Lösungen

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1

Wir verwenden hier die Skalierung nach der Periode 2 Pi. Das vereinfacht die Rechung etwas.

n=10; w = 2 Pi/n;
{x[0],y[0]}={0 w,0};
{x[1],y[1]}={1 w,0.309};
{x[2],y[2]}={2 w,0.588};
{x[3],y[3]}={3 w,0.809};
{x[4],y[4]}={4 w,0.951};
{x[5],y[5]}={5 w,0.99};
{x[6],y[6]}={6 w,0.951};
{x[7],y[7]}={7 w,0.809};
{x[8],y[8]}={8 w,0.588};
{x[9],y[9]}={9 w,0.3};

p[k_]:= {x[k],y[k]};
Table[p[k],{k,0,n-1}]

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]]

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,0,n-1}];
Table[c[s],{s,0,10}]//N

?ExpToTrig

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,0,n-1}];
fS[t]

fS[t]//ExpToTrig

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Plot[{Re[fS[t]],Sin[t/2]},{t,0,2Pi},Epilog->epi];

Wie man sieht, liegen die verwendeten Punkte auf der Linie von Sin[t/2]. Der Fehler (z.B. grosser Imaginäranteil stammt vermutlich davon, dass so nur wenige Koeffizienten berechnet werden können.)

2 (Das Problem der Periodengrenzen)

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f (t) = (e^(Cos (t)))  +  
          sin (((t))^2),   T = 2 π,  (Subscript[t, k])= ((2 π)/16), k = 0, 1, ..., 15

Definition der Funktion und Berechnung der Punkte

f[t_] := E^Cos[t] + Sin[t]^2;
n1  =  8;   n = 2 * n1; w = 2 Pi/n;
{x[k_], y[k_]} = {k 2 Pi/n, 
          f[k 2 Pi/n]};
p[k_] := {x[k], y[k]};
Table[p[k] // N, {k, 0, n - 1}] // TableForm

Plot der Funktion und der Punkte

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]];
Show[Graphics[epi]];

Plot[f[t], {t, 0, 2  Pi}, Epilog -> epi];

Berechnung der Koeffizienten mittels der DFT

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,0,n-1}];
Table[c[s],{s,0,n-1}]//N

Table[c[s], {s, -n + 1, n - 1}] // N // Chop

Berechnung der trigonometrischen Reihe durch die gegebenen Punkte (ohne Vereinfachung, aus Zeitgründen)

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,0,n-1}];
fS[t]

fS[t]//ExpToTrig

Plot der trigonometrischen Reihe durch die gegebenen Punkte

Realanteil (muss wesentlich sein)

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Imaginäranteil (sollte klein sein)

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Vergleich mit den gegebenen Punkten

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50,Epilog->epi];

Andere Grenzen, gleiche Periode ==> besser!

fSsym[t_] := 
        Sum[c[k] E^(I k t), {k, -n/2, n - 1 - n/2}];
Plot[Re[fSsym[t]], {t, 0, 2  Pi}, 
        PlotPoints -> 50];
Plot[Im[fSsym[t]], {t, 0, 2  Pi}, 
        PlotPoints -> 50];
Plot[{f[t], Re[fSsym[t]]}, {t, 0, 2  Pi}, PlotPoints -> 50, 
        Epilog -> epi];

Passt so viel besser:

Sehr kleine Ausschläge:

Funktion, Approximation und Punkte:

3 Hier sind die x-Werte unregelmässig verteilt! (Kommentar siehe am Schlusse!)

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Wir verwenden hier die Skalierung nach der Periode 2 Pi. Das vereinfacht die Rechung etwas.

n=20; w = 2 Pi/10;
{x[0],y[0]}={0.0 w, 14.2};
{x[1],y[1]}={0.05 w,12.8};
{x[2],y[2]}={1.12 w,12.9};
{x[3],y[3]}={1.6 w,7.4};
{x[4],y[4]}={2.3 w,6.7};
{x[5],y[5]}={2.8 w,9.5};
{x[6],y[6]}={3.0 w,9.8};
{x[7],y[7]}={3.9 w,9.3};
{x[8],y[8]}={4.7 w,10.2};
{x[9],y[9]}={5.4 w,11.5};
{x[10],y[10]}={5.6 w,15.2};
{x[11],y[11]}={6.6 w,15.6};
{x[12],y[12]}={6.9 w,16.7};
{x[13],y[13]}={7.3 w,16.4};
{x[14],y[14]}={7.7 w,16.7};
{x[15],y[15]}={8.2 w,14.1};
{x[16],y[16]}={8.5 w,13.2};
{x[17],y[17]}={8.8  w,10.5};
{x[18],y[18]}={9.1  w,11.8};
{x[19],y[19]}={9.9 w,13.9};

p[k_]:= {x[k],y[k]};
Table[p[k],{k,0,n-1}]

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]]

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,0,n-1}];
Table[c[s],{s,0,n-1}]//N

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,0,n-1}];
fS[t]

fS[t]//ExpToTrig

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Plot[Re[fS[t]], {t, 0, 2  Pi}, PlotPoints -> 50, 
        Epilog -> epi];

fSsym[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,-n/2,n-1-n/2}];
Plot[Re[fSsym[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50,Epilog->epi];

Resultat: Das Resultat entspricht nicht dem Gewünschten. Grund: Bei der DFT geht man von gleichen Abstanden auf der x-Achse aus, z.B. t(k+1)-t(k)= 2 π /n  (äquidistante Messungen)

4 (Kommentar siehe am Schlusse!)

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Wir verwenden hier die Skalierung nach der Periode 2 Pi. Das vereinfacht die Rechung etwas.

n=20; w = 2 Pi/n;
{x[0],y[0]}={0 w, 14.2};
{x[1],y[1]}={1 w,12.8};
{x[2],y[2]}={2 w,12.9};
{x[3],y[3]}={3 w,7.4};
{x[4],y[4]}={4 w,6.7};
{x[5],y[5]}={5 w,9.5};
{x[6],y[6]}={6 w,9.8};
{x[7],y[7]}={7 w,9.3};
{x[8],y[8]}={8 w,10.2};
{x[9],y[9]}={9 w,11.5};
{x[10],y[10]}={10 w,15.2};
{x[11],y[11]}={11 w,15.6};
{x[12],y[12]}={12 w,16.7};
{x[13],y[13]}={13 w,16.4};
{x[14],y[14]}={14 w,16.7};
{x[15],y[15]}={15 w,14.1};
{x[16],y[16]}={16 w,13.2};
{x[17],y[17]}={17  w,10.5};
{x[18],y[18]}={18  w,11.8};
{x[19],y[19]}={19 w,13.9};

p[k_]:= {x[k],y[k]};
Table[p[k],{k,0,n-1}]

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]]

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,0,n-1}];
Table[c[s],{s,0,n-1}]//N

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,0,n-1}];
fS[t]

fS[t]//ExpToTrig

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50];

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi},PlotPoints->50,Epilog->epi];

fSsym[t_] := 
        Sum[c[k] E^(I k t), {k, -n/2, 
            n - 1 - n/2}];
Plot[Re[fSsym[t]], {t, 0, 2  Pi}, PlotPoints -> 50, 
        Epilog -> epi];

Resultat: Das Resultat entspricht nun dem Gewünschten. 
Problem: Immer noch grosser Imaginäranteil infolge des frühen Abbruchs der Reihe

5 Selbststudium nach Anleitung in der Aufgabenstellung

Infolge der Natur der Aufgabe: Keine Lösung bereitstellbar.