Lösungen

1

Remove["Global`*"];

a Idee

T = 2 Pi;
cc  = 0;
f[t_] := t^3;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
c[k_] := 
        1/T Integrate[
            f[t] E^(-I k ω t), {t, cc, 
              cc + T}];
ff[t_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              Infinity}];
ff[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ffk[t_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -Infinity, 
            Infinity}];
ffk[t_, h_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -h, 
            h}];
ff[t, 6]

a[0]/2

a[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

b[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

ff[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ff[t, 6]

N[%]

Modul (als Idee)

Remove["Global`*"];

work[T_, cc_, f_] := 
      Module[{}, 
ω  =  
          2 Pi/T; 
a[0] = 
          2/T Integrate[f, {t, cc, cc + T}]; 
a[k_] := 
          2/T Integrate[
              f Cos[k ω t], {t, cc, cc + T}]; 
b[
            k_] := 2/T Integrate[
              f Sin[k ω t], {t, cc, cc + T}]; 
c[
            k_] := 1/T Integrate[
              f E^(-I k ω t), {t, cc, 
                cc + T}]; 
ff[t_] := 
          a[0]/2 + 
            Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
                Infinity}]; 
ff[t_, h_] := 
          a[0]/2 + 
            Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
                h}]; 
ffk[t_] := 
          Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -Infinity, 
              Infinity}]; 
ffk[t_, h_] := 
          Sum[c[n] E^(I n ω t), {n, -h, 
              h}];
]

T = 2 Pi;
cc  = 0;
f[t_] := t^3;
work[T, cc, f[t]];

a[0]

a[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

b[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

ff[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ff[t, 6]

N[%]

D[Evaluate[ff[t, 6]], t] // Simplify

N[%]

(2  Pi)^3 // N

Plot[Evaluate[ff[t, 10]], {t, -0.5, 7}];

b

Es gilt:

a[0]/2

a[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

b[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

1

Für t=0 werden die Sinusterme und die Cosinusterme 1. Der Funktionswert ist das arithmetische Mittel zwischen dem links-und dem rechtsseitigen Limes.es gilt:linksseitiger Limes=ff[2Pi,6]

funktionswertBeiNull = ((2 Pi)^3 + 0)/2

Das führt auf die Gleichung
4 (π^3) = 
      2 (π^3) + 
        Sum[((12 π)/(k^2)), {k, 1, Infinity}]
Daraus berechnet man

Sum[(1/(k^2)), {k, 1, Infinity}]

2

Für t=Pi werden die Sinusterme und die Cosinusterme +/-1. Der Funktionswert ist das arithmetische Mittel zwischen dem links-und dem rechtsseitigen Limes.es gilt:linksseitiger Limes=ff[2Pi,6]

funktionswertBeiPi = Pi^3

Das führt auf die Gleichung
(π^3) = 
        2 (π^3) + 
          Sum[((12 π)/(k^2)) (((-1))^k), {k, 1, Infinity}]
=      2 (π^3) - 
            Sum[((12 π)/(k^2)) (((-1))^(k + 1)), {k, 1, 
                Infinity}] = 
Daraus berechnet man

Sum[(-1)^(((k + 1))/(k^2)), {k, 1, Infinity}]

3

\(Um\ zur\ Summe\ der\ Terme\ 1\/k\^4\ \ zu\ kommen, 
      wäre\ es\ notwendig\ die\ \ oben\ betrachtete\ Reihe\ zu\ differenzieren\ und\ dann\ Parceval\ zu\ verwenden . \ \ Das\ ist\ jedoch\ problematisch, \ 
      da\ dann\ aus\ einem\ Teil\ von\ b[
          k]\ der\ Faktor\ k\ im\ Nenner\ herausfällt . 
          Das\ zieht\ Arbeit\ nach\ sich, \ die\ man\ vermeiden\ kann, \ 
      wenn\ man\ direkt\ die\ Reihe\ von\ t\^2\ an\ Stelle\ der\ Ableitung\ der\ Reihe\ von\)
(t^3) verwendet.

Remove["Global`*"];

T = 2 Pi;
cc  = 0;
f[t_] := t^2;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
ff[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ff[t, 6]

N[%]

a[0]

a[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

b[k] /. { Cos[2 k π] -> 1,  
        Sin[2 k π] -> 0}

intParceval = 
      1/(2  Pi) Integrate[(t^2)^2, {t, 0, 2  Pi}]

Parceval:
((16 (π^4))/5) = a[0]/2 + (1/2)Sum[a[k]^(2 )+ b[k]^2,{k,1,Infinity}]
Im  a[k]^(2 ) steckt der gesuchte Term. Die restlichen Terme kennen wir von oben. Man errechnet dataus das Resultat.

Sum[1/k^4, {k, 1, Infinity}]

c

Gibbs'sches Phänomen: Es entsteht ein Overshoot resp. Undershoot.

d

Dehne die gegebene Funktion (x^2)wie folgt aus: Setze sie nach rechts bis zu 
x = 4 π einfach als (x^2) fort und nach links als  -(x^2) bis zu x = -4 π. Die entstehende Funktion soll periodisch sein, also 8 π -periodisch. zudem ist sie symmetrisch zum Ursprung, hat also eine reine Sinusreihe.

2

Remove["Global`*"];

a

T = Pi;
cc  = 0;
f[t_] := t;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
ff[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ff[t, 10]

N[%]

b

Ersetze t durch - t. Dadurch wird Sin[k(-t)]=-Sin[k t]. Schiebe dann die Funktion um 3 nach oben.

-ff[t, 10] + 3

Kontrolle:

T = Pi;
cc  = 0;
f[t_] := 3 - t;
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[t], {t, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Cos[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[t] Sin[k ω t], {t, cc, 
              cc + T}];
ff1[t_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω t] + b[n] Sin[n ω t], {n, 1, 
              h}];
ff1[t, 10] // Simplify

N[%]

3

Remove["Global`*"];

a

T = Pi;
cc  = -Pi/2;
f[x_] := 2 + 2  Cos[x];
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[x], {x, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[x] Cos[k ω x], {x, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[x] Sin[k ω x], {x, cc, 
              cc + T}];
ff2[x_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω x] + b[n] Sin[n ω x], {n, 1, 
              h}];
ff2[x, 10] // Simplify

N[%]

Plot[Evaluate[ff2[x, 10]], {x, 0, 10}];

b

Das Phänomen kommt nicht zur Wirkung, da die Funktion stetig ist und die Werte der Reihe mit n gegen unendlich die Werte der Funktion konvergieren.

c

a[k] // ExpandAll

b[k] // ExpandAll

Beim Ableiten kommt ein Faktor k vor den Koeffizient a[k]. Der Term mit Sin[k π] wird zu ((4 )/( π))Sin[k π]. Dabei nimmt Sin[k π] immer den Wert 0 an. Der andere Teil von a[k] besitzt nach dem Ableiten den Faktor ((8 k)/((1 - 4 (k^2)) π))vor dem Cosinus. Die Cosinusreihe konvergiert, da der Nenner mit (k^2) wächst, der Zähler nur mit k. Dazu ist noch  b[k] = 0. Damit konvergiert die Fourierreihe.

d

Plot[Evaluate[D[ff2[x, 20], x]], {x, 0, 5}];

Es ist die Funktion -2 Sin[x] auf [-(π/2), (π/2)) = Grundintervall, sonst periodisch.

e

T = Pi;
cc  = -Pi/2;
f[x_] := 2 + 2  Cos[x];
ω  =  2 Pi/T;
a[0] := 
        2/T Integrate[f[x], {x, cc, cc + T}];
a[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[x] Cos[k ω x], {x, cc, 
              cc + T}];
b[k_] := 
        2/T Integrate[
            f[x] Sin[k ω x], {x, cc, 
              cc + T}];
c[k_] := 
        1/T Integrate[
            f[x] E^(-I k ω x), {x, cc, 
              cc + T}];
ff[x_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω x] + b[n] Sin[n ω x], {n, 1, 
              Infinity}];
ff[x_, h_] := 
        a[0]/2 + 
          Sum[a[n] Cos[n ω x] + b[n] Sin[n ω x], {n, 1, 
              h}];
ffk[x_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω x), {n, -Infinity, 
            Infinity}];
ffk[x_, h_] := 
        Sum[c[n] E^(I n ω x), {n, -h, 
            h}];
ffk[t, 10]

f

amplitudenSpektrum = Table[c[n], {n, -10, 10}]

phasenSpektrum = Table[0, {n, -10, 10}]

4a  Einseitig

Remove["Global`*"];

a

Wir verwenden zuerst die Skalierung nach der Periode 2 Pi. Das vereinfacht die Rechung etwas.

n=3; w = 2 Pi/n;
{x[0],y[0]}={0 w,2};
{x[1],y[1]}={1 w,2};
{x[2],y[2]}={2 w,3};

p[k_]:= {x[k],y[k]};
Table[p[k],{k,0,n-1}]

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]]

epi1 = 
      Prepend[Map[Point, Table[{k, y[k]}, {k, 0, n - 1}]], 
        PointSize[0.03]]

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,0,n-1}];
Table[c[s],{s,0,10}]//N

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,0,n-1}];
fS[t]

% // ExpandAll

fS1[s_] := fS[s 2  Pi/3];
fS1[s]

% // ExpandAll

% // N // Simplify

fS[t]//ExpToTrig

% // ExpandAll

% // N

fS1[s] // ExpToTrig

% // ExpandAll

% // N

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Man beachte im letzten Plot die Grösse der Amplitude.

Plot[{Re[fS[t]],Sin[t/2]},{t,0,2Pi},Epilog->epi];

Wie man sieht, liegen die verwendeten Punkte auf der Linie von Sin[t/2]. Der Fehler (z.B. grosser Imaginäranteil stammt vermutlich davon, dass so nur wenige Koeffizienten berechnet werden können.)

Plot[{Re[fS1[s]]}, {s, 0, 4}, Epilog -> epi1];

b

Um eine FFT machen zu können, braucht man eine 2-er Potenz als Anzahl der Intervalle.

c

Man müsste z.B. 4 Messungen in einer Periode haben..

4b  Beidseitig

Remove["Global`*"];

a

Wir verwenden zuerst die Skalierung nach der Periode 2 Pi. Das vereinfacht die Rechung etwas.

n=3; w = 2 Pi/n;
{x[0],y[0]}={0 w,2};
{x[1],y[1]}={1 w,2};
{x[2],y[2]}={2 w,3};
{x[-1],y[-1]}={-1 w,3};
{x[-2],y[-2]}={-2 w,2};
{x[-3],y[-3]}={-3 w,2};

p[k_]:= {x[k],y[k]};
Table[p[k],{k,-(n-1),(n-1)}]

epi=Prepend[Map[Point,Table[p[k],{k,0,n-1}]],PointSize[0.03]]

epi1 = 
      Prepend[Map[Point, Table[{k, y[k]}, {k, 0, n - 1}]], 
        PointSize[0.03]]

r = E^(-I 2 Pi/n);
c[s_]:= 1/n Sum[y[k] r^(s k),{k,-Floor[(n-1)/2],n-1-Floor[(n-1)/2]}];
Table[c[s],{s,0,10}]//N

fS[t_]:=Sum[c[k] E^(I k t),{k,-Floor[(n-1)/2],n-1-Floor[(n-1)/2]}];
fS[t]

% // ExpandAll

fS1[s_] := fS[s 2  Pi/3];
fS1[s]

% // ExpandAll

% // N // Simplify

fS[t]//ExpToTrig

% // ExpandAll

% // N

fS1[s] // ExpToTrig

% // ExpandAll

% // N

Plot[Re[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Plot[Im[fS[t]],{t,0,2Pi}];

Man beachte im letzten Plot die Grösse der Amplitude.

Plot[{Re[fS[t]],Sin[t/2]},{t,0,2Pi},Epilog->epi];

Wie man sieht, liegen die verwendeten Punkte auf der Linie von Sin[t/2]. Der Fehler (z.B. grosser Imaginäranteil stammt vermutlich davon, dass so nur wenige Koeffizienten berechnet werden können.)

Plot[{Re[fS1[s]]}, {s, 0, 4}, Epilog -> epi1];

b

Um eine FFT machen zu können, braucht man eine 2-er Potenz als Anzahl der Intervalle.

c

Man müsste z.B. 4 Messungen in einer Periode haben..

5

Remove["Global`*"];

a

f1[t_] := 
        UnitStep[x + 2] - UnitStep[x - 2];
Plot[f1[x], {x, -3, 3}];

b

f2[
          t_] := (4 - x^2) (UnitStep[x + 2] - 
              UnitStep[x - 2]);
Plot[f2[x], {x, -3, 3}];

c  (Achtung Faktor (1/(Sqrt[π])) bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!)

FourierTransform[f1[x], x, ω]

d  (Achtung Faktor (1/(Sqrt[π])) bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!)

FourierTransform[f2[x], x, ω]

FourierTransform[f2[x], x, ω] // Simplify

% // ExpToTrig // Simplify

e

InverseFourierTransform[(Cos[Ω] + 
            Sin[Ω])/Ω, Ω, 
      x]

InverseFourierTransform[(Cos[Ω] + 
              Sin[Ω])/Ω, Ω, x] // 
      Simplify

6

Remove["Global`*"];

a

Man kann die (Subscript[C, k]) (λ)  berechnen.

b (Achtung Faktor (1/(Sqrt[π])) bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!)

f[x_] := 
        UnitStep[x + 1] - UnitStep[x - 1];
Plot[f[x], {x, -3, 3}];

FourierTransform[f[x], x, ω] // Simplify

g[x_] := f[x - 100] f[x];
Plot[g[x], {x, -3, 3}];

g[x]  ist  0.

c (Achtung Faktor (1/(Sqrt[π])) bei anderer Definition der Fouriertransformation!!!)

u[1, 1] = 
      Integrate[
        Evaluate[
          FourierTransform[f[x], 
              x, λ] Cos[λ] E^(I λ)], {λ, -Infinity, Infinity} ]