Lösungen/Solutions/E1S2AnUe/Ex13

L=Lektion/Leçon-- Sprechstunde/heures de consultation
W=Work/Arbeit/Travail
A  =Anhang/  Annexe / Appendice

Remove["Global`"]

Vorspann

a) Erzeugung eines privaten Packages mit Routinen, die später immer wieder gebraucht werden können

Erzeuge zuerst ein leeres File im Default-Verzeichnis mit dem Namen "progr.m":
P.S.:   (*     *)  ist Kommentar-Code. Für einen Run müssen Klammern und Sterne eliminiert werden.

Kopiere dieses Package von Hand dort hinein (Copy-Paste).
Anschliessend kannst Du es mit dem weiter unten gegebenen Befehl laden ("Needs").

BeginPackage["progr`"];
vecLen::usage = "vecLen[v] gives the length of a vector.";
mF::usage = "mF[M] gives the MatrixForm of a matrix.";
vF::usage = "vF[v] gives the MatrixForm of a vector.";
p3D::usage = "p3D[{f1[x,y],f2[x,y]},{x,x1,x2},{y,y1,y2}] gives the \
overlay of two 3D-plots of the functions f1[x,y] and f2[x,y] with the \
variables x and y in the region [x1,x2]x[y1,y2].";
Begin["`Private`"];
vecLen[v_] := Sqrt[v . v];
mF[m_] := MatrixForm[m];
vF[v_] := MatrixForm[Transpose[{v}]];
p3D[{f1_, f2_}, {x_, x1_, x2_}, {y_, y1_, 
            y2_}] := 
Module[{p1, 
            p2}, 
p1 = 
            Plot3D[f1, {x, x1, x2}, {y, y1, y2}, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
p2 = 
            Plot3D[f2, {x, x1, x2}, {y, y1, y2}, 
              DisplayFunction -> Identity]; 
Show[p2, 
            p1, DisplayFunction -> $DisplayFunction]];
End[];
Protect[vecLen, mF, vF, p3D]
EndPackage[];

Package laden, falls sich das Package noch nicht in $Packages befindet (beim ersten Mal laden in der Session):

Package laden, falls sich das Package schon in $Packages befindet:

Nach einer normalen Speicherung oder einer Speicherung mit Save As Special im Package-Format kann ein File wohl wieder eingelesen werden (nachfolgende Befehle), doch nicht als Package genutzt werden, weil sie nicht in der Liste $Packages verzeichnet sind.

\( (*\ << "C:\Eigene Dateien\Mathematica\MathemDFKorr\progr.m"\ *) \)

\( (*\ << "C:\Eigene Dateien\Mathematica\MathemDFKorr\progr.nb"\ *) \)

Putzmaschine: Alle bisherigen Informationen des Session löschen.

Remove["Global`@*"]

b) Verwendung des Packages

Needs["progr`"]

Pfade, Context, ContextPath, Package-Variable prüfen:

$Path

$Context

$ContextPath

$Packages

?? *pro*

?progr

?? progr`*

Inhalt des Packages ansehen:

?progr`mF

?mF

mF[{1, 2}]

?vecLen

$Packages

Aufgabe 1

a) Aufgabe lösen:

V = 
      Integrate[
        Integrate[
          f1[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^2], Sqrt[4 - x^2]}], {x, -2, 
          2}]

f1a[x_, y_] := 4 - x^2 - y^2; f1[x, y]

?p3D

p3D[{0, f1a[x, y]}, {x, -2.2, 2.2}, {y, -2.2, 
          2.2}];

Va = 
      Integrate[
        Integrate[
          f1a[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^2], Sqrt[4 - x^2]}], {x, -2, 
          2}]

Va // N

f1b[x_, y_] := 4 - x^4 - y^2; f1b[x, y]

Integrate[f1b[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^4], Sqrt[4 - x^4]}]

Vb = 
      Integrate[
        Integrate[
          f1b[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^4], 
            Sqrt[4 - x^4]}], {x, -Sqrt[2], Sqrt[2]}]

Vb = 
      NIntegrate[
        Integrate[
          f1b[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^4], 
            Sqrt[4 - x^4]}], {x, -Sqrt[2], Sqrt[2]}]

Vb = 
      NIntegrate[
          Integrate[
            f1b[x, y], {y, -Sqrt[4 - x^4], 
              Sqrt[4 - x^4]}], {x, -Sqrt[2], Sqrt[2]}] // Chop

b

Aufgabe 2

f2[x_, y_] := Sin[x + y] + 1

a

Evaluate[
      Sqrt[1 + Evaluate[D[f2[x, y], x]^2] + 
            Evaluate[D[f2[x, y], y]^2]] /. {x -> r, 
          y -> s}]

Integrate[
      Evaluate[Sqrt[
            1 + Evaluate[D[f2[x, y], x]^2] + 
              Evaluate[D[f2[x, y], y]^2]] /. {x -> r, 
            y -> s}], 
{r, -4 Pi, 
        4  Pi}]

Integrate[
      Integrate[
        Evaluate[
          Sqrt[1 + Evaluate[D[f2[x, y], x]^2] + 
                Evaluate[D[f2[x, y], y]^2]] /. {x -> r, 
              y -> s}], 
{r, -4 Pi, 
          4  Pi}], {s, -4 Pi, 4  Pi}]

Oberfl = 
      NIntegrate[
        NIntegrate[
          Evaluate[
            Sqrt[1 + Evaluate[D[f2[x, y], x]^2] + 
                  Evaluate[D[f2[x, y], y]^2]] /. {x -> r, 
                y -> s}], 
{r, -4 Pi, 
            4  Pi}], {s, -4 Pi, 4  Pi}]

Plot3D[f2[r, s], {r, -4 Pi, 4  Pi}, {s, -4 Pi, 4  Pi}, 
        PlotPoints -> 50];

b

V = 
      Integrate[
        Integrate[f2[r, s], {r, -4 Pi, 4  Pi}], {s, -4 Pi, 
          4  Pi}]

N[%]

Aufgabe 3

sig[u_, v_] := {u^2 - v^2, Log[1 + u + v] Sin[u + v],  
        u Sin[u v]};  vF[sig[u, v]]

vecLen[
      Cross[Evaluate[D[sig[u, v], u]], Evaluate[D[sig[u, v], v]]]]

NIntegrate[
      NIntegrate[
        Evaluate[
vecLen[
              Cross[Evaluate[D[sig[u, v], u]], 
                Evaluate[D[sig[u, v], v]]]]
 /. {u -> 
                r, v -> s}], 
{r, 0, Pi}], {s, 0, 
        Pi}]