Lösungen

1

a

>>u=[0 2 4 8 9]; length(u)
ans=5

b

>>u=[0 2 4 8 9]; size(u)
ans=1 5

c

>>m=[3,0,-5]; n=[2,1,6]; m+n
ans=5 1 1

d

>>m=[3,0,-5]; n=[2,1,6]; dot(m,n)
ans=-24

e

>>m=[3,0,-5]; n=[2,1,6]; cross(m,n)
ans=5-28 3

f

>>format long; a=sqrt(90)
a=9.48683298050514

2

Remove["Global`*"]

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
        x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}]

a

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}] /. {a -> 1, 
        b -> 1, c -> 3, d -> 4}

% // Simplify

Lösung eindeutig.

b

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}] /. {b -> 1, 
        c -> 3, d -> 4}

% // Simplify

Unendlich viele Lösungen kommt nicht vor. a ist Parameter.
Dim(L) = 1 (Rang = 2, Ordnung = 3.)

c

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}] /. {a -> 1, 
        c -> 3, d -> 4}

% // Simplify

b = -1: Keine Lösung. (Nenner wird 0, Zähler bei x ungleich 0.)
Sonst Lösung eindeutig.

d

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}] /. {a -> 1, 
        b -> 1, d -> 4}

% // Simplify

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y + 3  z == d}, {x, y, z}] /. {a -> 1, 
        b -> 1, d -> 4}

Reduce[{x + 2  y + 3  z == 4, x - 2  y + 3  z == 4,  
        x + 2  y + 3  z == 4}, {x, y, z}]

c ungleich -3: Lösung eindeutig.
c = -3:  Bei x Zähler und Nenner wird 0.    x (6+2c) =2(12+4c) ==> x ist unbestimmt. Unendlich viele x sind möglich, y, z sind fix. x ist als Parameter freil
Dim(L) = 1 (Rang = 2, Ordnung = 3.)

e

Solve[{a x + 2  y + 3  z == 4, b x - 2  y + 3  z == 4,  
          x + 2  y - c  z == d}, {x, y, z}] /. {a -> 1, 
        b -> 1, c -> 3}

% // Simplify

Unendlich viele Lösungen kommt nicht vor. d ist Parameter.
Dim(L) = 1 (Rang = 2, Ordnung = 3.)

3

Remove["Global`*"]

v = {1, 2, 3};
b1 = {3, 2, -2};
b2 = {3, 2, 1};
b3 = {2, -1, 2};

v == λ b1 +  μ b2 +  ν b3

Solve[
      v == λ b1 +  μ b2 +  ν b3, {λ, μ, ν}]

N[%]

4

a

Det[{b1, b2, b3}]/6

N[%]

b

winkelGrad[a_, b_] := 
      ArcCos[a . b/Norm[a]/Norm[b]]/Degree // N

winkelGrad[b1, b2]

winkelGrad[b1, b3]

winkelGrad[b2, b3]

Alle Winkel verschieden. Einer rechter Winkel.

5

a

w = {2, -1};
d[φ_] := {{Cos[φ], -Sin[φ]}, {Sin[φ], Cos[φ]}};
d[φ] // MatrixForm

d[Pi/2] . {{1}, {0}}

d[38.96 Degree] . Transpose[{w}] // MatrixForm

pS = d[38.96 Degree] . Transpose[{w}] // Flatten

b

r[t_] := w + t {1.5, 2.5}

n = {-2.5, 1.5};

h[s_] := pS + s n;

solv = Solve[r[t] == h[s], {t, s}] // Flatten

sS = r[t] /. solv

pSS = pS + 2 (sS - pS)

6

r1 = {1, 2, 1};  r2 = {2, 2, -1};  
    a1 = {3, -1, -1};  a2 = {-1, -1, 2};  
    P0 = {5, 5, 5};

    x1[λ_] := r1 + λ a1 ;   x2[μ_] := 
        r2 + μ a2 ;

a

Die Reichtungsvektoren sind linear unabhängig (nicht parallel). Prüfung, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben:

Solve[x1[λ] == x2[μ], {λ, μ}]

Nein! Windschief!

b

volumenSpat = Det[{r2 - r1, a1, a2}]

GrundFlaecheSpat = Norm[Cross[a1, a2]]

abstand = volumenSpat/GrundFlaecheSpat

N[%]

c

n = Cross[a2, a1]/Norm[Cross[a2, a1]]

N[%]

d

θ[λ_, μ_] := 
        r1 + λ a1 + μ a2;

-Det[{P0 - r1, a1, a2}]/Norm[Cross[a1, a2]]

N[%]