Lösungen

1

Remove["Global`*"]

Plot von fFourier[t]:

<<Calculus`FourierTransform`

?*FourierTrig*

?FourierTrigSeries

f[t_]:= (2 t)^3;
Plot[f[t],{t,-1/2,1/2}];
Plot[f[t],{t,-1/2,1/2},PlotRange->{-1,1}];

FourierTrigSeries[f[t], t, 10]

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[f[t], t, 10]],{t,-2,2},AspectRatio->Automatic];

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[f[t], t, 10]],{t,-1/2,1/2},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.2,1.5}];

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[f[t], t, 11]],{t,-1/2,1/2},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.2,1.2}];

Plot von fFourier[t]-f[t]:

Table[Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[f[t], t, n]-f[t]],{t,-0.5,0.5}],{n,1,10}];

Overshoot heuristisch (Grösse von | fFourier[t]-f[t] |):

FindMaximum[Evaluate[(FourierTrigSeries[f[t], t, 10]-f[t]/.t->u)],{u,0.45}]

Ca. 17.9 % Overshoot

FindMaximum[Evaluate[(FourierTrigSeries[f[t], t, 20]-f[t]/.t->u)],{u,0.47}]

FindMaximum[Evaluate[(FourierTrigSeries[f[t], t, 30]-f[t]/.t->u)],{u,0.48}]

Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[f[t], t, 30]-f[t]],{t,-1/2+0.01,1/2-0.01},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.2,0.2}];

Da hier Die Funktion f über die zulässigen Grenzen hinaus definiert ist, kommt es exakt auf den Grenzen beim Plot zu einem Fehler. Man darf daher nicht bis exakt an die Grenzen plotten.

?*Max*

2

fFour[Ω_,f_]:=1/(2 π) Integrate[Evaluate[f[λ] E^(-I λ Ω)],{λ,-Infinity,Infinity}]

a

f[λ_ /; λ<0]:=0;
f[λ_ /; 0<=λ && λ<1]:= 1;
f[λ_ /; λ>=0]:=0;
Plot[f[λ],{λ,-1,2}];
fFour[Ω,f]

Das System kann nicht mit uneigentlichen komplexen Integralen dieser Art problemlos umgehen. Es bedarf weiterer Interventionen! Problem: Sinus und Cosinus sind an der Stelle unendlich nicht definiert!

1/(2 π) Integrate[Evaluate[f[λ] E^(-I λ Ω)],{λ,0,1}]

Limit[1/(2 π) Integrate[Evaluate[f[λ] E^(-I λ Ω)],{λ,-n,n}],{n->Infinity}]

b

Remove["Global`*"]

f[λ_ /; λ<0]:=0;
f[λ_ /; 0<=λ && λ<Pi]:= Sin[λ];
f[λ_ /; λ>=Pi]:=0;
Plot[f[λ],{λ,-1,5}];

1/(2 π) Integrate[Evaluate[f[λ] E^(-I λ Ω)],{λ,0,Pi}]

1/(2 π) Integrate[Evaluate[Sin[λ] (Cos[λ Ω]+I Sin[λ])],{λ,0,Pi}]

c

Remove["Global`*"]

f[λ_ /; λ<0]:=0;
f[λ_ /; 0<=λ && λ<3]:= λ;
f[λ_ /; λ>=3]:=0;
Plot[f[λ],{λ,-1,5}];

1/(2 π) Integrate[Evaluate[λ E^(-I λ Ω)],{λ,0,3}]