Lösungen

1

a

Abgabe Papier

b

Abgabe elektronisch

2

Remove["Global`*"]

a

LaplaceTransform[Sin[3 t + Pi], t, s]

LaplaceTransform[Cos[3 t], t, s]

LaplaceTransform[Sin[3 t + Pi] + Cos[3 t] + t E^-(3  t), t, 
      s]

% // Together

b

LaplaceTransform[Sin[3 t + Pi] + Cos[3 t] + t E^-(3  t), t, 
        s] /. s -> 3

c

LaplaceTransform[Sin[3 t + Pi] + Cos[3 t] + t E^-(3  t), t, 
        s] /. s -> -3

Kommentar: s < 0  ==>  s ausserhalb des Definitionsbereiches von F(s)!  Die Polstelle von F(s) ist bedeutungslos.

3

Remove["Global`*"]

f[t_] := Sin[t];
f[t_ /;  t < 1] := t;
f[t_ /;  1 ≤ t  &&  t < Pi/2] := 1;

Plot[f[t], {t, -1, 10}];

Integrate[E^(-s t) t, {t, 0, 1}] // ExpandAll

Integrate[E^(-s t) 1, {t, 1, Pi/2}] // ExpandAll

Integrate[E^(-s t) Sin[t], {t, Pi/2, Infinity}] // 
      ExpandAll

Integrate[E^(-s t) t, {t, 0, 1}] + 
        Integrate[
          E^(-s t) 1, {t, 1, Pi/2}] + 
Integrate[
          E^(-s t) Sin[t], {t, Pi/2, Infinity}] // 
      ExpandAll

((1/(s^2)) - ((E^(-s))/(s^2)) - ((E^(-((π s)/2)))/s) + (((E^(-((π s)/2))) s)/(1 + (s^2)))) /. {E^(-s) -> ϱ[s], 
        E^(-Pi s/2) -> ϱ[s]^(Pi/2)}

4

a

x[0] = 0;  y[0] = 1;

(LaplaceTransform[x'[t] - 2  y[t], t, s] == 
          LaplaceTransform[DiracDelta[t], t, s]) /.  {LaplaceTransform[
            x[t], t, s] -> Xs, 
        LaplaceTransform[y[t], t, s] -> Ys}

(LaplaceTransform[x[t] + y'[t], t, s] == 
          LaplaceTransform[-Sin[ t], t, s]) /.  {LaplaceTransform[
            x[t], t, s] -> Xs, 
        LaplaceTransform[y[t], t, s] -> Ys}

b

solv = 
      Solve[{s Xs - 2 Ys == 
              1, -1 + Xs + s Ys == -(1/(1 + (s^2)))}, {Xs, 
            Ys}] // Flatten

X[s_] := Xs /. solv;  X[s]

Apart[X[s]]

Y[s_] := Ys /. solv;  Y[s]

Apart[Y[s]]

c

InverseLaplaceTransform[X[s], s, t] // Expand

InverseLaplaceTransform[Y[s], s, t] // Expand

5

Remove["Global`*"]

a

y[0] = 0;  y'[0] = 1;

u = (LaplaceTransform[y''[t] - y'[t] + 2  y[t], t, s] == 
            LaplaceTransform[1, t, s]) /.  {LaplaceTransform[y[t], t, 
              s] -> Ys}

solv = Solve[u, {Ys}] // Flatten

(Y[s_] := Ys  /. solv ) ;  (Y[s]) // Apart

b

InverseLaplaceTransform[Y[s], s, t] // Expand

c

Plot[
        (1/14) (7 + (E^(t/2)) (-7 Cos[(((Sqrt[7]) t)/2)] + 5 (Sqrt[7]) Sin[(((Sqrt[7]) t)/2)])), {t, 0, 7}];

d

\(e\^\(t/2\)\ wächst\ über\ alle\ Grenzen . \ Cosinus\ und\ Sinus\ sorgen\ für\ ein\ Hin - \ 
      und\ Herpendeln . \ 
          Der\ Limes\ für\ t\ gegen\ unendlich\ ist\ nicht\ \(\(definiert\)\(.\)\)\)

6

Remove["Global`*"]

<<Statistics`StatisticsPlots`

M1 = 
      Round[100*Table[6.2 + 0.4  Random[], {t, 1, 20}]]/100  // N

M1 = {6.36`, 6.56`, 6.42`, 6.27`, 6.36`, 6.47`, 6.29`, 6.54`, 6.3`, 
        6.55`, 6.46`, 6.49`, 6.38`, 6.4`, 6.35`, 6.41`, 6.56`, 6.25`, 
        6.34`}

M2 = 
      Round[100*Table[6.3 + 0.3  Random[], {t, 1, 20}]]/100  // N

M2 = {6.55`, 6.48`, 6.51`, 6.51`, 6.43`, 6.51`, 6.35`, 6.46`, 6.31`, 
        6.31`, 6.58`, 6.51`, 6.54`, 6.35`, 6.39`, 6.59`, 6.4`, 6.5`, 
        6.57`}

MM = {M1, M2} // Transpose

a

<< Statistics`DescriptiveStatistics`

minmax[t_] := {Max[t], Min[t], Max[t] - Mean[t],  Mean[t] - Min[t], 
        Max[t] - Min[t]}

minmax[M1]

minmax[M2]

LocationReport[M1]

LocationReport[M2]

b

DispersionReport[M1]

DispersionReport[M2]

q[M_] := Quartiles[M]

q[M1]

q[M1][[3]]-q[M1][[1]]

q[M2]

q[M2][[3]]-q[M2][[1]]

c

Abs[Mean[M1] - Min[M1]] >  2 StandardDeviation[M1]

Abs[Mean[M2] - Min[M2]] >  2 StandardDeviation[M2]

Keine schwachen Ausreisser!

d

BoxWhiskerPlot[MM];

7

a

14 ==> 13 nummerierte Zwischenstellen. 2 daraus auswählen.

Binomial[13, 2]

b

5 auswählen, aus dem Rest nochmals 5 und dann die bleibenden 4

Binomial[14 - 5 2, 4]

Binomial[14, 5] Binomial[14 - 5, 5] Binomial[14 - 5 2, 4]

c

Binomial[14, 5] 5 Binomial[14 - 5, 5] 5 Binomial[14 - 5 2, 
        4] 4

8

1000 Leute:

Nicht infisziert, Test richtig     (richtigerweise nicht behandlet)

1000  0.9  0.7

Nicht infisziert, Test falsch     (fälschlicherweise behandlet)

1000  0.9  0.3

Infisziert, Test richtig     (richtigerweise behandlet)

1000  0.1  0.7

Infisziert, Test falsch     (fälschlicherweise nicht behandlet)

1000  0.1  0.3

270 Menschen werden hier fälschlicherweise behandlet mit grossen Folgen und 30 fälschlicherweise nicht behandlet mit noch grösseren Folgen