

 

ans =

 

     0     1     4     9    16    25

  

Oder ein Beispiel mit 2 Variablen: Editor aufrufen, Speichere Datei unter dem Namen „g.m“ speichern:

  

function z1 = g(y1,y2)

           z1 = y1^2-exp(y2);

  

Dann in Matlab aufrufen, zum Beispiel:

  

>> g(2,3)

 

ans =

 

  -16.0855

  

Aufsummieren von Teillängen (Quadratwurzeln), die aus zwei Vektoren gewonnen werden (alle x- und y-Werte von Punkten der Ebene als zwei Vektoren)

 

Top

  

Funktion diff und Operationen auf dieser Funktion studieren

  

>> diff(x)

ans =

 

        2        1        3        1

 

>> diff(x).^2

ans =

 

        4        1        9        1

 

>> diff(y).^2

ans =

 

        1        1        1       81

 

>> diff(x).^2+diff(y).^2

ans =

 

        5        2       10       82

 

 

>> sqrt(diff(x).^2+diff(y).^2)

ans =

 

  2.23607  1.41421  3.16228  9.05539

  

Funktion sum studieren und damit eine Summen von Teillängen nach Pythagoras berechnen

  

>> sum([1 2 3])

ans = 6

 

>> sum(sqrt(diff(x).^2+diff(y).^2))

ans = 15.868

   

Spezielle Matrizen, Determinante (Matlab_Octave009.RTF)

  

Top

Untersuchung diverser Matrix-Typen

  

Untersuche, wie die folgenden Matrizen aufgebaut sind

  

>> eye(4)

 

ans =

 

        1        0        0        0

        0        1        0        0

        0        0        1        0

        0        0        0        1

 

>> hadamard(4)

 

error: `hadamard' undefined near line 2 column 1

 

>> help hadamard

 

help: sorry, `hadamard' is not documented

 

>> hilb(3)

 

ans =

 

  1.00000  0.50000  0.33333

  0.50000  0.33333  0.25000

  0.33333  0.25000  0.20000

 

>> hilb(4)

 

ans =

 

  1.00000  0.50000  0.33333  0.25000

  0.50000  0.33333  0.25000  0.20000

  0.33333  0.25000  0.20000  0.16667

  0.25000  0.20000  0.16667  0.14286

 

>> magic(4)

 

ans =

 

       16        2        3       13

        5       11       10        8

        9        7        6       12

        4       14       15        1

 

>> ones(4,3)

 

ans =

 

        1        1        1

        1        1        1

        1        1        1

        1        1        1

 

>> pascal(4)

 

ans =

 

        1        1        1        1

        1        2        3        4

        1        3        6       10

        1        4       10       20

 

>> rand(4,5)

 

ans =

 

  0.52325  0.41896  0.37745  0.62157  0.31168

  0.48056  0.34537  0.28893  0.43059  0.16517

  0.79917  0.60014  0.89480  0.53227  0.44299

  0.21291  0.08396  0.02582  0.88215  0.00202

 

>> vander(4)

 

ans = 1

 

>> vander(6)

 

ans = 1

 

>> vander([1 2 3 4])

 

 

 

ans =

 

        1        1        1        1

        8        4        2        1

       27        9        3        1

       64       16        4        1

  

Determinante

 

Top

  

>> v=vander([1 2 3 4])

v =

 

        1        1        1        1

        8        4        2        1

       27        9        3        1

       64       16        4        1

 

>> det(v)

ans = 12.000

>> v1=vander([1 2])

v1 =

 

        1        1

        2        1

 

>> det(v1)

ans = -1

  

Differenzieren und Integrieren (Matlab_Octave010.RTF)

  

(Exkurs)

Top

   

Problematik

   

Um symbolisch differenzieren zu können, ist der Befehl „syms“ notwendig. Dieser funktioniert jedoch in Octave nicht:

 

>> syms x;diff(x*cos(x)+2,x,1)

parse error:

 

>>> syms x;diff(x*cos(x)+2,x,1)

         ^

 

>> syms x;

parse error:

 

>>> syms x;

         ^

 

Hingegen kann man numerisch integrieren oder differenzieren:

  

Integration (Beispiel)

 

Top

  

>> quad('sin',0,pi)

 

ans = 2

 

  

Differentiation (Beispiel, Berechnung eines Differenzenquotienten)

 

Top

  

>> h=10^-6

 

h =  1.0000e-06

 

>> (sin(pi/2+h)-sin(pi/2))/h

 

ans =  -5.0004e-07

 

>>

  

3D-Graphiken (Matlab_Octave011.RTF)

  

Top

Beispiel 1:

   

Die Befehle werden hier einzeln abgearbeitet, um bei Octave nicht nach jedem Error den kompletten Code neu eingeben zu müssen.

 

 

>> x=-2:0.1:2;

>>[x1,y1] = meshgrid(x,x);

>>z=exp(-x1.^2-y1.^2);

>>mesh(x,x,z);

 

 

Output :

 

 

  

Beispiel 2:

 

Top

  

r1=0:1/18:1;r2=ones(1,18)-r1(2:19);r=[r1 r2];

>> t=0:pi/9:4*pi;

>> [R,T]=meshgrid(r,t);

>> X=abs(R).*cos(T);Y=abs(R).*sin(T);

>> h=-1:1/18:1;

>> [H,T]=meshgrid(h,t);

>> Z=sign(H).*sqrt(1-R.^2);

>> surface(X,Y,Z),axis equal,view(3) 

 

            Funktioniert nicht bei Octave

 

            Kontrolliere den Code Zeile für Zeile und überlege, was passiert:!

 

 

>> r1=0:1/8:1;

>> r1

r1 =

 

 Columns 1 through 9:

 

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000

 

 

>> r21=ones                                                                                       

r21 = 1

>> r21=ones(1,8)

r21 =

 

        1        1        1        1        1        1        1        1

 

>> r11=r1(2:9)

r11 =

 

  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000

 

>> r2=r21-r11

r2 =

 

  0.87500  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

 

>> r=[r1 r2]

r =

 

 Columns 1 through 10:

 

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

 

 Columns 11 through 17:

 

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

 

>> t=0:pi/9:2*pi

t =

 

 Columns 1 through 10:

 

  0.00000  0.34907  0.69813  1.04720  1.39626  1.74533  2.09440  2.44346  2.79253  3.14159

 

 

 Columns 11 through 19:

 

  3.49066  3.83972  4.18879  4.53786  4.88692  5.23599  5.58505  5.93412  6.28319

 

>> [R T]=meshgrid(r,t)

R =

 

 Columns 1 through 10:

 

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

  0.00000  0.12500  0.25000  0.37500  0.50000  0.62500  0.75000  0.87500  1.00000  0.87500

 

 Columns 11 through 17:

 

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

  0.75000  0.62500  0.50000  0.37500  0.25000  0.12500  0.00000

 

T =

 

 Columns 1 through 10:

 

  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000

  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907

  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813

  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720

  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626

  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533

  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440

  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346

  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253

  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159

  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066

  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972

  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879

  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786

  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692

  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599

  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505

  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412

  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319

 

 Columns 11 through 17:

 

  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000

  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907

  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813

  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720

  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626

  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533

  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440

  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346

  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253

  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159

  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066

  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972

  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879

  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786

  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692

  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599

  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505

  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412

  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319

 

 

>> X=abs(R).*cos(T)

X =

 

 Columns 1 through 9:

 

   0.00000   0.12500   0.25000   0.37500   0.50000   0.62500   0.75000   0.87500   1.00000

   0.00000   0.11746   0.23492   0.35238   0.46985   0.58731   0.70477   0.82223   0.93969

   0.00000   0.09576   0.19151   0.28727   0.38302   0.47878   0.57453   0.67029   0.76604

   0.00000   0.06250   0.12500   0.18750   0.25000   0.31250   0.37500   0.43750   0.50000

   0.00000   0.02171   0.04341   0.06512   0.08682   0.10853   0.13024   0.15194   0.17365

  -0.00000  -0.02171  -0.04341  -0.06512  -0.08682  -0.10853  -0.13024  -0.15194  -0.17365

  -0.00000  -0.06250  -0.12500  -0.18750  -0.25000  -0.31250  -0.37500  -0.43750  -0.50000

  -0.00000  -0.09576  -0.19151  -0.28727  -0.38302  -0.47878  -0.57453  -0.67029  -0.76604

  -0.00000  -0.11746  -0.23492  -0.35238  -0.46985  -0.58731  -0.70477  -0.82223  -0.93969

  -0.00000  -0.12500  -0.25000  -0.37500  -0.50000  -0.62500  -0.75000  -0.87500  -1.00000

  -0.00000  -0.11746  -0.23492  -0.35238  -0.46985  -0.58731  -0.70477  -0.82223  -0.93969

  -0.00000  -0.09576  -0.19151  -0.28727  -0.38302  -0.47878  -0.57453  -0.67029  -0.76604

  -0.00000  -0.06250  -0.12500  -0.18750  -0.25000  -0.31250  -0.37500  -0.43750  -0.50000

  -0.00000  -0.02171  -0.04341  -0.06512  -0.08682  -0.10853  -0.13024  -0.15194  -0.17365

   0.00000   0.02171   0.04341   0.06512   0.08682   0.10853   0.13024   0.15194   0.17365

   0.00000   0.06250   0.12500   0.18750   0.25000   0.31250   0.37500   0.43750   0.50000

   0.00000   0.09576   0.19151   0.28727   0.38302   0.47878   0.57453   0.67029   0.76604

   0.00000   0.11746   0.23492   0.35238   0.46985   0.58731   0.70477   0.82223   0.93969

   0.00000   0.12500   0.25000   0.37500   0.50000   0.62500   0.75000   0.87500   1.00000

 

 Columns 10 through 17:

 

   0.87500   0.75000   0.62500   0.50000   0.37500   0.25000   0.12500   0.00000

   0.82223   0.70477   0.58731   0.46985   0.35238   0.23492   0.11746   0.00000

   0.67029   0.57453   0.47878   0.38302   0.28727   0.19151   0.09576   0.00000

   0.43750   0.37500   0.31250   0.25000   0.18750   0.12500   0.06250   0.00000

   0.15194   0.13024   0.10853   0.08682   0.06512   0.04341   0.02171   0.00000

  -0.15194  -0.13024  -0.10853  -0.08682  -0.06512  -0.04341  -0.02171  -0.00000

  -0.43750  -0.37500  -0.31250  -0.25000  -0.18750  -0.12500  -0.06250  -0.00000

  -0.67029  -0.57453  -0.47878  -0.38302  -0.28727  -0.19151  -0.09576  -0.00000

  -0.82223  -0.70477  -0.58731  -0.46985  -0.35238  -0.23492  -0.11746  -0.00000

  -0.87500  -0.75000  -0.62500  -0.50000  -0.37500  -0.25000  -0.12500  -0.00000

  -0.82223  -0.70477  -0.58731  -0.46985  -0.35238  -0.23492  -0.11746  -0.00000

  -0.67029  -0.57453  -0.47878  -0.38302  -0.28727  -0.19151  -0.09576  -0.00000

  -0.43750  -0.37500  -0.31250  -0.25000  -0.18750  -0.12500  -0.06250  -0.00000

  -0.15194  -0.13024  -0.10853  -0.08682  -0.06512  -0.04341  -0.02171  -0.00000

   0.15194   0.13024   0.10853   0.08682   0.06512   0.04341   0.02171   0.00000

   0.43750   0.37500   0.31250   0.25000   0.18750   0.12500   0.06250   0.00000

   0.67029   0.57453   0.47878   0.38302   0.28727   0.19151   0.09576   0.00000

   0.82223   0.70477   0.58731   0.46985   0.35238   0.23492   0.11746   0.00000

   0.87500   0.75000   0.62500   0.50000   0.37500   0.25000   0.12500   0.00000

 

>>

>> Y=abs(R).*sin(T)

Y =

 

 Columns 1 through 9:

 

   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000

   0.00000   0.04275   0.08551   0.12826   0.17101   0.21376   0.25652   0.29927   0.34202

   0.00000   0.08035   0.16070   0.24105   0.32139   0.40174   0.48209   0.56244   0.64279

   0.00000   0.10825   0.21651   0.32476   0.43301   0.54127   0.64952   0.75777   0.86603

   0.00000   0.12310   0.24620   0.36930   0.49240   0.61550   0.73861   0.86171   0.98481

   0.00000   0.12310   0.24620   0.36930   0.49240   0.61550   0.73861   0.86171   0.98481

   0.00000   0.10825   0.21651   0.32476   0.43301   0.54127   0.64952   0.75777   0.86603

   0.00000   0.08035   0.16070   0.24105   0.32139   0.40174   0.48209   0.56244   0.64279

   0.00000   0.04275   0.08551   0.12826   0.17101   0.21376   0.25652   0.29927   0.34202

   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000

  -0.00000  -0.04275  -0.08551  -0.12826  -0.17101  -0.21376  -0.25652  -0.29927  -0.34202

  -0.00000  -0.08035  -0.16070  -0.24105  -0.32139  -0.40174  -0.48209  -0.56244  -0.64279

  -0.00000  -0.10825  -0.21651  -0.32476  -0.43301  -0.54127  -0.64952  -0.75777  -0.86603

  -0.00000  -0.12310  -0.24620  -0.36930  -0.49240  -0.61550  -0.73861  -0.86171  -0.98481

  -0.00000  -0.12310  -0.24620  -0.36930  -0.49240  -0.61550  -0.73861  -0.86171  -0.98481

  -0.00000  -0.10825  -0.21651  -0.32476  -0.43301  -0.54127  -0.64952  -0.75777  -0.86603

  -0.00000  -0.08035  -0.16070  -0.24105  -0.32139  -0.40174  -0.48209  -0.56244  -0.64279

  -0.00000  -0.04275  -0.08551  -0.12826  -0.17101  -0.21376  -0.25652  -0.29927  -0.34202

  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000

 

 Columns 10 through 17:

 

   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000

   0.29927   0.25652   0.21376   0.17101   0.12826   0.08551   0.04275   0.00000

   0.56244   0.48209   0.40174   0.32139   0.24105   0.16070   0.08035   0.00000

   0.75777   0.64952   0.54127   0.43301   0.32476   0.21651   0.10825   0.00000

   0.86171   0.73861   0.61550   0.49240   0.36930   0.24620   0.12310   0.00000

   0.86171   0.73861   0.61550   0.49240   0.36930   0.24620   0.12310   0.00000

   0.75777   0.64952   0.54127   0.43301   0.32476   0.21651   0.10825   0.00000

   0.56244   0.48209   0.40174   0.32139   0.24105   0.16070   0.08035   0.00000

   0.29927   0.25652   0.21376   0.17101   0.12826   0.08551   0.04275   0.00000

   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000   0.00000

  -0.29927  -0.25652  -0.21376  -0.17101  -0.12826  -0.08551  -0.04275  -0.00000

  -0.56244  -0.48209  -0.40174  -0.32139  -0.24105  -0.16070  -0.08035  -0.00000

  -0.75777  -0.64952  -0.54127  -0.43301  -0.32476  -0.21651  -0.10825  -0.00000

  -0.86171  -0.73861  -0.61550  -0.49240  -0.36930  -0.24620  -0.12310  -0.00000

  -0.86171  -0.73861  -0.61550  -0.49240  -0.36930  -0.24620  -0.12310  -0.00000

  -0.75777  -0.64952  -0.54127  -0.43301  -0.32476  -0.21651  -0.10825  -0.00000

  -0.56244  -0.48209  -0.40174  -0.32139  -0.24105  -0.16070  -0.08035  -0.00000

  -0.29927  -0.25652  -0.21376  -0.17101  -0.12826  -0.08551  -0.04275  -0.00000

  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000  -0.00000

 

>> h=-1:1/9:1

h =

 

 Columns 1 through 9:

 

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

 

 

 Columns 10 through 18:

 

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

 

 

 Column 19:

 

   1.00000

 

>> [H T]=meshgrid(h,t)

H =

 

 Columns 1 through 9:

 

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

  -1.00000  -0.88889  -0.77778  -0.66667  -0.55556  -0.44444  -0.33333  -0.22222  -0.11111

 

 Columns 10 through 18:

 

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

  -0.00000   0.11111   0.22222   0.33333   0.44444   0.55556   0.66667   0.77778   0.88889

 

 Column 19:

 

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

   1.00000

 

T =

 

 Columns 1 through 10:

 

  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000

  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907

  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813

  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720

  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626

  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533

  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440

  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346

  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253

  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159

  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066

  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972

  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879

  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786

  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692

  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599

  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505

  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412

  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319

 

 Columns 11 through 19:

 

  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000  0.00000

  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907  0.34907

  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813  0.69813

  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720  1.04720

  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626  1.39626

  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533  1.74533

  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440  2.09440

  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346  2.44346

  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253  2.79253

  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159  3.14159

  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066  3.49066

  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972  3.83972

  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879  4.18879

  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786  4.53786

  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692  4.88692

  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599  5.23599

  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505  5.58505

  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412  5.93412

  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319  6.28319

 

Z=sign(H).*sqrt(1-R.^2);   funktioniert nicht in Oktave

 

>> Z=sign(H)*sqrt(1-R.^2)

Z =

 

 Columns 1 through 9:

 

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

  -1.00000  -0.99216  -0.96825  -0.92702  -0.86603  -0.78062  -0.66144  -0.48412   0.00000

 

 Columns 10 through 17:

 

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

  -0.48412  -0.66144  -0.78062  -0.86603  -0.92702  -0.96825  -0.99216  -1.00000

 

>>

surface(X,Y,Z),axis equal,view(3)

parse error:

 

                                    Funktioniert nicht

   

Folgender Code funktioniert:

 

Top

   

>> mesh(X,Y,Z)

 

 

>> title('Plot')

>> replot

 

  

Beispiel 3:

   

r1=0:1/8:1;

r21=ones(1,8);

r2=r21-r1(2:9);

r=[r1 r2];

 t=pi:pi/9:3*pi;

[R,T]=meshgrid(r,t);

X=abs(R).*cos(T);Y=abs(R).*sin(T);

h=-1:1/9:1;

[H,T]=meshgrid(h,t);

Z=sign(H).*sqrt(1-R.^2);

mesh(Z,X,Y)

 

 

   

Wie weiter?

Top

 

Wird bei Gelegenheit fortgesetzt.

Inzwischen: Literatur konsultieren, selbst ausproblieren….

   

Literatur

  

 

Eine gute Anleitung für Octave (oft in Form gelöster Übungen) findet man unter:

 

http://homepages.uni-tuebingen.de/juergen.schweizer/Octave.html

 

Top