Kurzlösungen Analysis 02

Falls eine Aufgabe von einer Mehrheit nicht verstanden wird, so soll ie Aufgabe in der letzten Analysis-Lektion der Woche thematisiert werden.

Falls eine Aufgabe von einer Meinderheit nicht verstanden wird, so soll man dafür möglichst rasch für eine Sprechstunde  anmelden.

Falls eine Aufgabe sowieso klar ist, bedeutet ein weiterer Zeitaufwand nur einen Zeitverlust. Falls niemand Verständnisprobleme vorbringt, so kann angenommen werden, dass die Aufgabe erledigt ist.

Uebung 1

a

d

Abs[Abs[x] - Abs[y]]^2 // Expand

(Abs[x] - Abs[y])^2 // Expand

Expand[(Abs[x] - Abs[y])^2, {Element[x, Reals], 
        Element[y, Reals]}]

Expand[(Abs[x] - Abs[y])^2] /. {Abs[x] -> x, 
        Abs[y] -> y}

Expand[(x + y)^2]

Expand[(x - y)^2]

Expand[(Abs[x] + Abs[y])^2] /. {Abs[x] -> x, 
        Abs[y] -> y}

Quadrieren, dann siehr man die Ungleichheitsbeziehung (für nicht negative Werte ändert quadrieren die Ungleichheitsbeziehung nicht)

(((Abs[x] - Abs[y]))^2)  =  
      Abs[x]^2 - 2 Abs[x] Abs[y] + Abs[y]^2
≤  (x^2) - 2 x y + 
          (y^2) =  (((x - y))^2)
≤  Abs[x]^2 + 2 Abs[x] Abs[y] + 
          Abs[y]^2 = (((Abs[x] + Abs[y]))^2)

    
(((Abs[x] - Abs[y]))^2)  =  
      Abs[x]^2 - 2 Abs[x] Abs[y] + Abs[y]^2
≤  (x^2) + 2 x y + 
          (y^2) =  (((x + y))^2)
≤  Abs[x]^2 + 2 Abs[x] Abs[y] + 
          Abs[y]^2 = (((Abs[x] + Abs[y]))^2)

b

(2^Sqrt[2]/4Sqrt[2^3])^Sqrt[2] 2^Sqrt[2]//Simplify

(2^Sqrt[2]/4Sqrt[2^3])^Sqrt[2] 2^Sqrt[2]//N

(2^Sqrt[2]/(4^Sqrt[2^3]))^Sqrt[2] 2^Sqrt[2]//Simplify

(2^Sqrt[2]/(4^Sqrt[2^3]))^Sqrt[2] 2^Sqrt[2]//N

c

Transzendente Gleichung nuimerisch oder graphisch lösen

FindRoot[Sin[x]==x+Cos[x],{x,0.5}]

FindRoot[Sin[x]==x+Cos[x],{x,1.1}]

Plot[{Sin[x],x+Cos[x]},{x,-3,4}];

d

sin(2x-4) = 0 ===>  x = 2 + n π/2

Solve[Sin[2x-4]==0,{x}]

Sqrt[5^2+7^2]

Solve[(5 Cos[3x+2]+7 Sin[3x+2]-1)Sqrt[5^2+7^2]==0,{x}];

Solve[Sin[ArcSin[5/Sqrt[74]]+ 3x +2]==1/Sqrt[5^2+7^2],{x}]

Solve[Sin[ArcSin[5/Sqrt[74]]+ 3x +2]==1/Sqrt[5^2+7^2],{x}]//N

N[Solve[5 Cos[3x+2]+7 Sin[3x+2]-1==0,{x}]]//Chop

e

Solve[2^(3 Log[2x-1]) 3^Log[2x-1]==1,{x}]

Solve[Log[2] 3 Log[2x-1]+ Log[3] Log[2x-1]==0,{x}]

Uebung 2

a

Plot[3  x - 4,  {x, -2, 3}, PlotPoints -> 50];

b

Plot[Sin[Cos[x]],  {x, -2 Pi, 4  Pi}];

c

Plot[Abs[x] - Floor[Sin[x]],  {x, -14, 16}, 
        PlotPoints -> 100];

d

Plot[Floor[4  x] - Sign[x],  {x, -2, 2}, 
        PlotPoints -> 100];

e

\(\(Plot[1/x - 1/\((x^2)\), \ {x, \(-0.5\), 0.5}, PlotPoints -> 100, 

        PlotRange -> {1, \(-20\)}];\)\)

f

Plot[Cos[x^2 + x],  {x, -6, 6}, PlotPoints -> 100];

g

Plot[E^(-1/2 x^2),  {x, -4, 4}, 
        PlotPoints -> 100];

h

Plot[E^( x^2),  {x, -2, 2}, 
        PlotPoints -> 100];

i

Plot[E^(- x^2) - 1,  {x, -4, 4}, 
        PlotPoints -> 100];

j

Plot[3 Sin[Cos[2  x^2 + 1] + x], {x, -4, 4}];

k

Plot[Sin[x]^Cos[x], {x, -4, 4}];

l

Plot[
        Log[(x^2 + 2)/(x^4 + 2)] - x^2, {x, -2, 2}];

m

Plot[Sign[x^2 Sin[x - 1/x]], {x, -1, 1}, 
        PlotPoints -> 100];

n

Plot[x^4 - 2  x + 1, {x, -2, 2}];

o

Plot[10 Sin[x], {x, -7, 7}];

Plot[Floor[10 Sin[x]], {x, -7, 7}];

p

Plot[x + Floor[1/x + x^2], {x, -1, 3}, 
        PlotPoints -> 100];

Plot[x + Floor[1/x + x^2], {x, 0.55, 1.4}, 
        PlotPoints -> 100];

Plot[x + Floor[1/x + x^2], {x, 1, 10}, 
        PlotPoints -> 100];

q

Plot[x^x, {x, 0, 2}];

Plot[x^x, {x, 0, 100}];

Uebung 3      L

ta=Table[Point[{n,Sin[n]}],{n,-10,10}]

?ListPlot

ta=Table[{n,Sin[n]},{n,-10,10}]

p1=ListPlot[ta,PlotStyle->PointSize[0.02]];

p2=Plot[Sin[x],{x,-10,10}];

Show[p1,p2];

ta=Prepend[Table[Point[{n,Sin[n]}],{n,-10,10}],PointSize[0.03]]

Show[Graphics[ta]]

Uebung 4      L

Remove[PolarPlot]

polarPlot[r_, {t_, t1_, t2_}] := 
      ParametricPlot[r {Cos[t], Sin[t]}, {t, t1, t2}, 
        PlotPoints -> 100,  AspectRatio -> Automatic]

polarPlot[t, {t, 0, 4  Pi}];

a

polarPlot[2 Cos[2 t], {t, 0, Pi}];

b

polarPlot[2 Cos[2 t + 1], {t, 0, 2  Pi}];

c

polarPlot[4 + 2  Sin[4  t] + Cos[16  t], {t, 0, 2  Pi}];

d

polarPlot[1 + t/2 - t^2 /4, {t, 0, 2  Pi}];

Uebung 5

Solve[x^2 - x + 1 == -x^2/2 + x + 2, {x}] // Flatten

% // N

p = 
        Plot[{x^2 - x + 1, -x^2/2 + x + 2},  {x, -4, 6}, 
          PlotPoints -> 100, DisplayFunction  ->  Identity];
Show[p, 
        Graphics[{Text["Loesung \n Solution ", {5, 5}], 
            Text["Loesung \n Solution ", {-3, 5}]}], 
        DisplayFunction  -> $DisplayFunction];

f[x_] := x^2 - x + 1; g[x_] := -x^2/2 + x + 2;

<< Graphics`InequalityGraphics`

p1 = Plot[ {f[x], g[x]},  {x,  -3,  3} ];

p2 = 
        InequalityPlot[ 
          f[x] ≥  y ≥ g[x],  {x,  -3,  
            3},  {y, -5, 12.5} ];

Show[p1, p2];

Ueb/Ex 6

Quadratische Ergänzung, in der Lektion gemacht, Siehe auch Skript Analysis.

Remove["Global`*"]

Uebung 7

a

Plot[E^Cos[x], {x, 0, 20}];

b

Plot[Log[x^2/(x^2 + 1)], {x, -1.3, 1.3}];

c

f[
          x_] := -Sin[x] - 
            2  /;  (-Pi ≤  x  &&  
              x  ≤  -Pi/2);
f[x_] := 
        Sin[x]           /;  (-Pi/2 <  x  &&  
              x  ≤  +Pi/2);
f[
          x_] := -Sin[x] + 
            2  /;  (+Pi/2 <  x  &&  
              x  ≤  +Pi);

Plot[f[x], {x, -Pi, Pi}];

d

Plot[E^(-x^2), {x, -Pi, Pi}];

Uebung 8

a

Plot[Sin[1/x],  {x, -2, 2}];

Beschränkt • bornée / 0: Nicht definiert • ne pas définit

b

Plot[E^Sin[x],  {x, -5, 7}];

Beschränkt • bornée /Periodisch • périodique

c

Plot[1/Sin[x],  {x, -5, 5}];

Polstellen •  places de pôles.....

d

Plot[Tan[Sin[x]],  {x, -10, 10}];

Beschränkt • bornée /Periodisch • périodique

e

Plot[4  x^2 - 3  x + 2,  {x, -1, 1}];

Beschränkt • bornée

f

Plot[Floor[x^7],  {x, -1.3, 1.3}, 
        PlotPoints -> 100];

Sprünge • sauts

g

Plot[Sign[x^7],  {x, -10, 10}];

h

Plot[x^7 Sign[x^7],  {x, -1.2, 1.2}];

Uebung 8

a

r[fi_] := Cos[2  fi] + 2;
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

Variante: Importieren! / Variante: Importer!

<< Graphics`Graphics`

PolarPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

Falsch! / Faux!

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

O.k.!

b

r[fi_] := Cos[fi/2];
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

c

r[fi_] := Cos[4 fi + fi/2];
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

d

r[fi_] := Cos[ fi + fi/2];
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

r[fi_] := 
        Cos[ fi + fi/2] + 1/3  Cos[3  fi];
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

r[fi_] := 
        Cos[ fi + fi/2] + 1/3  Cos[3  fi] + 1;
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];

r[fi_] := 
        Cos[ fi + fi/2] + 1/3  Cos[3  fi] + 2;
ParametricPlot[{Cos[fi] r[fi], Sin[fi] r[fi]}, {fi, 0, 
          4  Pi}];

PolarPlot[r[fi], {fi, 0, 4  Pi}];