Lösungen

1

Remove["Global`*"]

a

f[x_]:=Sin[x];
k[x_]:=Evaluate[(f''[x])/(1+(f'[x])^2)^(3/2)]; k[x]

r[x_]:=Abs[1/k[x]]; r[x]/.x->Pi/2

b

Plot[f[x],{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic, Epilog->{Circle[{Pi/2,0},1]}];

c

Auf der x-Achse bei Pi/2

2

Remove["Global`*"]

a

m[x_]:= -q (zL-x)^2 / 2; m[x]

s[x_] := 
      DSolve[y''[x] == -m[x]/zE/zI, y[x], x] // 
        Flatten;  s[x]

s[z]

s[z][[1]][[2]] //FullForm

s[z][[1]][[2]] /. {C[1]->C1, C[2]->C2}

h[z_]:=s[z][[1]][[2]] /. {C[1]->C1, C[2]->C2} ; h[z]

h[3]

h[z]/.z->3

h1[u_]:=h[z]/.z->u;  h1[3]

solv1=Solve[{h1[0]==0,Evaluate[h1'[u]==0]/.u->0},{C1,C2}]//Simplify//Flatten

h2[u_]:=(h1[u]/.solv1)//Simplify; 
h3[t_]=InputForm[h2[t]]; {h2[u],h3[z]}

FullForm[h3[t]]

b

Masse in Meter und kg

hoehe= 0.05 Meter; A=hoehe^2; zI = A hoehe^2 /12

h3[u]

A

zE=210000 (10^3)^2 kg Meter/Sek^2 /Meter^2

zL = 2 Meter

q = 700 9.81 /zL kg Meter/Sek^2

h3[t]

h3[2 Meter]

c

q zL^4/zE/zI (* Einheitenvergleich *)

3

Remove["Global`*"]

a

v1={1,0,1}; w1={2,0,0}; v2={-1,1,0}; w2={0,1,2}; v3={0,-1,2}; w3={-1,1,3};
A= Transpose[{w1,w2,w3}].Inverse[Transpose[{v1,v2,v3}]]; A//MatrixForm

b

A.Transpose[{{1,1,1}}]// MatrixForm

c

Det[A]

4

Remove["Global`*"]

a

a={1,1,2}; b={-1,1,1}; u=Cross[a,b]

M= Transpose[{{0,0,0},a,b}].Inverse[Transpose[{u,a,b}]]; M//MatrixForm

dM= {{Cos[Pi/6],-Sin[Pi/6],0},{Sin[Pi/6],Cos[Pi/6],0},{0,0,1}}; dM//MatrixForm

Abb=dM.M; Abb//MatrixForm

dM.M//N//MatrixForm

b

dM.M.Transpose[{{1,-1,-1}}]//MatrixForm

dM.M.Transpose[{{1,-1,-1}}]//N//MatrixForm

c

Eigenvalues[Abb]

Eigenvalues[Abb]//N

5 Nicht erfüllbare Erwartungen

5 (a) Fall der Hauptspannungsrichtungen "{-3,10,5}, {0,3,-6}"

Remove["Global`*"]

a

a={-3,10,5}; b={0,3,-6}; a.b

a1=(A.Transpose[{1/5 {0,3,4}}]==Transpose[{{4000,900,-1200}}])

a2=(A.Transpose[{a}]==3000 Transpose[{a}])

a3=(A.Transpose[{b}]==0 Transpose[{b}])

A.Transpose[{1/5 {0,3,4},a,b}]==Transpose[{{4000,900,-1200},3000 a,0 b}]

A=Transpose[{{4000,900,-1200},3000 a,0 b}].Inverse[Transpose[{1/5 {0,3,4}, a, b}]]; A//MatrixForm

A//N//MatrixForm

Mit obigen Angaben wird die Transformationsmatrix nicht-symmetrisch. Der in der Aufgabe gegebene Spannungsvektor kann so nicht gegeben werden.

b

n3=Cross[a,b]

n2Norm=1/Norm[n3] n3

%//N

c  3. Hauptspannungsrichtungsvektor nicht Eigenvektor ==> Hauptspannung als Eigenwert nicht berechenbar

{n3/(-6),a/4,b/6}

Eigensystem[A]

%//N

5 (b) Fall der Hauptspannungsrichtungen "{-3,10,4}, {0,2,6}"

Remove["Global`*"]

a

a = {-3,10,4}; b = {0,2,6};
a.b

Problem: Hauptspannungsrichtungen nicht senkrecht zueinander

a1=(A.Transpose[{1/5 {0,3,4}}]==Transpose[{{4000,900,-1200}}])

a2=(A.Transpose[{a}]==3000 Transpose[{a}])

a3=(A.Transpose[{b}]==0 Transpose[{b}])

A.Transpose[{1/5 {0,3,4},a,b}]==Transpose[{{4000,900,-1200},3000 a,0 b}]

A=Transpose[{{4000,900,-1200},3000 a,0 b}].Inverse[Transpose[{1/5 {0,3,4}, a, b}]]; A//MatrixForm

A//N//MatrixForm

Mit obigen Angaben wird die Transformationsmatrix nicht-symmetrisch. Der in der Aufgabe gegebene Spannungsvektor kann so nicht gegeben werden. Zudem sind noch die gegebenen Hauptspannungsvektoren nicht orthogonal.

b

n3=Cross[a,b]

n2Norm=1/Norm[n3] n3

%//N

c  3. Hauptspannungsrichtungsvektor nicht Eigenvektor ==> Hauptspannung als Eigenwert nicht berechenbar

{n3/(-6),a/4,b/6}

Eigensystem[A]

%//N