Aufgabe 1: Extremwertaufgabe

Graphik

<< Graphics`ImplicitPlot`

plot1  =  
        ImplicitPlot[
          x^2 /16 +  y^2 / 4 == 1, {x, -4, 4}];

a)

Punkt P, Koordinate y\(TraditionalForm\`\_\(\(0\)\(\ \)\)\) resp. f[x]

solutions  =  
      Solve[x^2 /16 +  y^2 / 4 == 1, {y}]  //  Flatten

f[x_] = y /. solutions[[2]];    
f[x]

Gleichung der Tangente

Steigung

a[x0_] :=  f'[x0];  
 a[x0]

Tangentengleichung

t[x_] :=  a[x0]* x  +  b[x0];  t[x]

Berechnung von b

f[x0]  ==   t[x0]

solutionb = 
      Solve[f[x0]  ==   t[x0],  b[x0]]  // Flatten

b[x0_] = b[x0]  /.  solutionb

Funktion der Tangente im Punkt P jetzt

t[x]

Schnittpunkt Funktion der Tangente im Punkt P mit x-Achse

solutionx1  =  Solve[t[x] == 0, {x}]  //  Flatten

x1[x0_] = x  /. solutionx1;   x1[x0]

Fläche des Rhombus

A[x0_] :=  2 * x1[x0] * b[x0] ;     A[x0]

b) Für welchen Wert von  x\(TraditionalForm\`\_\(\(0\)\(\ \)\)\) ist die Fläche minimal?

A'[x0]

solutionx0  =  
      Solve[ A'[x0] == 0,  {x0}]  //  Flatten

x0  =  x0  /.  solutionx0[[2]]

b) Graphik

In t[x] ist x\(TraditionalForm\`\_\(\(0\)\(\ \)\)\) jetzt fix

t[x]

Options[Plot]

plot2 = 
        Plot[{t[x], t[-x], -t[x], -t[-x]}, {x, -x1[x0], 
            x1[x0]}, 
Epilog -> {PointSize[0.03], 
              Point[{x0, t[x0]}]}, PlotRange -> {-t[0], t[0]}, 
          AspectRatio -> Automatic];

Show[plot2, plot1, AspectRatio -> Automatic];