Lösungen (Matrixkomposition)

1

a

λ1 = 1;   λ2 = -1;   λ3 = 
      3;
v1 = {1, 0, 0};  v2 = {1, 1, 0};   v3 = {0, 1, -1};

a1

X = Transpose[{v1, v2, v3}];  X // MatrixForm

a2

Det[X]

Vektoren l.u.

a3

Dλ = {{λ1, 0, 0}, {0, λ2, 0}, {0, 
          0, λ3}};  Dλ // MatrixForm

Xinv = Inverse[X];  Xinv // MatrixForm

A = X . Dλ . Inverse[X];  A // MatrixForm

a4

Eigenvalues[A]

Eigenvectors[A]

Eigensystem[A]

a5

Det[A] == Det[Dλ]

b

A1 = Inverse[A];  A1 // MatrixForm

Eigenvalues[A1]

Eigenvectors[A1]

Eigensystem[A1]

Det[A1] == Det[Inverse[Dλ]]

b

A2 = Transpose[A];  A2 // MatrixForm

Eigenvalues[A2]

Eigenvectors[A2]

Eigensystem[A2]

Det[A2] == Det[Dλ]

2

a

λ1 = 1;   λ2 = -1;   λ3 = 
      3;
v1 = {1/2, 0, 1/2};  v2 = {1, 1, 0};   v3 = {0, 1, 1};

a1

X = Transpose[{v1, v2, v3}];  X // MatrixForm

a2

Det[X]

Vektoren l.u.

a3

Dλ = {{λ1, 0, 0}, {0, λ2, 0}, {0, 
          0, λ3}};  Dλ // MatrixForm

Xinv = Inverse[X];  Xinv // MatrixForm

A = X . Dλ . Inverse[X];  A // MatrixForm

a4

Eigenvalues[A]

Eigenvectors[A]

Eigensystem[A]

a5

Det[A] == Det[Dλ]

b

A1 = Inverse[A];  A1 // MatrixForm

Eigenvalues[A1]

Eigenvectors[A1]

Eigensystem[A1]

Det[A1] == Det[Inverse[Dλ]]

b

A2 = Transpose[A];  A2 // MatrixForm

Eigenvalues[A2]

Eigenvectors[A2]

Eigensystem[A2]

Det[A2] == Det[Dλ]