S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Ausfall der Lektionen während der ganzen Woche infolge
abteilungsübergreifender Planung:
- Montag Einführungstag
- Mittwoch Lerntechnik
- Freitag Abteilungsausflug
(==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
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- Selbststudium: Siehe Übungen
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Wo 2 |
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6. Lernen =
erarbeiten * verstehen * behalten * abrufen * anwenden. // Faktor = 0
==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der
Repetition
- 7.
Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Zeitplanung
-
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen
Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft
- Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Selbststudium: Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt
-
- Basics:
Achtung: Den angekündigten Kurztest beachten!
Link: Hier klicken
Regulärer Stoff: Kurzes Eingehen auf
- Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt (Schreibweise...)
- Zahlenaufbau: P, N, N0, Z, Q, R, C,
Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung
nicht gelöst werden kann...)
- Unendlichkeit von P
- Wurzel aus 2 irrational (Beweis) - (transzendente) Zahlen e, Pi,
Dezimalbruchentwicklung, Kettenbruchdarstellung
- Selbststudium:
- Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2
- Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten
- Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e
- Logarithmengesetze
- Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 3 |
- Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2
- Repetition Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten
- Repetition Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e
- Repetition Logarithmengesetze
- Typen von Gleichheitszeichen und Gleichungen: Bijektion, Aussage,
Funktionsgleichung, Wertzuweisung, Bestimmungsgleichungen,...
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Vieta
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Wurzel = positive Wurzel, sonst Vorzeichen
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren
- Betrag von x und Signum von x
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Bemerkungen zu Gleichungen höheren Grades und anderen
Problemen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
- Weitere Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien
- Mit einer oder mehreren Unbekannten (linear: geometrisch einfache
Gebilde wie Punkte Geraden, Ebenen,...)
- Linear: Systeme
- Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene Systeme.
- Homogenes System: Immer Nulllösung
- Lösungsmenge geometrisch interpretierbar, gemeinsame Lösungen
von Gleichungen: Schnittmenge
- Anzahl Lösungen, Möglichkeiten: Widerspruch (keine Lösung),
exakt eine Lösung, unendlich viele Lösungen (geometrisches
Gebilde, lineare Mannigfaltigkeit).
- Beispiel Gauss-Jordan, Beispiel
- Vorgreifendes Selbststudium:
- Methoden:
- Matrixmethode
- Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch:
Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform)
- Gleichsetzungsmethode
- Einsetzungsmethode (Austauschverfahren)
- Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel ==> Selbststudium
- ===> Ende Basics Repetition
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- Selbststudium
- Kegelschnitte
- Lösungsmethoden von Gleichungssystemen
- Test: Datum festgelegt: 12.10.2009, Vorbereitung: Selbststudium
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Wo 4 |
- Repetition und Ausbau: Methoden zur Lösung von
Gleichungssystemen
- Methoden:
- Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch:
Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform)
- Gleichsetzungsmethode
- Einsetzungsmethode (Austauschverfahren)
- Cramersche Regeln (Determinantenverfahren)
- Matrixmethode
- Das Problem mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- |P| = |N| = |Z| = |Q| < |R|
- ....
- Repetitionsblock (zur Prüfung)
- Crashkurs Infinitesimalrechnung Link
zu den Unterlagen (Skriptseite)
- ....
- Selbststudium:
- Beziehung zwischen 0 und unendlich, Grenzwerte
- Funktionen
- Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- Begriff, Problem (keine Pfeile auseinander)
- Df ,Wf , Intervalle
- Graphen
- Implizite Funktion
- Beispiele
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 5 |
- Test
- Funktionen:
- Diverse Funktionen
- Beziehung zwischen 0 und unendlich, Das Problem der Grenzwerte
- Begriff der Funktion allgemein, Problem (keine Pfeile auseinander)
- Df ,Wf , Intervalle
- abgeschlossen
- offen
- halboffen
- einseitig unendlich
- beidseitig unendlich
- punktierte Umgebung
- Diverse Graphen
- Implizite Funktion
- Beispiele
- Diverse Eigenschaften
- positive, negative Funktion
- streng monoton wachsende, fallende Funktion
- monoton wachsende, fallende Funktion
- Extrema: Lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum,
Randextrema
- Asymptote, Berechnung
- Pol und Gauss'sche Zahlenkugel (Bedeutung des Begriffs)
- periodische Funktion
- u.s.w.
- Selbststudium:
Beispiele von Funktionen auf den Zahlen
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Diagramme: Rationale und gebrochen rationale
Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
- Selbststudium:
Testverbesserung
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 6 |
- Testrückgabe
- Grenzwerte
- Stetigkeit
- Regeln für die Stetigkeit
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...),
Eigenschaften
- Konstante Funktion
- Lineare Funktion
- Quadratische Funktion
- Kubische Funktion
- Polynomfunktion höheren Grades
- Diagramme, Variation von Parametern (Computer)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
- Gleichheit von Polynomen
- Kurze Besprechung der meist schon bekannten Funktionstypen (Repetition):
- Ganz und gebrochene rationale Funktion (Polynom durch Polynom)
- Graphen
- Verhalten weit außen, Grenzwerte, Pole, Asymptoten
- Exponentialfunktion und Inverse dazu: Logarithmusfunktion
- Nochmals Umkehrfunktionen
- Hyperbolische Funktionen und Inverse dazu: Areafunktion
- Darstellung mit Ln
- Eigenschaften des Ln
- Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
- Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen
- Selbststudium:
- Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu
Funktionen, speziell:
- Eigenschaften von Polynomen
- Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Übungen - Studium der Beispiele
- Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
- Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags,
sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x(-n), x-(-n)
- Wichtig für Differentialrechnung: loga(b xc)
- Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen
- Beispiele, Übungen
- Übungsscheine: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf
sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 7 |
- Repetition:
- Eigenschaften von Polynomen, quadratische, kubische u.s.w. Funktion,
trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen, hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen
- Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags,
sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x(-n), x-(-n),
loga(b xc)
- Gauß-Klammer-Funktion, Signum-Funktion, Betrag und
Signum, u.s.w.
- Verkettete Funktionen
- Die Idee der Differentialrechnung, Herkunft
- Tangentenproblem (Tangentensteigung )und Probleme der Physik, z.B.
Geschwindigkeit, Beschleunigung
- Sehnensteigung und Differenzenquotient
- Limes des Differenzenquotienten:
Differentialquotient und Ableitungsfunktion
- Differenzierbarkeit
- Schreibweisen nach Leibniz und nach Newton
- Differentiale, infinitesimale "Größen"
- Einfache Beispiele von Ableitungsfunktionen:
- Ableitung der konstanten Funktion
- Ableitung der linearen Funktion
- Summenregel, Linearitätsregel
- Ableitung von xn (n natürliche Zahl)
- Ableitung eines Polynoms
- Beispiele
- Produktregel, Anwendung auf Potenzen, Ableitung der
Quadratwurzel
- Quotientenregel: f(x)/g(x) ableiten
- Beispiele
- Ableitung von ln und sin
- Verkettete Funktionen
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x(m/n), x-(-n), xr
- Ableitungen von loga(b xc)
- Beispiele,Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x-(-n)
u.s.w.
- Ableitung der Inversen
- Anwendungen: Ableitung der Funktion ex, von
Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem
und dann reellem Exponenten.
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Selbststudium:
- Beispiele, speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Regel von Bernoulli
- Ableitung von xx
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Beispiele, Arbeit an Übungen
- Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 8 |
- Differentialrechnung
- Beispiele
- Speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Ableitung von loga(b xc)
- Ableitung von xx
- Regel von Bernoulli
- Diverse Beispiele
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Beispiele
- Lineare Approximation und Ausblick auf Potenzreihen
- Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos,
Animationen
- Kurvendiskussion:
- konvex und konkav
- notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema
- Fehlerrechnung und lineare Approximation
- Selbststudium:
- Neues Skript: Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche
Summen
- Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 9 |
- Differentialrechnung:
- Integralrechnung:
- Neues Skript
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen,
Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition / andere Integrale
- Integration durch Summierung (Grenzwert) bei stetigen und
monotonen Funktionen, Existenz
- Integration bei nicht monotonen und nicht stetigen Funktionen
(Zusammensetzung)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Selbststudium: Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 10 |
- Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
- Substitutionsregeln als Umkehrung der Kettenregel der
Differentialrechnung (1. Art und 2 Art, Verwendung in 2
Richtungen)
- Beispiele
- Partialbruchzerlegung
- Selbststudium:
- Anwendungen der Integration:
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Schwerpunkte von Flächen
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der
kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
- |P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 11 |
- Anwendungen der Integration:
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Physik und Bedeutung des Trägheitsmoments
- Schwerpunkte von Flächen
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie
Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen
Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Sätze dazu: Additionssatz, Satz von Steiner
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Selbststudium:
- Weiter mit Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 12 |
- Numerische Methoden der Integration
- Rechtecksmethode, Obersummen, untersummen und Zwischensummen
- Trapezmethode
- Beispiele, Übung
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
- Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen
- Beispiele von Differentialgleichungen
- Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle
Differentialgleichungen
- Ordnung einer Differentialgleichung
- Implizite contra explizite Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Beispiele: Schwingungsgleichung, Knickungsgleichung,
Wachstumsgleichung
- Lösen durch erraten einer Lösung
- Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem
für eine Lösung
- Graphische Methode: Linienelement und Richtungsfeld, Lösungen
graphisch beschreiben
- Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen
- Für 1. Ordnung
- Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer
Ordnung
- Beispiele für Lösungsmethoden
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Hinweise: Kettenlinie, Klothoide
- Selbststudium:
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 13 |
- Differentialgleichungen
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Weitere Probleme, Beispiele
- Testvorbereitung
- Test
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen
- Erzeugung von 3D-Graphiken
- Zoo der Funktionen, Beispiele
- Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS
(ParametricPlot3D)
- Höhenkurven (ContourPlots)
- Selbststudium Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 14 |
- Repetition Differentialrechnung mit mehreren Variablen
- Erzeugung von 3D-Graphiken, diverse Risse, Höhenkurven
- Beispiele
- Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Minimum, Maximum, Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
- "Approximationstheorie"
- Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen?
- Wie berechnen?
- Taylorpolynome, Tauglichkeit dieser Approximation?
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien
- Potenzreihen
- Taylorpolynome:
- Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem
Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen
übereinstimmen ==> Taylorpolynome
- Approximation durch Taylorpolynome
- Beispiele on-line (Computeralgebra)
- Funktion = Potenzreihe + Restglied
- Die Problematik des Restglieds
- Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel
- Selbststudium:
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 15 |
-
Repetition: Taylorpolynome: Entwickeln einer
Funktion in eine „Polynomreihe „ (Potenzreihe,. Konvergenzfrage)
-
Frage 1: Gegeben Funktion, Gesucht: Taylorreihe.
==> Taylorpolynome. Entwickeln einer Funktion in eine „Polynomreihe
„ (Potenzreihe,. Konvergenzfrage)
-
Zusammenheften einer Funktion und einer
Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n
Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome
-
Approximation durch Taylorpolynome
-
Beispiele on-line (Computeralgebra) ==> Selbststudium
-
Funktion = Potenzreihe + Restglied
-
Die Problematik des Restglieds: Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle),
Restgliedabschätzungsformel
-
Beispiele: Bestimmung des Fehlers
(Restglied) ==> Selbststudium
-
Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle),
Restgliedabschätzungsformel
-
Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
-
Zu Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Umkehrung der Fragestellung: Gegeben Potenzreihe.
Frage: Welche Funktion ist das, wann konvergiert die Reihe?
- Selbststudium
- Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
- Berechnung der Richtung des Tangentenvektors
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- Selbststudium: Siehe links
- Sichten von Spezialthemen
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Wo 16 |
- Exkurs: Polyeder
- Die platonischen Körper, archimedische Körper und
catalanische Körper, Johnsonkörper, Prismen u.s.w.
- Wieso es nur 5 platonische Körper gibt
- Gummigeometrie, Graphen
- Geschlecht eines Polyeders
- Eulersche Polyederformel
- Repetition: Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Das Scharnier zwischen Mathematik und Logik als
Geisteswissenschaften und den deskriptiven Naturwissenschaften.
Dazu die Rolle der Statistik.
- Historische Grundlagen
- Maxime (Albertus Magnus, Guericke, Descartes, Kopernikus,
Galilei, Brahe, Kepler als Hofastrologe bei Rudolf II mit
Harmonica Mundi und den keplerschen Gesetzen, Bürgi mit der Uhr
und dem Quantensprung in der Zeitmessung, Newton und die
Nachfolger, Lavoisier, usw.)
- Realität und Modell - deduktiv und induktiv - theoretisch und
experimentell
- Kausalität und Analogie im Verhältnis zwischen Mathematik
und Naturwissenschaft
- Das Problem der richtigen Frage: Nach dem "Wie"
statt nach dem "Warum".
- Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/TEIL6dCrashKursWahrschKomb.pdf
- Das Problem des Zufalls und der versteckten Parameter
- Einzelerscheinungen scheinbar zufällig --- kontra Gesetze in
Massenerscheinungen
- Historische Entwicklung
- Der Begriff der Gleichwahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
- Laplace-Experimente, Beispiele: Würfelspiele, Kartenspiele,
Lotto,...
- Experimente ohne theoretisch bekannte
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Statistische Approximation der
Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit bei "unendlich
vielen" Wiederholungen der Versuche)
- Statistisch gerechtfertigte Wahrscheinlichkeitsverteilungen
contra mathematische Wahrscheinlichkeitsmodelle
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
- Kombinatorik: Herleitung der Formeln
- Abschluss: Film über die Öresundbrücke, "eine technische
Anwendung von Berechnung"
-
- Selbststudium:
- Selbststudium zur Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien,
die nach einem Funktionszusammenhang ändern
- Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang
- Energieprobleme mit Federn, Drehfedern
- Impulsprobleme
- Kraft als Ableitung des Impulses
- Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der
Abgeschlossenheit von Systemen
- Rakete
- Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens:
Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen.
Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w.
- Beispiele
- Literaturstudium und Literaturverständnis
- Beispiel Wasserüberfall
- Selbststudium: Anwendung der Approximationstheorie auf das Lösen von
Differentialgleichungen
- Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten
- Differenzengleichungen
- Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen
- Praktische Durchführung einer Berechnung
- Beispiele
- Selbststudium: Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
- Selbststudium: Kombinatorik
- Permutationen mit und ohne Wiederholung
- Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
- Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
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Zum Galton-Brett u.s.w.:
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S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AndereIntern/EWyl/Jahr2/001_Vektoralgebra_und_Vektoranalysis.pdf
- Vektoren: Repetition und Ausbau
- Koordinatensysteme: Rechts, links
- Vektoren:
- Erfahrungszugang
- Genaue Definition geometrischer Vektoren
- Gleichheit von Vektoren
- Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit,
Ortsvektroen
- Standardbasis, ONS
- Parallelogrammaddition: Gesetze (Abgeschlossenheit,
Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element, Inverses)
- Streckungsprodukt
- Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels
Skalaren Vektorraum (Regeln)
- Komponentendarstellung
- Zerlegung nach vektoriellen Komponenten
- Zerlegung nach skalaren Komponenten
- Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von
Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren)
- Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor
- Differenz, Inverser
- Gleichheit von Vektoren
- Euklidsche Länge
- Linearkombination, Vektorketten
- Unterräume
- Definitionen
- Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./
Unabhängigkeit
- Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu
euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum)
- Lineare Hülle einer Vektormenge
- Erzeugendensystem
- Basis als minimales Erzeugendensystem
- Dimension
- Anwendungen:
- Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode
- Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors
in einer neuen Basis
- Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung
|
- Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
- Anwendungen:
- Das Problem des Stuhles mit drei oder vier Beinen: Aufteilung
der Gewichtskraft in die Beine
- Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors
in einer neuen Basis
- Basiswechsel
- Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung
- Die Vorspannung
- Rep. Euklidsche Länge
- Rep. Unterräume
- Parameterdarstellung der Geraden
- Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene
- Herleitung aus der Funktionsgleichung
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Weitere Gleichungen
- Parameterdarstellung der Ebene
- Koordinatengleichung der Ebene im Raum
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Weitere Gleichungen
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Schnittpunkt zweier Geraden im Raum
- Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel,
zusammenfallend
- Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade,
Beispiele
-
- Selbststudium:
- Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze
- Anwendungen
- Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Beispiele
|
- Selbststudium: Siehe links
- Zusätzlich Innopreis
|
Wo 3 |
- Selbststudium: Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze: Bei Streckung mit Vektor, Was ist mit dem
Assosziativgesetz? Kommutativität, Distributivität.
- Anwendungen: Skalarprodukt in Koordinaten in einem ONS
- Gültigkeit
der Formel "Summe von Produkten"
- Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene / Hyperebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Beispiele
- Parallele
Geraden oder Ebenen
- Berechnung
des Fußpunktes
- Flächenprodukt
- Eigenschaften
des Flächenprodukts
- Orthogonalzerlegung
- Beispiele
- Selbststudium
- Berechnung
des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem
Flächenprodukt
- Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle
der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des
Rechtssystems
- Beispiele:
Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung,
Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand
Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene
senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt:
Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen
in der Statik und Mechanik
- Spezialanlass:
Innopreis
|
|
Wo 4 |
- Spezialanlass
- Berechnung
des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem
Flächenprodukt
- Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle
der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des
Rechtssystems
- Beispiele:
Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Selbststudium:
- Flächeninhaltsberechnung,
Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand
Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene
senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt:
Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen
in der Statik und Mechanik
|
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Wo 5 |
- Flächeninhaltsberechnung,
Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand
Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene
senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt:
Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
-
Definition
-
Regeln geometrisch
-
Beispiele
-
Berechnung (Determinante,
Sarrus)
-
Verallgemeinerung, Determinantengesetze (Hinweise)
-
Sarrus gilt nicht für n > 3: Begründung, Hinweis
-
Abstandberechnung
-
Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen
-
Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen
-
Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar
mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung
später)
-
Anwendungen in der
Statik und Mechanik: Selbststudium
- Kreis,
Kugel, Beispiele
- Kegel,
Beispiele
- Zylinder
- Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen
- Beispiele
- Tangente an eine Kurve
- Tangentialebene an eine Fläche
- Selbststudium:
- Zylinder,
Beispiele
- Tangenten
an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
- Beispiele
- Beginn mit Matrizen
- Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
-
Gleichheit
-
Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Matrizen und Gleichungssysteme
|
- Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 6 |
- Zylinder,
Beispiele
- Tangenten
an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
- Beispiele
- Beginn mit Matrizen
- Definition der Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
-
Gleichheit
-
Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Matrizen und Gleichungssysteme
- Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen:
- Bedeutung: Volumeninhalt
- Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat)
- Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1
- Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors
- Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor)
- Distributivgesetz
- Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert,
da berechenbar
- Anwendungen des Entwicklungsatzes
- Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist
nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar
- Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer
anderen solchen addiert werden. Dann ändert die
Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in
eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante
hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente.
- Anwendungen, Beispiele
- Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen
Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht
mehr vorstellen kann.
|
- Selbststudium: Siehe unter Übungen
|
Wo 7 |
- Beispiele zur Vektorgeometrie
- Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren
Determinante:
- Entwicklungssatz
- Determinante der Transponierten
- Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung
- Matrixaddition und Gleichungssysteme
- Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf
Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix)
- Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix,
Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung)
-
Beispiele
- Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor
- Matrixaddition und Gleichungssysteme
- Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung
des Urbildes
- Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer
andern Gleichung als Inhomogenität..." oder Matrix und
Mehrfache Abbildung
- Berechnung des Matrixprodukts
- Grosses Selbststudium:
- Berechnung des Matrixprodukts
- Regeln:
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der
Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der
Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Der Gauß-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
- Multiplikation einer Gleichung in einem System
- Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser
Gleichung mit einer andern
- Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
- Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links
eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
- Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==>
eindeutige Lösung
- Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n)
==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist
Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
- Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n)
==> Keine Lösung
|
- Selbststudium: Siehe unter Übungen
|
Wo 8 |
- Berechnung des Matrixprodukts
- Regeln:
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Distributivgesetze
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der
Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der
Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Eindeutigkeit der Inversen, Linksinverse gleich Rechtsinverse
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel,
Gleichungssysteme
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Gleichungslösen: Diverse Verfahren
- Einsetzungsverfahren (Nef), Gleichsetzungsverfahren,
Additionsverfahren (Gauß-...), Cramersche Regeln
(Determinanten), Matrixverfahren.
- Der Gauß-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
- Multiplikation einer Gleichung in einem System
- Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser
Gleichung mit einer andern
- Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
- Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links
eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Anzahl Rechenoperationen. Nach Herstellung einer
Dreiecksmatrix Rückwärtseinsetzung ==> weniger
Operationen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
- Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==>
eindeutige Lösung
- Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n)
==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist lineare Mannigfaltigkeit, Dimension
n-m
- Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n)
==> Keine Lösung
- Rechnen von Beispielen
|
|
Wo 9 |
- Beispiele (Handrechnungen): Lösen von Gleichungssystemen mit
Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus (mit Kontrolle der Richtigkeit!)
- Beispiele (Handrechnungen): Berechnung der Inversen mit Hilfe des
Gauß-Jordan-Algorithmus (mit Kontrolle der Richtigkeit!)
- Anwendung Gauß-Jordan-Algorithmus für Gleichungssysteme und die
Berechnung inverser Matrizen: Repetition
- Simultane Lösung von Gleichungssystemen
- Beispiele
- Repetition Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen
- Beispiel
- Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der
Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
- Diagonalisierung und Determinantenberechnung: (Berechnungskonzept:
Anpassung des Gauss-Algorithmus, gültige Elementarsubstitutionen,
wichtig: Distributivgesetz)
- Wirkung der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl auf die
Determinante
- Determinante und Transponierte
- Determinante und Vertauschung von Zeilen
- Determinante und Distributivgesetz beim n-dimensionalen Spat:
Addition eines Vielfachen eines anderen Spaltenvektors
- Wieder Gauß-Algorithmus und Entwicklungssatz
- Beispiele
- Repetition Regeln für Determinanten:
- Volumenregeln von den Dimensionen 2 und 3 übertragen
- Regel mit Faktor ausklammern
- Regel mit Summe als Seitenvektors des Spats, Aufteilung in
Summanden
- Regel mit einem Einheitsvektor als Seitenvektor
- Volumen des Einheitsspat ist definiert als gleich 1
- Gauß-Algorithmus: Was passiert, wenn es keine Inverse gibt?
- Determinanten, Repetition: Idee des Volumeninhalts eines n-dimensionalen
Spates
- Gewinn: Beispiel der Regeln von Cramer für ein Gleichungssystem
mit n Unbekannten, Formeln für die Unbekannten als Quotient zweier
Determinanten
- Selbststudium:
- Drehmatrix
- Repetition: Determinanten als Volumen, Rechenregeln für Volumina
- Repetition: Determinanten: Entwicklungssatz
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiele
- Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen
- Determinante der Inversen und der Transponierten
- Determinante von gestreckten Matrizen
- Weitere Sätze
- Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen)
- Berechnung durch rekursive Entwicklung
- Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner,
Computeralgebra-Programm)
- Neu: Bandmatrizen, Algorithmen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen)
- Übungen, Beispiele für die Prüfung
- Diverse Beispiele auf Vorschlag von Studierenden, auch aus der
Approximationstheorie
- Drehmatrix
- Das Problem der Lösungsstruktur Bei Gleichungssystemen, Charakterisierung der Lösungen:
- Gauss-Jordan-Verfahren
- Ziel Diagonalmatrix
-
Was passiert bei Rechtecksmatrizen
-
Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie
Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
-
Homogenes und inhomogenes System
-
Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System
-
Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen)
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine
Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene
Lösung
-
Vektorraumstruktur der homogenen Losungen
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Inhomogene und partikuläre Lösung
-
Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
-
Beispiele
- Selbststudium:
- Berechnung durch rekursive Entwicklung
- Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner,
Computeralgebra-Programm)
- Neu: Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung,
Jaccobi-Verfahren
|
|
Wo 11 |
- Test
- Spezialanlass: Auffahrtswoche
- Selbststudium lineare Algebra:
- Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode,
AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Einführung in die Eigenwerttheorie
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix
- Charaktereistisches Polynom, Determinante
- Eigenvektoren als Basis
- Eigenvektoren und Streckung
- Das Problem der Nicht-Eindeutigkeit des Gleichungssystems für
die Eigenvektoren und der nicht-exakten Eigenwerte
- Beispiele
- Verschiedene Eigenwerte ==> Eigenvektoren linear unabhängig
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) M = A D A-1 (Selbststudium)
- Anwendungen (Selbststudium)
-
- Themenvorschläge für themenzentrierte Gruppenarbeiten mit Selbststudium und
Vortrag: Link
(Situation vom letzten Jahr) - anschließend Vorbereitung der Kurzpräsentationen:
- Helmert-Transformation
- Populationsmodell
- Spannungstensor
- Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
- Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer,
Rendon
- Biegelinien ==> Weibel, Käppeli
- Beispiele zu Fraktalen
- Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig,
Inniger
- Geometrie mit dem Computer ==> Hefti,
Hoder, Schärer
- Weitere Vorschläge...
- ==> Einige sind schon besetzt
- Selbststudium:
- Konstruktion der Matrix für die Drehung um eine Achse
- Konstruktion der Matrix für die Projektion
- Übungen, auch Konstruktion der Matrix für die Projektion:
- Z.B.
- Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu
Verwendung obiger Erkenntnisse.
- Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene.
- Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer
Ebene.
- U.s.w.
- Weitere Abbildungsmatrizen:
- Drehungen in der Ebene
- Drehung um die z-Achse im Raum
- Drehung um die x-Achse im Raum
- Drehung um die y-Achse im Raum
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit
Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren: M = A D A-1
- Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Beenden des Stoffes von Woche 13:
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit
Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren:
- Beispiele
- Konstruktion einer Drehmatrix mit Hilfe der Abbildung einer Basis
- Konstruktion einer Projektionsmatrix
- Beispiel der Konstruktion von einer Pyramide mittels Drehung
um einer Achse und anschliessendem schrägen Schnitt mit einer
Ebene
- Anwendungen
- Kurzvorträge vorbereiten
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
- Beendung des Stoffes von Woche 13, soweit notwendig
- Übungsprüfung Vordiplom: Letztjährige Prüfung Link
- Kurzvorträge
- Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer,
Rendon (o.k.)
- Biegelinien ==> Weibel, Käppeli (o.k.)
- Selbststudium (Selbststudium
==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)
- Helmert-Transformation
- Spannungstensor
- Biegelinien
- Klothoiden.
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 16 |
- General-Repetition für die MP: Plan
- Kurzvorträge
- Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig,
Inniger
- Geometrie mit dem Computer ==> Hefti,
Hoder, Schärer
|
- Selbststudium: Siehe links
|
oooooooo |
|
- Einiges wird noch angesagt....
- Vorbereitung:
- Do. 26. 8. Nm 13:00 bis max.16:00
- Di. 31. 8. Nm 13:00 bis max.15:45
- Fr. 3. 9. Nm ?? 13:00- ?? - ev. Kollision mit Notenkonferenz
- Raum auf dem Sekretariat erfragen
|
S1 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
Trotz Ausfall der Lektionen während der ersten Woche infolge
abteilungsübergreifender Planung müssen die Übungen der ersten Woche
in das Arbeitsprogramm der Studierenden aufgenommen werden.
- Internatmaterial sichten, studieren
- ==> Skripte
holen, erst Basics und Trigonometrie ("Intern",
Passwort!), Literatur, Übungsserien
(Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w.
beschaffen
- Selbststudium:
! ! !
- Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungsschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonometrie 1. Lektion 4.
Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
- Übungscheine
|
- Download
"Daten zu Learningmanagement Mathematik"
-
- Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in
der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1
(WIR1 = Kürzel des Dozenten)
- Skirpte:
- Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht)
- Zusätzlich Algebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der
Skripte oben)
- Selbststudium siehe links
Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1.
Jahr Serie 01
|
Wo 2 |
- Selbststudium:
- Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4.
Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
(Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und
weitere Dinge.)
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Test: Datum festlegen, Vorbereitung....
- Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6
|
- Selbststudium
- Kegelschnitte
- Lösungsmethoden von Gleichungssystemen
- Test: Datum festgelegt: 12.10.2009, Vorbereitung: Selbststudium
|
Wo 4 |
- Alter Test
1 studieren, siehe auch (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
)
- Übungsserien: Serien 12,
13
- Selbststudium:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
- Crashkurs Infinitesimalrechnung Link
zu den Unterlagen (Skriptseite)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 5 |
- Test
1 nachbereiten, sofern notwendig Lösungen: Link
- Übungsserien: Serien 14,
15,
16
- Selbststudium:
Beispiele von Funktionen auf den Zahlen
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Diagramme: Rationale und gebrochen rationale
Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
- Selbststudium:
Testverbesserung
- Materialbesorgung: Differentialrechnung (Skript
downloaden, Passwort!)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 6 |
- Übungsscheine Download: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf
sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html
-
- Übungsserien: Serien 17,
18,
19
(soweit schon möglich)
- Selbststudium:
- Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu
Funktionen, speziell:
- Eigenschaften von Polynomen
- Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Übungen - Studium der Beispiele
- Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
- Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin,
cos, tan, cot = cgt, xn, x(-n), x-(-n)
- Wichtig für Differentialrechnung: loga(b xc)
- Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen
- Beispiele, Übungen
-
Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Übungsserien: Serien 20,
21,
(soweit schon möglich, Auswahl treffen)
- Materialbesorgung: Integralrechnung (Skript
downloaden)
- Selbststudium:
- Beispiele, speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Regel von Bernoulli
- Ableitung von xx
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Beispiele, Arbeit an Übungen
- Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Übungsserien: Serien 22,
23,
(Differentialrechnung, Auswahl treffen)
- Serien 24,
25
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
- Selbststudium:
- Neues Skript: Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen
- Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Übungsserien:
- Serien 26,
27,
(28)
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
- Alter Test studieren: Test
(http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
)
- Selbststudium: Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Alter
Test studieren
- (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
)
- Übungsserien:
- Serien 29,
30
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
- Selbststudium:
- Anwendungen der Integration:
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Schwerpunkte von Flächen
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der
kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
- |P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 11 |
- Selbststudium:
- Weiter mit Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter
- Übungsserien:
- Serien 29,
30
weiter (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Auswahl aus den Übungsserien:
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Anwendungen Differentialgleichungen:
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Serie 31
- Serie 08,
09
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Selbststudium:
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- 13,
14,
15,
16
17
so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung
|
- Selbststudium, siehe links: Nicht behandelter Stoff aus der
"Approximationstheorie" sowie Auswahl aus den
Übungsserien während der unterrichtsfreien Zeit bearbeiten.
|
Wo 15 |
- Selbststudium:
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen
- Integration und Differentiation von Potenzreihen
- Beispiele
- Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
- Berechnung der Richtung des Tangentenvektors
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Weiter mit 13,
14,
15,
16
17
|
- Selbststudium, siehe links und Übungen
unten
- Selbststudium: Skript, Sichten von
Spezialthemen
|
Wo 16 |
- Repetition für den nächsten Test,
Sichten von Spezialthemen:
- 24,
25,
26,
27,
(28)
29,
30,
18,
19,
20,
21,
22, 31,
08,
09,
13,
14,
15,
16
17,
13
(Laplace-Wahrscheinlichkeit)
- Selbststudium der Literatur (Sichten von Spezialthemen)
- A. Selbststudium zur Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien,
die nach einem Funktionszusammenhang ändern
- Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang
- Energieprobleme mit Federn, Drehfedern
- Impulsprobleme
- Kraft als Ableitung des Impulses
- Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der
Abgeschlossenheit von Systemen
- Rakete
- Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens:
Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen.
Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w.
- Beispiele
- Literaturstudium und Literaturverständnis
- Beispiel Wasserüberfall
- B. Selbststudium: Anwendung der Approximationstheorie auf das Lösen von
Differentialgleichungen
- Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten
- Differenzengleichungen
- Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen
- Praktische Durchführung einer Berechnung
- Beispiele
- C: Selbststudium: Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
|
Sichten von Spezialthemen: Zum Galton-Brett u.s.w.:
|
S2 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
|
|
Wo 3 |
- Selbststudium:
Siehe oben
- Übungen
- Studium alter Test als Zwischenübung
- Stoff für nächsten Test:
- Laufende Algebra
- Approximationstheorie
|
|
Wo 4 |
- Selbststudium: Siehe rechts
- Übungen
|
- Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 5 |
- Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt
- Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6:
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
|
- Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 6 |
|
- Selbststudium: Siehe links.
|
Wo 7 |
- Grosses Selbststudium:
- Berechnung des Matrixprodukts
- Regeln:
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der
Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der
Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Der Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
- Multiplikation einer Gleichung in einem System
- Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser
Gleichung mit einer andern
- Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
- Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links
eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
- Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==>
eindeutige Lösung
- Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n)
==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist
Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
- Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n)
==> Keine Lösung
- Übungen: Serien I 32/33/34, soweit schon möglich
|
- Selbststudium: Siehe links.
|
Wo 8 |
- Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch
nicht gemachten Aufgaben
- Selbststudium: Siehe rechts
|
|
Wo 9 |
- Übungen:
- Selbststudium:
- Skript
- Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
- Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
- Prüfungsvorbereitung:
Stoff seit dem letzten Test
<===
- Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
(Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes
beachten!)
|
- Selbststudium, Prüfungsvorbereitung
- Weiteres Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
|
- Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
- Prüfungsvorbereitung
|
Wo 11 |
- Test
- Spezialanlass: Auffahrtswoche
- Nachbereitung
Test
- Selbststudium lineare Algebra:
- Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
- Übungen:
- Selbststudium lineare Algebra:
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Themenvorschläge für themenzentrierte Gruppenarbeiten mit Selbststudium und Vortrag: Link
- Anschließend Vorbereitung der Kurzpräsentationen:
Kurzvorträge vorbereiten
- Helmert-Transformation
- Populationsmodell
- Spannungstensor
- Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
- Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer,
Rendon
- Biegelinien ==> Weibel, Käppeli
- Beispiele zu Fraktalen
- Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig,
Inniger
- Geometrie mit dem Computer ==> Hefti,
Hoder, Schärer
- Weitere Vorschläge...
- ==> Einige sind schon besetzt
- Selbststudium:
- Konstruktion der Matrix für die Drehung um eine Achse
- Konstruktion der Matrix für die Projektion
- Übungen, auch Konstruktion der Matrix für die Projektion:
- Z.B.
- Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu
Verwendung obiger Erkenntnisse.
- Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene.
- Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer
Ebene.
- U.s.w.
- Weitere Abbildungsmatrizen:
- Drehungen in der Ebene
- Drehung um die z-Achse im Raum
- Drehung um die x-Achse im Raum
- Drehung um die y-Achse im Raum
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit
Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren: M = A D A-1
- Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Kurzvorträge vorbereiten
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
- Übungsprüfung Vordiplom: Letztjährige Prüfung Link
- Kurzvorträge
- General-Repetition
- Selbststudium (Selbststudium
==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)
- Helmert-Transformation
- Spannungstensor
- Biegelinien
- Klothoiden
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 16 |
|
- Selbststudium: Siehe links
|
oooooooo |
|
- Einiges wird noch angesagt....
- Vorbereitung:
- Do. 26. 8. Nm 13:00 bis max.16:00
- Di. 31. 8. Nm 13:00 bis max.15:45
- Fr. 3. 9. Nm ?? 13:00- ?? - ev. Kollision mit Notenkonferenz
- Raum auf dem Sekretariat erfragen
|
S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Wie letztes Jahr (mit Updates):
- Montag: Einführungstag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Mittwoch: Lerntechniktag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Freitag: Beginn Unterricht:
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6. Lernen =
erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden. Faktor = 0
==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der
Repetition
- 7.
Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Zeitplanung
-
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen
Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft
- Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Selbststudium: Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt
-
- Basics:
Achtung: Den angekündigten Kurztest beachten!
Link: Hier klicken
|
- Selbststudium siehe Übungen
|
Wo 2 |
- Kurzes Eingehen auf
- Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt (Schreibweise...)
- Zahlenaufbau: P, N, N0, Z, Q, R, C,
Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung
nicht gelöst werden kann...)
- Unendlichkeit von P
- Wurzel aus 2 irrational (Beweis) - (transzendente) Zahlen e, Pi,
Dezimalbruchentwicklung, Kettenbruchdarstellung
- Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2
- Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten
- Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e
- Logarithmengesetze
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien Selbststudium:
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien Selbststudium:
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Bemerkungen zu Gleichungen höheren Grades und anderen
Problemen
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
- Typen von Gleichheitszeichen und Gleichungen: Bijektion, Aussage,
Funktionsgleichung, Wertzuweisung, Bestimmungsgleichungen,...
- Weitere Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien
- Mit einer oder mehreren Unbekannten (linear: geometrisch einfache
Gebilde wie Punkte Geraden, Ebenen,...)
- Linear: Systeme
- Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene Systeme.
- Homogenes System: Immer Nulllösung
- Lösungsmenge geometrisch interpretierbar, gemeinsame Lösungen
von Gleichungen: Schnittmenge
- Anzahl Lösungen, Möglichkeiten: Widerspruch (keine Lösung),
exakt eine Lösung, unendlich viele Lösungen (geometrisches
Gebilde, lineare Mannigfaltigkeit).
- Methoden:
- Matrixmethode
- Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch:
Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform)
- Gleichsetzungsmethode
- Einsetzungsmethode (Austauschverfahren)
- Vieta
- Beispiel Gauss-Jordan, Beispiel
- Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel ==> Selbststudium
- Funktionen
- Begriff, Problem (keine Pfeile auseinander)
- Df ,Wf , Intervalle
- Graphen
- Implizite Funktion
- Beispiele
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.) ==> Selbststudium
|
- Selbststudium Kegelschnitte
|
Wo 4 |
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)
- Test
- Fortsetzung Funktionen:
- Gerade, ungerade, Funktionen
- Zahlenfolgen
- Nullfolge 1/n, Konvergenz, Limes (Grenzwert), Beispiele
- Stetigkeit
- Grenzwerte einer Funktion in x0
- Beispiele
- Stetigkeit in einem Punkt, in einem Intervall...
- Stetige Fortsetzung, Beispiele
- ==> Selbststudium:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 5 |
- Fortsetzung Funktionen:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
- Gleichheit von Polynomen
- Ganz und gebrochene rationale Funktion (Polynom durch Polynom)
- Graphen
- Verhalten weit außen, Grenzwerte, Pole, Asymptoten
- Exponentialfunktion und Inverse: Logarithmusfunktion
- Nochmals Umkehrfunktionen
- Hyperbolische Funktionen und Inverse: Areafunktion
- Darstellung mit Ln
- Eigenschaften dieser Funktionen
- Übungen und Studium der Beispiele
- Selbststudium: Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 6 |
- Rep. Grenzwert
- Das Problem der Umkehrfunktion, Existenz
- Secans und Cosecans
- Umkehrfunktionen ZU Potenzfkt., zu Exp'fkt., arcsin, arccos,
arctan, arccot u.s.w.
- sinh, cosh, tanh, coth, Gesetze, Areafunktionen
- Differentialrechnung: (Skript
downloaden, Passwort!)
- Idee und Herkunft
- Tangentenproblem
- Geschwindigkeit, Beschleunigung
- Ableitung, Differenzierbarkeit
- Differenzenquotient, Differentialquotient
- Ableitung der konstanten, linearen und quadratischen Funktion
- Summenregel
- Konstante mal Funktion
- Ableitung von xn
- Polynome ableiten
- Beispiele
- Produktregel
- Anwendung auf Potenzen
- f(x)/g(x) ableiten,
- Quotientenregel,
- Beispiele
- Ableitung von ln und sin
- Selbststudium:
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x-(-n)
- Ableitungen von loga(b xc)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Differentialrechnung:
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Ableitung der Inversen
- Beispiele, Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x-(-n)
- Anwendungen: Ableitung der Funktion ex, von
Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem
und dann reellem Exponenten.
- Beispiele, speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Regel von Bernoulli
- Ableitung von xx
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Selbststudium:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Differentialrechnung:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Extremalaufgaben
- Übungen
- Lineare Approximation
- Übungen
- Differentiale
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
- Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren
(Intervallschachtelungen), Newton-Methode, Regula
Falsi, Fixpunktverfahren
- Selbststudium: Siehe hbg-bremen
(pdf) oder wikipedia,
Fixpunktiteration (html) sowie
matheboard.de (html)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen,
Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
|
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 10 |
- Substitutionsregel als Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung
- Beispiele
- Fragen zur Prüfung
- Test über Differentialrechnung
- Integration von f ' / f
- Beispiele
- Partialbruchzerlegung
- Beispiele, Übung
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 11 |
- Anwendungen der Integration:
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Schwerpunkte von Flächen
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der
kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,..
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter
|
Wo 12 |
- Numerische Methoden:
- Rechtecksmethode,
- Trapezmethode
- Simpson
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
- Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen
- Beispiele von Differentialgleichungen
- Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle
Differentialgleichungen
- Ordnung einer Differentialgleichung
- Implizite contra explizite Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Beispiele: Schwingungsgleichung, Knickungsgleichung,
Wachstumsgleichung
- Lösen durch erraten einer Lösung
- Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem
für eine Lösung
- Graphische Methode: Linienelement und Richtungsfeld, Lösungen
graphisch beschreiben
- Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen
- Für 1. Ordnung
- Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer
Ordnung
- Beispiele für Lösungsmethoden
- Selbststudium
nach Skript:
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Weiter mit Differentialgleichungen
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode, Runge-Kutta
- Differentialgleichungen 2. Ordnung, Schwingungen
- Selbststudium: Anwendungen Differentialgleichungen:
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Beispiele
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen
- Erzeugung von 3D-Graphiken
- Zoo der Funktionen, Beispiele
- Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS
(ParametricPlot3D)
- Höhenkurven (ContourPlots)
- Richtungsableitung
- Selbststudium Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Nochmals Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis, Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen?
- "Approximationstheorie"
- Nochmals Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis, Klothoide, Fresnel-Integrale:
- Wie berechnen?
- Taylorpolynome
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien
- Potenzreihen
- Taylorpolynome:
- Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem
Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen
übereinstimmen ==> Taylorpolynome
- Approximation durch Taylorpolynome
- Beispiele on-line (Computeralgebra)
- Funktion = Potenzreihe + Restglied
- Die Problematik des Restglieds
- Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel
- Selbststudium: Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 15 |
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen
- Integration und Differentiation von Potenzreihen
- Beispiele
- Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
- Berechnung der Richtung des Tangentenvektors
|
- Selbststudium: Siehe bei den Übungen
unten
|
Wo 16 |
- Anwendung der Approximationsheorie auf das Lösen von
Differentialgleichungen
- Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten
- Differenzengleichungen
- Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen
- Praktische Durchführung einer Berechnung
- Beispiele
- Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Das Problem des Zufalls und der versteckten Parameter
- Einzelerscheinungen scheinbar zufällig --- kontra Gesetze in
Massenerscheinungen
- Historische Entwicklung
- Der Begriff der Gleichwahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
- Laplace-Experimente, Beispiele: Würfelspiele, Kartenspiele,
Lotto,...
- Experimente ohne theoretisch bekannte
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Statistische Approximation der
Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit bei "unendlich
vielen" Wiederholungen der Versuche)
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
- Exkurs: Polyeder
- Die platonischen Körper, archimedische Körper und
catalanische Körper, Johnsonkörper, Prismen u.s.w.
- Wieso es nur 5 platonische Körper gibt
- Gummigeometrie, Graphen
- Eulersche Polyederformel
- Selbststudium: Repetition Modellierung physikalischer-technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien,
die nach einem Funktionszusammenhang ändern
- Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang
- Energieprobleme mit Federn, Drehfedern
- Impulsprobleme
- Kraft als Ableitung des Impulses
- Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der
Abgeschlossenheit von Systemen
- Rakete
- Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens:
Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen.
Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w.
- Beispiele
- Literaturstudium und Literaturverständnis
- Beispiel Wasserüberfall
- Selbststudium: Kombinatorik
- Permutationen mit und ohne Wiederholung
- Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
- Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
-
|
Zum Galton-Brett u.s.w.:
|
S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Vektoren: Repetition und Ausbau
- Koordinatensysteme: Rechts, links
- Vektoren:
- Erfahrungszugang
- Genaue Definition geometrischer Vektoren
- Gleichheit von Vektoren
- Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit,
Ortsvektroen
- Standardbasis, ONS
- Parallelogrammaddition: Gesetze (Abgeschlossenheit,
Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element, Inverses)
- Streckungsprodukt
- Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels
Skalaren Vektorraum (Regeln)
- Komponentendarstellung
- Zerlegung nach vektoriellen Komponenten
- Zerlegung nach skalaren Komponenten
- Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von
Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren)
- Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor
- Differenz, Inverser
- Gleichheit von Vektoren
- Euklidsche Länge
- Linearkombination, Vektorketten
- Unterräume
- Definitionen
- Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./
Unabhängigkeit
- Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu
euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum)
- Lineare Hülle einer Vektormenge
- Erzeugendensystem
- Basis als minimales Erzeugendensystem
- Dimension
- Anwendungen:
- Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode
- Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors
in einer neuen Basis
- Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
- Euklidsche Länge
- Unterräume
- Parameterdarstellung der Geraden
- Parameterdarstellung der Ebene
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Schnittpunkt zweier Geraden im Raum
- Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel,
zusammenfallend
- Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Basiswechsel
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade,
Beispiele
- Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene
- Herleitung aus der Funktionsgleichung
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Koordinatengleichung der Ebene im Raum
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze
- Anwendungen
- Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Beispiele
- Selbststudium:
- Abstand einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung des Fußpunktes
-
Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung,
des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit
Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene
mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen
Punkt
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Besprechung
Selbststudium und weiter:
- Repetition
Skalarprodukt
- Gültigkeit
der Formel "Summe von Produkten"
- Skalarprodukt
und Normalenvektor auf Ebene / Hyperebene
- Abstand
einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele
Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung
des Fußpunktes
- Flächenprodukt
- Eigenschaften
des Flächenprodukts
- Beispiele
- Berechnung
des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem
Flächenprodukt
- Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle
der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des
Rechtssystems
- Beispiele:
Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung,
Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand
Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene
senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt:
Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen
in der Statik und Mechanik
- Innopreis
Burgdorf
|
- Ausblick (Selbststudium, wird nur kurz
repetiert):
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Wo 4 |
-
Spatprodukt
-
Definition
-
Regeln geometrisch
-
Beispiele
-
Berechnung (Determinante,
Sarrus)
-
Verallgemeinerung, Determinantengesetze
-
Sarrus gilt nicht für n > 2: Begründung
-
Abstandberechnung
-
Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen
-
Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen
-
Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar
mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung
später)
-
Anwendungen in der
Statik und Mechanik
- Kreis,
Kugel, Beispiele
- Kegel,
Beispiele
- Zylinder
|
Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 5 |
- Zylinder,
Beispiele
- Tangenten
an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
- Beispiele
- Selbststudium siehe rechts
- Testtermin
- Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen
- Beispiele
- Tangente an eine Kurve
- Tangentialebene an eine Fläche
- Beginn mit Matrizen
- Def. Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
-
Gleichheit
-
Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Matrizen und Gleichungssysteme
|
Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
|
Wo 6 |
- Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren
Determinante
- Matrixaddition und Gleichungssysteme
- Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf
Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix)
- Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix,
Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung)
-
Beispiele
- Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor
- Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung
des Urbildes
- Matrixmultiplikation: Lösung eines Gleichungssystem in einer
andern Gleichung als Inhomogenität...
- Berechnung des Matrixprodukts
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der
Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der
Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Selbststudium:
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Der Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
- Multiplikation einer Gleichung in einem System
- Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser
Gleichung mit einer andern
- Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
- Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links
eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
- Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==>
eindeutige Lösung
- Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n)
==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist
Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
- Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n)
==> Keine Lösung
- Selbststudium: Skript,
- Prüfungsvorbereitung:
Stoff seit dem letzten Test
<===
- Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
(Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes
beachten!)
|
- Selbststudium, Prüfungsvorbereitung,
Test: siehe links <===
|
Wo 8 |
- Repetition Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen
- Beispiel
- Anwendung des Algorithmus für die Berechnung von inversen
Matrizen
- Simultane Lösung von Gleichungssystemen
- Beispiele
- Was passiert, wenn es keine Inverse gibt?
- Determinanten: Idee des Volumeninhalts eines n-dimensionalen
Spates
- Gewinn: Beispiel der Regeln von Cramer für ein Gleichungssystem
mit n Unbekannten, Formeln
- Berechnungskonzept für die Determinanten:
- Volumenregeln von den Dimensionen 2 und 3 übertragen
- Regel mit Faktor ausklammern
- Regel mit Summe als Seitenvektors des Spats, Aufteilung in
Summanden
- Regel mit einem Einheitsvektor als Seitenvektor
- Volumen des Einheitsspat ist definiert als gleich 1
- Drehmatrix
- Prüfungsvorbereitung: Übungen, Probleme
|
- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
|
Wo 9 |
- Determinanten als Volumen, Rechenregeln für Volumina
- Determinanten: Entwicklungssatz
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiel
- Prüfungsvorbereitung: Übungen, Probleme
- Test
- Determinanten:
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiel
- Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen
- Determinante der Inversen und der Transponierten
- Determinante von gestreckten Matrizen
- Weitere Sätze und Betrachtungen
- Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen)
- Berechnung durch rekursive Entwicklung
- Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner,
Computeralgebra-Programm)
- Bandmatrizen, Algorithmen
|
- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
|
Wo 10 |
- Besprechung Test
- Repetition zum Gauss-Jordan-Verfahren
- Verallgemeinerung der Additionsmethode
- Elementarumformungen
- Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen
- Ziel Diagonalmatrix
-
Was passiert bei Rechtecksmatrizen
-
Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie
Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
-
Neu: Charakterisierung der Lösungen:
-
Homogenes und inhomogenes System
-
Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System
-
Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen)
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine
Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene
Lösung
-
Vektorraumstruktur der homogenen Losungen
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Inhomogene und partikuläre Lösung
-
Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
-
Beispiele
Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen
Übersicht über die im Kurs vorgestellten
Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen
-
Verallgemeinerungen der klassischen Methoden
(einsetzen, gleichsetzen, Additionsmethode,
Determinantenmethode, Iterationen)
-
Matrixmethode zum Lösen von Gleichungssystemen
-
Cramersche Regeln (Determinantenmethode zum Lösen von Gleichungssystemen)
-
Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen
-
Beispiele
-
Übungen, Anwendungen
|
- Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
|
Wo 11 |
- Repetition:
- Jacobi
- Allgemeine Lösung eines Gleichungssystems = partikuläre
Losung des inhomogenen Systems + allgemeine Losung des homogenen
Systems
- Homogene Lösungen: Vektorraum
- Inhomogene Lösungen: lineare Mannigfaltigkeit
- Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
- Erklärung der Ordnung, des Rangs und der Dimension
-
Stoff:
-
Matrizen und lineare Abbildungen
-
Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren
der ONB
-
Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors
-
Definition Kern und Image
-
Df Vektorraum ==> auch Kern und Image
-
Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kernsenkrecht
-
Dim Df = Dim Kern + Dim Im
-
Beispiele
-
Abbildung mittels Matrix: Lineare Abbildung.
-
Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind
die Spaltenvektoren der Matrix.
- Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der
verwendeten Vektoren
- Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der
Kern Dimension null hat.
- Sonst ist das Bild ein Punkt
- Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension
null hat.
- Und so weiter.
- Beispiel:
- Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu
Verwendung obiger Erkenntnisse.
- Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene.
- Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer
Ebene.
- U.s.w.
- Weitere Abbildungsmatrizen:
- Drehungen in der Ebene
- Drehung um die z-Achse im Raum
- Drehung um die x-Achse im Raum
- Drehung um die y-Achse im Raum
|
Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
-
|
Wo 12 |
- Einführung in die Eigenwerttheorie:
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix
- Charaktereistisches Polynom
- Eigenvektoren als Basis
- Eigenvektoren und Streckung
- Das Problem der Nicht-Eindeutigkeit des Gleichungssystems für
die Eigenvektoren und der nicht-exakten Eigenwerte
- Beispiele
- Verschiedene Eigenwerte ==> Eigenvektoren linear unabhängig
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) M = A D A-1
- Anwendungen
- Probleme zum Test
|
Selbststudium: Testvorbereitung
Stichworte
- Integration
(von Hand)
- Taylorreihe
(mit Konvergenzradius)
- Richtungsableitung
- (Einfache) Differentialgleichungen
- Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Länge der Mantellinie)
|
Wo 13 |
- Test
- Spezialwoche (Auffahrt)
|
Selbststudium: Testnachbereitung
|
Wo 14 |
- Testrückgabe
- Themenzentrierte Gruppenarbeit mit Selbststudium und Vortrag: Link
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- Wahrscheinlichkeit Blatter, Käser
- u.s.w.
|
Selbststudium:
Link
|
Wo 15 |
- Spezialwoche mit Pfingstmontag
- Arbeit an den Kurzpräsentationen
- Ratschläge zur Modulprüfungsvorbereitung
|
Geführtes Selbststudium: Siehe links
|
Wo 16 |
- Kurzpräsentationen
- Ehemalige Prüfungen, Modulprüfungen, Vordiplome
- Hinweise zu den Modulprüfungen, Termine
- Abschluss
|
Selbststudium: Ehemalige
Prüfungen
|
Vorbereitung
Modulprüfung
|
|
|
S1 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Internatmaterial sichten, studieren
- ==> Skripte
holen, erst Basics und Trigonometrie ("Intern",
Passwort!), Literatur, Übungsserien
(Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w.
beschaffen
- Selbststudium:
! ! !
- Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungsschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonometrie 1. Lektion 4.
Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
- Übungscheine
|
- Download
"Daten zu Learningmanagement Mathematik"
-
- Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in
der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1
(WIR1 = Kürzel des Dozenten)
- Skirpte:
- Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht)
- Zusätzlich Algebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der
Skripte oben)
- Selbststudium siehe links
Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1.
Jahr Serie 01
|
Wo 2 |
- Selbststudium:
- Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4.
Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
(Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und
weitere Dinge.)
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Testvorbereitung
- Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6
|
- Selbststudium Kegelschnitte
|
Wo 4 |
|
- Selbststudium:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
|
Wo 5 |
|
- Selbststudium Diagramme: Rationale und gebrochen rationale
Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
|
Wo 6 |
- Übungsserien: Serien 17,
18,
19
(soweit schon möglich)
- Selbststudium:
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x-(-n)
- Ableitungen von loga(b xc)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Übungen
-
Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Übungsserien: Serien 20,
21,
(soweit schon möglich, Auswahl treffen)
- Materialbesorgung: Integralrechnung (Skript
downloaden)
- Selbststudium:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Übungsserien: Serien 22,
23,
(Differentialrechnung, Auswahl treffen)
- Serien 24,
25
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
- Zur Integralrechnung gehören die Übungsserien 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30
|
Wo 9 |
|
|
Wo 10 |
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 11 |
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter
- Übungsserien:
- Serien 29,
30
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
-
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Auswahl aus den Übungsserien:
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 13 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Anwendungen Differentialgleichungen:
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Serie 31
- Serie 08,
09
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 14 |
- Selbststudium: Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- 13,
14,
15,
16
17
so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung
|
- Selbststudium, siehe links: Nicht behandelter Stoff aus der
"Approximationstheorie" sowie Auswahl aus den
Übungsserien während der unterrichtsfreien Zeit bearbeiten.
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Wo 15 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Weiter mit 13,
14,
15,
16
17
- 13
(Laplace-Wahrscheinlichkeit)
|
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Wo 16 |
- Studium der Literatur
- Repetition für den nächsten Test:
- 24,
25,
26,
27,
(28)
29,
30,
18,
19,
20,
21,
22, 31,
08,
09,
13,
14,
15,
16
17,
13
|
Zum Galton-Brett u.s.w.:
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S2 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
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Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
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Wo 2 |
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Wo 3 |
- Selbststudium:
Siehe oben
- Übungen
- Studium alter Test
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Wo 4 |
- Selbststudium: Siehe rechts
- Übungen
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- Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
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Wo 5 |
- Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt
- Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6:
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 6 |
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 7 |
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- Selbststudium, Prüfungsvorbereitung,
Test: siehe links <===
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Wo 8 |
- Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch
nicht gemachten Aufgaben
- Selbststudium: Siehe rechts
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- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
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Wo 9 |
- Übungen: Serien I 32/33/34/35/36: Noch nicht
gemachte Aufgaben beenden.
- Selbststudium:
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 10 |
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- Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
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Wo 11 |
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Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
-
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Wo 12 |
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Selbststudium: Testvorbereitung
Stichworte
- Integration
(von Hand)
- Taylorreihe
(mit Konvergenzradius)
- Richtungsableitung
- (Einfache) Differentialgleichungen
- Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Länge der Mantellinie)
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Wo 13 |
- Nochmals Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Nachbereitung Test
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Selbststudium: Testnachbereitung
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Wo 14 |
- Themenzentrierte Gruppenarbeit mit Selbststudium und Vortrag: Link
==> Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten: Siehe Skript
(Lineare Abbildungen)
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- u.s.w.
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Selbststudium:
Link
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Wo 15 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
- Detailplan:
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Organisation der Präsentationsreihenfolge durch die
Studierenden, je ca. 15 Minuten.
- Dazu Link
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten: Siehe Skript
(Lineare Abbildungen)
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- Wahrscheinlichkeit Blatter, Käser
- u.s.w.
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Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
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Wo 16 |
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
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Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
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Vorbereitung
Modulprüfung
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Total ... Studierende