Lösungen

Beispiele von Aufgaben mit Laplace-Transformation

Hier werden nur Lösungswege für die folgenden Aufgaben aufgezeigt: 
4.2 // II/10 Aufgaben 1 und 2 sowie 3.8 // II/18, Aufgabe 2

1:

1.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[4 y''[t]-y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->1,y'[0]->-1}

1.2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[t ,t,s]

1.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

1.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

%//N

Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,5}]

2:

Alles wieder löschen, sauber machen

Remove["Global`*"]

2.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[y'''[t]-y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],y[0]->0,y'[0]->0,y''[0]->1}

2.2. Rechte Seite transformieren

rechts=LaplaceTransform[DiracDelta[t] ,t,s]

2.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

2.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//TrigFactor//Expand

U[s]//Apart

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

%//N

%//Expand

Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,6}]

3:

Alles wieder löschen, sauber machen[t]

Remove["Global`*"]

f[t_]:=Sin[t]/;0≤t && t<Pi/2;
f[t_]:=Sin[t -Pi/2 Floor[2t/Pi]]; ?f

Plot[f[t],{t,0,10},AspectRatio->Automatic]

LaplaceTransform[f[t],t,s]

rechts=1/(1-E^(-s Pi/2)) Integrate[E^(-s t) Sin[t],{t,0,Pi/2}]//Simplify

3.1. Linke Seite transformieren, Anfangswerte anpassen

links = LaplaceTransform[y'[t]-y[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,
s]->Y[s],y[0]->1}

3.2. Rechte Seite transformieren

3.3. Gleichung links = rechts lösen

solv=Solve[links==rechts,{Y[s]}] // Flatten

3.4. Rücktransformation

U[s]:=Y[s]/. solv;  U[s]

U[s]//Apart

Apart[(2+s^2)/(-1+s-s^2+s^3)]

Limit[s U[s],s->0]

u0[t_]:=InverseLaplaceTransform[U[s],s,t]//Simplify; u0[t]

(* Plot[Evaluate[{u0[t]}],{t,0,4}] geht nicht *)

Plot[Evaluate[U[s]],{s,0,4}]

Plot[Evaluate[s U[s]],{s,0,4}]

4:

Alles wieder löschen, sauber machen

Remove["Global`*"]

4.1. Linke Seiten transformieren, Anfangswerte anpassen

links1 = LaplaceTransform[y'[t]+z'[t],t,s] /. {LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],
LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->0,z[0]->0}

links2 = LaplaceTransform[y[t]+2 z[t]-2y'[t]-z'[t],t,s] /. 
{LaplaceTransform[y[t],t,s]->Y[s],LaplaceTransform[z[t],t,s]->Z[s],y[0]->0,z[0]->0}

4.2. Rechte Seite transformieren

us[t_]:=UnitStep[t]-UnitStep[t-1];
Plot[us[t],{t,-1,3},AspectRatio->Automatic];

rechts1=LaplaceTransform[0 ,t,s]

rechts2=LaplaceTransform[us[t] ,t,s]

4.3. Gleichungssystem links1 = rechts1, links2 = rechts2 lösen

solv=Solve[{links1==rechts1,links2==rechts2},{Y[s],Z[s]}] // Flatten

4.4. Rücktransformation

Uy[s]:=Y[s]/. solv;  Uy[s]

Uy[s]//Apart

uy0[t_]:=InverseLaplaceTransform[Uy[s],s,t]//Simplify; uy0[t]

uy0[t]//Expand

Plot[{HeavisideTheta[t],UnitStep[t]},{t,-2,5}]

Plot[uy0[t],{t,-2,5}]

Uz[s]:=Z[s]/. solv;  Uz[s]

Uz[s]//Apart

uz0[t_]:=InverseLaplaceTransform[Uz[s],s,t]//Simplify; uz0[t]

uz0[t]//Expand

Plot[uz0[t],{t,-2,5}]

5: Berechnung von Krümmung und Anschmiegekreis bei ebenen Kurven

5.1. Definition der Funktion

Remove["Global`*"]

fx[t_]:=t;  fy[t_]:=E^t;  f[t_]:={fx[t],fy[t]};

5.2. Definition des Bereiches der Variablen

tmin=-2;  tmax= 2;

5.3. Plot Ausgangsfunktion

origPlot=ParametricPlot[Evaluate[f[t]],{t,tmin-1,tmax+1},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

tmin=-1;  tmax= 1.5;

5.4. Krümmung

vLen[v_]:=Sqrt[v.v]

f3d[t_]:=Join[f[t],{0}]; f3d[t]

Cross[D[f3d[t],t],D[f3d[t],{t,2}]]

Cross[f3d'[t],f3d''[t]]

ϰ[t_]=(Cross[D[f3d[t],t],D[f3d[t],{t,2}]]/vLen[D[f3d[t],t]]^3)[[3]];  ϰ[t]

Plot[Evaluate[ϰ[t]],{t,tmin,tmax}]

5.5. Krümmungsradius

ρ[t_]:=Abs[1/ϰ[t]];  ρ[t]

Plot[Evaluate[ρ[t]],{t,tmin,tmax}]

5.6. Krümmungskreismittelpunkt (Evolute)

Take[Cross[Cross[f3d'[t],f3d''[t]],f3d'[t]]/vLen[Cross[Cross[f3d'[t],f3d''[t]],f3d'[t]]]]

n[t_]=Take[Cross[Cross[f3d'[t],f3d''[t]],f3d'[t]]/vLen[Cross[Cross[f3d'[t],f3d''[t]],f3d'[t]]],2]; n[t]

m[t_]:=f[t]+ ρ[t]*n[t];  m[3]

evolute=ParametricPlot[Evaluate[m[t]],{t,tmin-1.3,tmax},AspectRatio->Automatic,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]

5.7. Ursprüngliche Funktion mit den Schmiegekreisen

myCirc[t_]:=Circle[m[t],  ρ[t]];  myCirc[t]

myCirc[2]

myPlotTable=Table[Evaluate[myCirc[t]],{t,0.1,tmax,0.1}]

constrPlot=Show[Graphics[Join[{RGBColor[0,0.5,0.5]},myPlotTable]],Axes->True,AspectRatio->Automatic]

5.8. Alles zusammen

Show[constrPlot,evolute,origPlot]

5.9. Krümmungskreismittelpunkt für t = 0:

m[0]