| S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
Beginn Unterricht:
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6.
Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im
Hirn und der Repetition
- 7.
Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Zeitplanung
-
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft - Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
- Praktische Einführung in MATLAB
|
Downloads, Studium, Literatur,
Übungen:
|
| Wo 2 |
- Skalare,
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm in Koordinatensystem
- Addition
- Multiplikation
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff
- Selbststudium: Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig, Linearkombination
- Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
- Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem
Programm siehe Übungen)
- Download Skripte MATLAB nach mündlicher Anleitung im Labor
|
Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen!
|
| Wo 3 |
- Vektoren
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff, Gesetze
- Linearkombinationen
- Bemerkungen zu weiteren mathematischen Problemen
- Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig
- Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 4 |
- Weiter mit Vektoren
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Rechengesetze in Koordinatensystemen
- Basiswechsel, Länge
- Beispiele
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 5 |
- Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze, Regeln, Anwendungen
- Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz,
Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
- Anwendungen auf lineare Gebilde
- Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
- Selbststudium:
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
| Wo 6 |
- Weiter mit Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
- Repetition Geradengleichungen und Eigenschaften
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Rep.
Flächenprodukt
- Motivation,
Definition
- Regeln
- Anwendungen,
z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt
und zwei Richtungsvektoren
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 7 |
- Spatprodukt
- Motivation, Definition, Berechnung
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
-
Uebungen
- Anwendungen: Abstand eines Punktes on einer
Geraden oder Ebenen, Hess'sche Normalform
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Selbststudium:
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beispiele dazu,
Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 8 |
- Repetition Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Angaben zum Selbststudium:
- Weitere Begriffe und Eigenschaften
im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des
Kegels
- Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des
Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge
der Lösungen der Einzelgleichungen
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene
Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen.
Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre
inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 9 |
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Matrizen, Matrixschreibweise
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele
- Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang (Rang der Matrix)
- Selbststudium: Testvorbereitung
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 10 |
- Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Testvorbereitung, Fragestunde
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 11 |
- Test (gemachter
Test)
- Bemerkungen zum Test
- Bemerkung zum Rückwärtseinsetzverfahren
- Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix
- Spezielle Matrizen:
- Nullmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix
- Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln
- Beginn: Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten
- Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt)
|
|
| Wo 12 |
- Test retour
- Determinantenberechnung
- Bedeutung der Determinante und Regeln
- Entwicklungssatz
- Anwendung Entwicklungssatz:
- Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
- Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden,
analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst.
- Determinante Einer Dreiecksmatrix = Produkt der
Diagonalelemente
- Determinantenberechnung durch Transformation auf
Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
- Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
- Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
- Matrixmultiplikation und Gleichungssysteme, Produktmatrix
- Selbststudium:
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv.
Jacobi-Verf., Rechenaufwand
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 13 |
- Beispiele zur Matrixmultiplikation
- Gesetze zur Matrixmultiplikation
- Assoziativität: (A.B).C=A.(B.C) (beweisbar mit
Abbildungen)
- Einheitselement E(n)
- Nullelement N(m,n)
- Kommutativität gilt nicht allgemein: Gegenbeispiele
- Existenez und Berechnung der Inversen Matrix:
- Lösen von n Gleichungssystemen simultan (Gauss-Jordan)
- Lösung nach Cramer möglich, wenn Det(A) im Nenner
nicht null
- Bilder der Orthonormalbasis: Spaltenvektoren der Matrix
- Determinantenmultiplikationssatz
- Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung
- Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von
Gleichungen und der Berechnung der Inversen
- Übungen, Aufgaben im Labor
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
|
|
| Wo 14 |
- Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische
Addition von komplexen Zahlen
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Beispiele
- Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von
komplexen Zahlen
- Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
- Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation,
Schreibeweisen von i
- Gesetze der Multiplikation
- Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
- Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument
und Betrag einer Zahl
- Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
- Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und
Konsequenzen
- Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
- Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==>
Achteck)
- Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
- Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
- Lage der Inversen
- Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
- Distributivgesetz
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Beispiele
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 15 |
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Beispiele
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Hauptsatz der Algebra
- Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
- Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
|
|
| Wo 16 |
- Weiter mit Partialbruchzerlegung
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen
- Selbststudium: Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Ausblicke
- Beispiele
|
|
| S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Repetitionen:
- Beispiele zu
- Semestereinführung, Repetition
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
- Beispiele (Kurzrepetition) zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche
Normalform!)
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche
Normalform!)
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Beispiele
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
- Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung: Stichwort "Vorspannung".
- Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 2 |
- Repetitionen:
- Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
- Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
- Die Kegelschnitte
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
- Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung
im Dreieck
- Die Winkel am Apolloniuskreis
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 3 |
- Repetitionen (Selbststudium):
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
- Stoff Repetition:
- Matrizen
- Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei
Abbildungen
- Eigenschaften
- Bedeutung der Spaltenvektoren bei der
Abbildung
- Abbildungseigenschaften einer Matrix
- Stoff neu:
- Eigenwertprobleme: Eigenwerte und
Eigenvektoren
- Beispiele
- Beispiel von Matrizen ohne reelle
Eigenwerte
- Eigenvektoren als Basis
- Charakteristisches Polynom
- Berechnungen
- Demnächst behandelter Stoff:
- Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder
weniger Eigenwerten als die Ordnung
- Matrizen mit weniger Eigenvektoren als
die Ordnung
- Die Triviallösung 0
- Das Problem bei nicht regulägen
Matrizen
- Beispiel, Berechnungen
- Approximation von Eigenwerten: Bei der
Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung =
Rang + Dimension" gestört.
- Beispiel
|
Selbststudium
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Beispiele
- Vektorkurven, Tangentialvektor,
Normalenvektor
|
| Wo 4 |
- Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren
- Charakteristisches Polynom
- Berechnungen, Beispiele
- Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von
Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch
- Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders,
Beispiele von Operatoren, Schwingungen...
|
Nochmals Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 5 |
- Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren
- Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp.
Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix)
- Matrixkomposition
- Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren
- Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die
Eigenvektoren
- Beispiel mit Eigenwert 0
- Diverse Beispiele, Übungen
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 6 |
- Repetition Eigenwerte, Eigenvektoren, Matrixkomposition
- Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
- Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade
- Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung
der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
- Beispiele
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 7 |
- Repetition einfache Abstandsberechnung:
- Abstand eines Punktes zu einer Gerade im Raum mit Hilfe der
Normalenebene zur Geraden durch den Punkt.
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen im Raum mit Hilfe der
Normalengeraden zur Ebene (aus der Koordinatengleichung) durch
den Punkt.
- Herleitung der Matrixdekomposition (Diagonalisierung) im Falle von
verschiedenen Eigenwerten ungleich 0.
- Das Produkt der Eigenwerte als Determinante der Matrix.
- Beispiele
- Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 8 |
|
Selbststudium: Prüfungsvorbereitung
|
| Wo 9 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 10 |
- Besprechung Test
- Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
- Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens
ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im
charakteristischen Polynom null
- Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche
Eigenvektoren wie die Matrix
- Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die
Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert
(Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren).
- Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und
die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren.
- Beispiele
|
Testverbesserung
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 11 |
- Ähnliche Matrizen
- Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im
charakteristischen Polynom
- Beispiele, Matrixkomposition
- Ausarbeitung: Zusammenhang Gausalgorithmus - Rangsatz
- Was ist Rang, Ordnung, Dimension...
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 12 |
- Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale
Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
- Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
- Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
- Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene
Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
- Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern)
+ Dimension(Image)
- Berechnung des Rangs einer Matrix
- Zeilenrang = Spaltenrang
- Beispiele
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
Stichworte zur Testvorbereitung:
- Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine
Annäherung?
- Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten
Gleichungssystem?
- Drehung um eine Achse im Raum, Matrix?
- Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und
Eigenvektoren
- Begriffe der linearen Algebra
|
| Wo 13 |
|
Selbststudium und Arbeit:
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
-
Siehe Übungen
|
| Wo 14 |
- Besprechung Test
- Weitere Übungen (weitere Qualifikation):
- Vorträge zu Rädergelenkgestängen, Programmierung und
Resultate
- Bisherige Arbeiten zu Rädergelenkgestängen siehe Link
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 15 |
- Spezialanlass: Pfingstmontag
-
Selbststudium:
Präsentationsvorbereitung, Abgabe der Unterlagen (Programme)
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 16 |
- Ausstehende Präsentationen
- Abschluss:
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| |
|
|
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
Vorgesehen:
- Downloads:
- Studium, Literatur:
- Übungen
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 2 |
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 3 |
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 4 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Sätze der Geometrie
- Definition
- Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 5 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte)
- Selbststudium:
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 6 |
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium:
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln
(Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen
(Abstand Punkt von Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt,
Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Beispiele,
Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 7 |
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Gleichungen der Tangente oder der
Tangentialebene
- Weitere Begriffe und Eigenschaften im
Zusammenhang mit Kreis und Kugel
- Gleichungen des Zylinders und des Kegels
- Beispiele dazu,
Übungen
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 8 |
- Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 9 |
- Selbststudium: Matrizenrechnung:
- Matrizentypen
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen (alter Test)
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 10 |
|
- Selbststudium siehe links
|
| Wo 11 |
|
|
| Wo 12 |
- Selbststudium:
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv.
Jacobi-Verf., Rechenaufwand
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
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- Selbststudium siehe links
|
| Wo 13 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
|
|
| Wo 14 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
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- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 15 |
- Selbststudium:
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
- Harmonische Schwingen und Überlagerungen,
- Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik,
Mechanik (Federpendel) und Mathematik
- Überlagerung von Schwingungen
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
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- Selbststudium: Siehe links
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| Wo 16 |
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- Selbststudium: Siehe links
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| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
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Selbststudium siehe unter Stoff
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| Wo 2 |
|
Selbststudium siehe unter Stoff
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| Wo 3 |
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| Wo 4 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
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Nochmals Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
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| Wo 5 |
- Übungen: Repetition (beachte Update: Zusatzaufgaben)
- Übungen: Neu
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 6 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 7 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 8 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 9 |
- Testnachbereitung: Test
- Übungen
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 10 |
-
Testverbesserung zur Abgabe vorbereiten
- Übungen
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 11 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
|
| Wo 12 |
- Übungen
- Stichworte zur Testvorbereitung:
- Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine
Annäherung?
- Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten
Gleichungssystem?
- Drehung um eine Achse im Raum, Matrix?
- Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und
Eigenvektoren
- Begriffe der linearen Algebra
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Selbststudium:
Siehe Übungen
Testvorbereitung siehe links
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| Wo 13 |
- Übungen
- Arbeit
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
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Selbststudium und Arbeit:
- Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
-
Siehe Übungen
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| Wo 14 |
|
Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 15 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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| Wo 16 |
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Selbststudium:
Siehe Übungen
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| S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Einführung
- Vorstellung
- Learningmanagement
- Koordinaten
- Lerntechnik: Vergessenskurve, Lernplateau,
- Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor =0 ==> Produkt = 0.
- Wozu Mathematik?
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen
Realitäten".
- Modell (in der Sprache der Mathematik) - Realität ==>
Naturwissenschaft - Mathematik
- Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
- Praktische Einführung in MATLAB
|
|
| Wo 2 |
- Skalare,
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm in Koordinatensystem
- Addition
- Multiplikation
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff
- Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig, Linearkombination
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
- Weiter mit MATLAB (siehe Übungen)
|
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| Wo 3 |
- Weiter mit Vektoren
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Rechengesetze in Koordinatensystemen
- Basiswechsel, Länge
- Beispiele
- Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Definition
- Gesetze ==> Selbststudium: Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
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| Wo 4 |
- Skalarprodukt
- Gesetze, Regeln
- Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz,
Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
- Anwendungen auf lineare Gebilde
- Geraden- und Ebenengleichungen
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
|
- Selbststudium: Siehe links
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| Wo 5 |
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus
einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte).
|
- Selbststudium: Siehe links
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| Wo 6 |
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von
Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 7 |
- Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des
Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge
der Lösungen der Einzelgleichungen
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene
Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen.
Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre
inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 8 |
- Lineare Gleichungssysteme
- Matrizen, Matrixschreibweise
- Matrizentypen
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele
- Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang der Matrix
- Zeilenrang und Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
|
| Wo 9 |
|
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| Wo 10 |
- Gauss'scher Algorithmus und Rückwärtseinsetzen-Algorithmus:
Rechenaufwand
- Ueb. Vektorprodukt- Formel via elementare Aufgliederung.
- Matrixmultiplikation
- LU-Faktorisierung (LR-Zerlegung, Dreieckszerlegung), quadr. Matrizen u. Determinanten, Fall n = 2, n>2
|
|
| Wo 11 |
- Rückgabe Test
- Repetition.: Matrixmultiplikation, Gesetze, rechnen mit Matrizen
(Addition, Multiplikation, Streckung mit Skalar), Beziehung Matrix -
Gleichungssystem
- Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln
- Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten
- Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt)
|
(pdf)
(txt)
|
| Wo 12 |
- Nachholtest
- Rep. Determinantenberechnung: Entwicklungssatz
- Anwendung Entwicklungssatz
- Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
- Determinante Einer Dreiecksmatrix = Produkt der
Diagonalelemente
- Determinantenberechnung durch Transformation auf
Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
- Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
- Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-'
ungef., wann konv. Jacobi-Verf.?, Rechenaufwand
|
- Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-'
ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand,
|
| Wo 13 |
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von
Gleichungen und der Berechnung der Inversen
- Übungen, Aufgaben im Labor
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
|
(pdf)
(txt)
|
| Wo 14 |
- Repetition bisheriger Stoff zu den komplexen Zahlen
- Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von
komplexen Zahlen
- Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation,
Schreibeweisen von i
- Gesetze der Multiplikation
- Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
- Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten
- Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
- Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und
Konsequenzen
- Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
- Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==>
Achteck)
- Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
- Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
- Lage der Inversen
- Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
|
- Selbststudium: Repetition des bisherigen Stoffes im Hinblick
auf die Modulprüfung
|
| Wo 15 |
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Hauptsatz der Algebra
- Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
- Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
|
|
| Wo 16 |
- Partialbruchzerlegung
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Reserve, Repetition, Ausblick: Alte Prüfungsserien lösen:
Vorbereitung auf die Modulprüfung
|
|
| S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Beispiele zu
- Semestereinführung, Repetition
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
|
|
| Wo 2 |
- Beispiele zu
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
|
|
| Wo 3 |
- Beispiele (Kurzrepetition) zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche
Normalform!)
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche
Normalform!)
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Beispiele
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
- Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung: Stichwort "Vorspannung".
|
|
| Wo 4 |
- Kurze Rep.Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
- Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
- Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
- Die Kegelschnitte
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 5 |
- Rep. Kreis, Kugel
- Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung
im Dreieck
- Die Winkel am Apolloniuskreis
- Tangente, Tangentialebene
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
Selbststudium:
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
|
| Wo 6 |
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor
- Repetition Abbildungseigenschaften einer Matrix
- Eigenwerte und Eigenvektoren: Beispiel
|
|
| Wo 7 |
- Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren:
- Charakteristisches Polynom
- Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten
als die Ordnung
- Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung
- Die Triviallösung 0
- Das Problem bei nicht regulägen Matrizen
- Beispiel, Berechnungen
- Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der
Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang +
Dimension" gestört.
- Beispiel
|
|
| Wo 8 |
- Repetition Vektorgeometrie und Prüfungsstoff
- Abbildung mit Matrizen
- Apollonius
- Kreis, Kugel, Tangente
- Pol, Polare, Potenz, Potenzgerade
- Beispiele
- Berechnung von Eigenwerten, Eigenvektoren: Beispiel
- Beziehungen zwischen Abbildung und Eigenwerten/Eigenvektoren
- Ein Beispiel mit A = B D B-1 - dabei besteht B aus den
Eigenvektoren und D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von
A
|
|
| Wo 9 |
- Test (Link siehe Übungen)
|
|
| Wo 10 |
|
|
| Wo 11 |
- Test retour
- Repetition von und weiter mit Eigenwertproblemen:
- Rep. Eigenwerte und Eigenvektoren
- Berechnung, charakteristisches Polynom, maximale Anzahl
- Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten
- Eigenwerte, Eigenvektoren zur inversen Matrix
- Eigenwerte, Eigenvektoren zur transponierten Matrix
- Diagonalisierung einer Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten
|
|
| Wo 12 |
- Repetition Diagonalisierung einer Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten
- Vergleich der Eigenwerte und Eigenvektoren von A mit denjenigen
der zugehörigen Diagonalmatrix D
- Berechnung der Eigenvektoren von D
- Vergleich der Determinante von A mit derjenigen von D
- Konstruktion einer Matrix mit gegebenen Eigenvektoren und
Eigenwerten
- Beispiel einer Konstruktion mit Abbildung einer Kurve (Kreis in
eine bestimmte gegebene Richtung zu einer Ellipse deformiert mit
gegebenem Achsenverhältnis...)
|
|
| Wo 13 |
- Spur, Determinante und charakteristisches Polynom
- Gleichheit der charakteristischen Polynome bei A und D, Ähnlichkeit
von Matrizen (gleiche Eigenwerte res. charakteristische Polynome)
- Kollineation: Geometrische Abbildung einer Figur mit Fixgerade,
Konstruktion der Matrix mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren.
- Beispiele
|
|
| Wo 14 |
- Neue Teile, andere Teile sind nur Repetition:
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer
Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer
Geraden in der Ebene mit Hilofe von Eigenvektoren und
Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene
mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
|
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
- Testrückgabe, Nachbearbeitung, Abschluss, Erledigung von
ausstehenden Arbeiten u.s.w.
|
|
| Resultat |
|
|
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Downloads:
- Studium, Literatur:
- Übungen
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 2 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 3 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 4 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 5 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 6 |
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 7 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 8 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 9 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 10 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 11 |
|
Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt) |
| Wo 12 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 13 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 14 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 15 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 16 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Übungen nach abgegebenem Handout
- (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier
angegebenen Links)
- Neu erstellte LaTeX-Version:
|
|
| Wo 2 |
- Übungen nach abgegebenem Handout
- (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier
angegebenen Links)
- Neu erstellte LaTeX-Version:
|
|
| Wo 3 |
|
|
| Wo 4 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 5 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
|
Selbststudium:
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
|
| Wo 6 |
|
|
| Wo 7 |
|
|
| Wo 8 |
|
|
| Wo 9 |
- Testnachbereitung: Test
- Übungen
|
|
| Wo 10 |
|
|
| Wo 11 |
|
|
| Wo 12 |
|
|
| Wo 13 |
|
|
| Wo 14 |
|
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
- Übungen
- Test: Nachbearbeitung
- Praktische Übung am Computer: Mehr Anfreundung mit MatLab,
Session nach eigener Neugier
|
(Achtung: Link kann hier etwas dauern)
|
| Resultat |
|
|
