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Klasse  M1a / M09a / Lineare Algebra und Geometrie 2009/2010    

Link zu dieser Seite (aktuelle Version):  http://rowicus.ch/Wir/TutoringCoaching/KlassenAktuell/work_M1E1p_LAG_09.htm 


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Spezielle Mitteilungen (M1a 2009/2010)                    

Modulnoten

Achtung Testdaten (Link hier)!!!!
Tutoring Coaching Modulprüfung

 Grundsätzliches 

Stoff

4 Wochenlektionen nach Stundenplan

Grundausbildung im Einsatz von Mathematik-Software 
Einführung von Grundbegriffen, Skalare, Vektoren, Matrizen 
komplexe Zahlen und Funktionen 
Systeme von linearen Gleichungen: Lösungsmethoden und Anwendungen 

Wichtige Links: Vgl. Handout (Hardcopy)

oder mündliche Mitteilung

Qualifikation:

Durch Leistungsprüfungen im Verlaufe des Moduls (Erfahrungsnote), eine abgesetzte schriftliche Modulschlussprüfung (120 Minuten)

Testdaten nach Abmachung Link Testform und Inhalt (Bewertungsschema u.s.w.)

In der Regel: EN Gewicht 1, MP Gewicht 3

 Lineare Alg.+Geom. 1: Dauer 1 Semester

Danach Lineare Alg.+Geom. 2

Tutoring Coaching Modulprüfung:

Nächster abgemachter Termin: Nach Abmachung

Weiterer Termin  nach Abmachung

 

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Literatur

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Lehrplan, Learningmanagement, Inhalt und Test 

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Kontrolle oder Realität

Sprung zum Semester 2

 

S1 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
 Wo 1        Beginn Unterricht: 
  • Einführung,  Vorstellung
  • Learningmanagement, Organisation, Rahmen, Kommunikation via Internet
    • 1. Koordinaten
    • 2. Stoff
    • 3. Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
    • 4. Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
    • 5. Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement ( Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
    • 6. Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * abrufen * anwenden.  //  Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der Repetition
    • 7. Noch kurz besprechen:  Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: 
    • ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
    • 8. Noch kurz besprechen:  Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
    • 9. Noch kurz besprechen:  Rechner, Computer, Mathematiksoftware
    • 10. Noch kurz besprechen:  Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
    • 11. Noch kurz besprechen:  Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur)
    • 12. Noch kurz besprechen:  Zeitplanung
    •  
 Downloads, Studium, Literatur, Übungen
 Wo 2
  • Nachtrag:
    • 7. Noch kurz besprechen:  Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: 
    • ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
    • 8. Noch kurz besprechen:  Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
    • 9. Noch kurz besprechen:  Rechner, Computer, Mathematiksoftware
    • 10. Noch kurz besprechen:  Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
    • 11. Noch kurz besprechen:  Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur)
    • 12. Noch kurz besprechen:  Zeitplanung
  • Wozu Mathematik?  Link
  • Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik)
    • Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
      • Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". 
      • Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
      • Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist Zahl. 
      • Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre Kulturleistung
      • Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
  • Praktische Einführung in MATLAB
  • Fortsetzung zur Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik)
    • Beispielhafte Beweise 
    • Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
    • Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
    • Modell und Wirklichkeit: Modell in der Sprache der Mathematik - Realität 
      • ==> Naturwissenschaft - Mathematik
      • Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom Baum - Galilei, Newton
      • "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die Idee der Gleichbewegung der Atome
      • Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter - u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden - mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360 Grad contra rad. Wieso 360?
    • Diverses
    • Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
  • Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
  • Nochmals praktische Einführung in MATLAB
  •  Montag, 21.09.09 Zimmerverschiebung nach E126 / M003 
  • Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen

 

 Wo 3
  • Skalare
  • Vektoren
    • Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge, Betrag, Norm in Koordinatensystem
    • Addition
    • Multiplikation mit Skalar: Streckung
    • Gesetze
    • Allgemeiner Vektorbegriff
    • Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig, Linearkombination
  • Selbststudium:  
    • Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren)
    • Eigenschaften einer Basis
  • Selbststudium: Siehe links, was noch aussteht
 Wo 4
  • Vektoren und Koordinatensysteme
    • Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren)
    • Eigenschaften einer Basis
    • Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen, Spaltenvektoren, Transponierte
    • Gleichheit von Vektoren
    • Einheitsvektoren
    • In Polarkoordinaten
    • Rechengesetze in Koordinatensystemen
    • Basiswechsel, Länge
    • Beispiele
  • Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
    • Zum persönlichen Nachdenken: Wie halte ich es mit dem Thema Eigenmotivation und Arbeit? Wie halte ich es mit dem Gleichgewicht zwischen zuviel und zuwenig?
    • Skriptstudium: Sätze der Geometrie
    • Skriptstudium: Definitionen
    • Skriptstudium: Weitere Gesetze,  Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen
  • Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem Programm siehe Übungen)
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 5
  • Basiswechsel
  • Beispiel: Zerlegung von Kräften
  • Austauschverfahren
  • Geometrische Sätze (eine Sammlung) - Beweise ohne Worte
  • Skalarprodukt:
    • Definitionen
    • Gesetze
    • Anwendungen
    • Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz, Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
  • Selbststudium:  
    • Skriptstudium, Sätze der Geometrie
    • Skriptstudium: Definitionen
    • Skriptstudium: Weitere Gesetze beim Skalarprodukt, Anwendungen
      • Anwendungen auf lineare Gebilde
    • Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
      • Parametergleichungen
      • Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden)
      • Umwandlungen ineinander
      • Koordinatengleichung und Normalenvektor
      • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
      • Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren)
      • Hess'sche Normalform
      • Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
  • Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem Programm siehe Übungen)
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 6
  • Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
    • Parametergleichungen
    • Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden)
    • Umwandlungen ineinander
    • Koordinatengleichung und Normalenvektor
    • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
    • Hess'sche Normalform und Distanz zu einem gegebenen Punkt
  • Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Ebenen
    • Parametergleichungen
    • Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden)
    • Umwandlungen ineinander
    • Koordinatengleichung und Normalenvektor
    • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
    • Hess'sche Normalform und Distanz zu einem gegebenen Punkt
  • Das Flächenprodukt zweier Vektoren in der Ebene
  • Hinweis zu Matlab-Übungen und Ergänzungen: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/MatlabEinstiegUeb.pdf 
  • Selbststudium:  
    • Flächenprodukt
      • Motivation, Definition (behandelt)
      • Regeln
      • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
    • Vektorprodukt
  • Selbststudium planen:
    • Spatprodukt
      • Motivation, Definition
      • Eigenschaften, Regeln, Sarrus
      • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
      • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)  
      • Beispiele, Übungen
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
    • Kreis- und Kugelgleichungen
    • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
    • Beispiele, Übungen
    • Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz, Potenzgerade,  Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz, Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 7
  • Flächenprodukt weiter:
    • Motivation, Definition (behandelt)
    • Regeln
    • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
  • Vektorprodukt: Idee
    • Herleitung der Eigenschaften
    • Regeln für das Vektorprodukt
    • Anwendungen: 
      • Z.B. Drehmoment in der Physik
      • Diverse interessante Formeln
      • Herleitung der Koordinatengleichung einer Ebene aus der Parametergleichung (Anwendungen, wie z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren )
  • Spatprodukt
    • Motivation, Definition
    • Eigenschaften, Regeln
  • Selbststudium:
    • Spatprodukt
      • Motivation, Definition
      • Eigenschaften, Regeln, Sarrus
      • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
      • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)  
      • Beispiele, Übungen
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
    • Kreis- und Kugelgleichungen
    • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
    • Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
    • Gleichungen des Zylinders und des Kegels
    • Beispiele, Übungen
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 8
  • Spatprodukt
    • Motivation, Definition
    • Eigenschaften, Regeln, Sarrus
    • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
    • Beispiele, Übungen
  • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
  • Kreis- und Kugelgleichungen  
  • Gleichungen des Zylinders und des Kegels
  • Beispiele, Übungen
  • Geometrie:
    • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)  (Selbststudium)
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte  (Selbststudium)
    • Kreis- und Kugelgleichungen
    • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
    • Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
      • Thaleskreis, Apolloniuskreis (siehe auch Apollonius )
    • Gleichungen des Zylinders und des Kegels (Rep.)
    • Beispiele, Übungen
  • Selbststudium:  
    • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) 
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
    • Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
      • Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
      • Homogene und inhomogene Gleichung
      • Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
      • System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
      • Einzelgleichungen
      • Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
      • Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 9
  • Spatprodukt  
    • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) 
  • Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
    • Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
    • Homogene und inhomogene Gleichung
    • Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
    • System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
    • Einzelgleichungen
    • Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
    • Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
    • Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...) 
  • Selbststudium:
    • Gauss-Jordan-Algorithmus 
    • Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
      • Keine Lösung
      • Genau eine Lösung
      • Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
      • Rang (Rang der Matrix)
  • Selbststudium: Testvorbereitung 
  • Selbststudium: Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 10
  • Gleichungssysteme
    • Gauss-Jordan-Algorithmus 
    • Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
      • Keine Lösung
      • Genau eine Lösung
      • Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
      • Rang (Rang der Matrix)
  • Test
  • Selbststudium:  
    • Testnachbereitung
    • Matrizenrechnung: 
      • Matrizentypen
      • Zeilenrang und Spaltenrang
      • Ordnung, Dimension, 
      • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
      • Beispiele
      • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
      • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
      • Regeln zur Transponierten
      • Matrixaddition
      • Beispiele
      • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
      • Beispiele
      • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
      • Beispiele
      • Matrixprodukt
      • Regeln zum Matrixprodukt
      • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
      • Gleichungssysteme und Matrixaddition
      • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 11
  • Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar, Vektorraumstruktur
    • Beispiele
    • Matrixprodukt Zeilenvektor mal Spaltenvektor
    • Matrixprodukt Matrix mal Vektor
    • Matrixprodukt: Einstieg mit Gleichungssystem
  • Selbststudium:
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 12
  • Matrizenrechnung: 
  • Matrixprodukt und Abbildung
  • Berechnung des Matrixprodukts
  • Regeln zum Matrixprodukt
    • Dimensionsgesetze
    • Nicht kommutativ
    • Assoziativität (trivial da Abbildungen)  (A.B).C=A.(B.C)
    • Nullelement
    • Einsemement: Einheitsmatrix
    • Distributivität
    • Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
    • Inverse für reguläge Matrizen
    • Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen)
    • Linksinverse = Rechtsinverse
    • Beispiele
  • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
  • Gleichungssysteme und Matrixaddition
  • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
  • Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
  • Selbststudium: Siehe links    
 Wo 13
  • Determinantenberechnung
    • Bedeutung der Determinante und Regeln
    • Entwicklungssatz
    • Anwendung Entwicklungssatz:
      • Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
    • Weiter:
    • Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden, analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst.
      • Beispiele
    • Determinante einer Dreiecksmatrix = Produkt der Diagonalelemente
      • Beispiel
    • Determinantenberechnung durch Transformation auf Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
      • Beispiel
    • Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
      • Beispiel
    • Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der Inversen
      • Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung
      • Berechnung der Determinanten der Inversen
  • Übungen, Aufgaben im Labor
  • Selbststudium: 
  • Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren): A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand (zum Lösen von Gleichungen und der Berechnung der Inversen)
  • Addition von Schwingungen
  • Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren 
  • Grund der Verwendung solcher Zahlen 
  • Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
  • Selbststudium: Siehe links     
 Wo 14
  • Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene
  • Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische Addition von komplexen Zahlen 
  • Grund der Verwendung solcher Zahlen 
  • Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
  • Beispiele
  • Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von komplexen Zahlen
    • Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
    • Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation, Schreibeweisen von i
    • Gesetze der Multiplikation
    • ...
  • Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
  • Multiplikation und Geometrie
    • Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument und Betrag einer Zahl
    • Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
    • Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und Konsequenzen
    • Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
    • Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==> Achteck)
    • Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
    • Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
    • Lage der Inversen
    • Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
    • Distributivgesetz
    • Wurzelziehen in C
  • Selbststudium:  
    • n-te Einheitswurzeln
    • n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen 
    • Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
    • Beispiele
    • Addition von Schwingungen
    • Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
    • Harmonische Schwingen und Überlagerungen, 
    • Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik 
    • Überlagerung von Schwingungen
  • Selbststudium: Siehe links     
 Wo 15
  • Repetition C mit Operationen, Wurzelziehen in C
  • n-te Einheitswurzeln
  • n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen 
  • Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
  • Beispiele
  • Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
  • Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
  •  
  • Der Hauptsatz der Algebra
  • Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
  • Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
  • Konstruktion der Koeffizienten eines Polynoms aus den Nullstellen
  • Selbststudium:  
    • Partialbruchzerlegung 
      • Das Problem 
      • Ausdividieren 
      • Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
      • Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren 
      • Beispiele und Anwendungen
    • Formeln von Moivre und Darstellungen wie  (cos(w))n (Fourier)
    • Addition von Schwingungen
    • Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
    • Harmonische Schwingen und Überlagerungen, 
    • Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik 
    • Überlagerung von Schwingungen
    • Ausblicke
    • Beispiele
    • Sichten der bisherigen Modulprüfungen
  • Selbststudium: Siehe links      
 Wo 16
  • Selbststudium: Siehe links      
S2 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
 Wo 1
  • Repetitionen:
  • Beispiele zu
    • Semestereinführung, Repetition
    • Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
    • Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen 
    • Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt 
    • Parametergleichung und Abstandsberechnungen 
    • Orthogonalzerlegung und Fußpunkt  
  • Beispiele (Kurzrepetition) zu
    • Flächeninhalt und Vektorprodukt
    • Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor
    • Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!)
    • Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!)
    • Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt
    • Volumen mit Spatprodukt
    • Beispiele
  • Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? 
  • Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung".
  • Repetitionen (Selbststudium):
    • Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
    • Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
    • Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
    • Die Kegelschnitte
    • Kegelgleichung
    • Zylindergleichung
    • Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck
    • Die Winkel am Apolloniuskreis
  • Repetitionen (Selbststudium):
    • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
    • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
    • Beispiele
    • Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor 
  • Stoff Repetition: 
    • Matrizen
    • Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei Abbildungen
    • Eigenschaften
    • Bedeutung der Spaltenvektoren bei der Abbildung
    • Abbildungseigenschaften einer Matrix
    •  
  •   Stoff neu:  
    • Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren
    • Beispiele
    • Beispiel von Matrizen ohne reelle Eigenwerte
    • Eigenvektoren als Basis
    • Charakteristisches Polynom
    • Berechnungen
 

Selbststudium:

  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
  • Beispiele
  • Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor 

 

 Wo 2
  • Repetition 
    • Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren
    • Charakteristisches Polynom, Formel
  • Berechnungen, Beispiele
  • Das Problem des nicht exakten Eigenwerts und der Berechnung der Eigenvektoren
  • Eigenvektoren als Basis und Abbildung von Vektoren in dieser Basis
  • Konstruktion einer Matrix mit gegebenen Eigenwerten und Eigenvektoren
  • Beispiel Geradenspiegelung
 
 Wo 3
  • Rep. Diagonalisierung einer Matrix
  • Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren
  • Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix)
  • Matrixkomposition:  Komposition einer Matrix mit gegebenen EW und EV
  • Spiegelung an einer Ebene: Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Ebene
  • Lineare Unabhängigkeit von EV bei verschiedenen EW: Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren
  • Benutzung der EV als Basis
  • det(M) = 0 ==> Letzter Koeff im char. Polynom = 0 ==> EW = 0 ==> Beispiel mit Eigenwert 0
  • Praktische Probleme
  • Komposition mit gleichen EW: Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren
  • Berechnung der EW / EV mit Rechner
  •  
  • Selbststudium:
  • Diverse Beispiele, Übungen
  • Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
  • Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
  • Beispiele
 Selbststudium: Siehe links
 Wo 4
  • Diverse Beispiele, Übungen
  • Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
  • Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
  • Beispiele
  • Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
    • Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null
    • Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix 
    • Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren).
    • Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren.
    • Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. (EW = 0 dann Det = 0 u.s.w.)
    • Beispiele
  • Ähnliche Matrizen
  • Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom
  • Beispiele, Matrixkomposition
 
 Wo 5
  • Matrixkomposition aus speziellen geometrischen Problemen heraus
  • Das Problem mit dem Eigenwert 0 und zugehörigen Eigenvektoren ungleich Nullvektoren: Beispiel Projektionsmatrix
  • Translation im R2: Matrix existiert nicht
  • Hebung in den R3: Projektive Koordinaten (homogene Koordinaten) ==> Matrix ist möglich
  • Rechnen mit projektiven Koordinaten: Geometrische Standardabbildungen
  • Mögliche Prüfungsaufgaben: Hinweis
  • Selbststudium: Testvorbereitung
 Siehe Übungen

 Selbststudium: Testvorbereitung

 Wo 6  
 Wo 7
  • Übungen
  • Selbststudium: 
    • Arbeiten mit homogenen Koordinaten
    • Was sind Kollineationen?
    • Wie kann man mit Hilfe einer Matrix einen Kreis in eine Ellipse transformieren?
    • Wie kann man das Gaußverfahren im die Matrizensprache übersetzen?
    • Nachbereitung Prüfung
    • Kommentar zur Prüfung ==> "Hart war's, doch wurde praktisch von allen die Gefahrenzone verpasst!"
 
 Wo 8
  • Test zurück
  • Zusammenfassung Stoff bisher über Eigenwerte (Eigenwerte und Eigenvektoren der Inversen und der Transponierten, ....)
  • Beispiel einer zusammengesetzten Abbildung in homogenen Koordinaten (mit Translation, Drehungen, Spiegelung)
  • Drehung im Raum um eine Achse mit Hilfe einer Matrix, Matrixkonstruktion, Beispiel
  • Selbststudium: Repetition Kurven
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 9
  • Repetition
  • Detaillierte Berechnung: Drehung eines Punktes um eine Raumachse um einen gegebenen Winkel
  • Übersetzung der Elementarsubstitutionen beim Gauß-Algorithmus in die Matrixsprache
  • Beispiele
  • Selbststudium: 
    • Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus Kollineationen
    • Lineare Abbildungen und Geraden usw.
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
    • Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
    • Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
    • Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
    • Ordnung = Rang + Dimension  und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image)
    • Berechnung des Rangs einer Matrix
    • Zeilenrang = Spaltenrang
    • Beispiele
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 10
  • Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus Kollineationen
  • Lineare Abbildungen und Geraden usw.
  • Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
  • Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
  • Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
  • Ordnung = Rang + Dimension  und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image)
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Berechnung des Rangs einer Matrix
    • Zeilenrang = Spaltenrang
    • Beispiele
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 11
  • Spezialanlass: Auffahrtswoche
  • Selbststudium: Nochmals Anwendungen
    • Berechnung des Rangs einer Matrix
    • Zeilenrang = Spaltenrang
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 12
  • Repetition:
  • Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
  • Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
  • Lineare Mannigfaltigkeit
  • Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
  • Ordnung = Rang + Dimension  und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image)
  • Berechnung des Rangs einer Matrix
  • Zeilenrang = Spaltenrang
  • Drehung im Raum um eine Achse
  • Beispiele
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
    • Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
    • Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
    • Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
    • Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen: Konstruktion der Matrizen
    • Rang, Defekt,
    • Caley-Hamilton, Nilpotenz
    • Kegelschnitte
    • Ausgleichsrechnung p. 270
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 13
  • Rang, Defekt,
  • Caley-Hamilton, Nilpotenz
  • Beispiele
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Kegelschnitte und quadratische Formen
    • Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
    • Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
    • Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
    • Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
    • Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen: Konstruktion der Matrizen
    • Ausgleichsrechnung p. 270
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 14
  • Beispiele: Drehung um eine Achse im Raum und damit verbundene Probleme
  • Übung
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Kegelschnitte und quadratische Formen
    • Ausgleichsrechnung p. 270
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
    • Ehemalige Tests studieren siehe unter den Übungen unten
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 15  
 Wo 16
  • Testrückgabe, Besprechnung, Abschluss
 
 
  • Ausschreibung Nachprüfung zur Modulprüfung siehe Ausschreibung Internetseite der Schule
 

Top


Übungsliste 

Sprung zum Semester 2

 

Blöcke  Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)  Bemerk.
 Wo 1 Vorgesehen:
  •  Selbststudium: Siehe links
 Wo 2
  •  Montag, 21.09.09 Zimmerverschiebung nach E126 / M003 
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 3
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 4
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 5
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 6
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 7
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 8
  • Zur Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs
  • Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf 
  • Übungen (alter Test) 
  • Selbststudium:  
    • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) 
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
    • Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
      • Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
      • Homogene und inhomogene Gleichung
      • Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
      • System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der
      • Einzelgleichungen
      • Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
      • Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 9
  • Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs
  • Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf 
  • Übungen (alter Test) 
  • Selbststudium:
    • Gauss-Jordan-Algorithmus 
    • Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
      • Keine Lösung
      • Genau eine Lösung
      • Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
      • Rang (Rang der Matrix)
  • Selbststudium: Testvorbereitung 
  • Selbststudium: Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 10
  • Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf 
  • Übungen 
  • Selbststudium: Testnachbereitung 
  • Selbststudium: Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 11
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 1 2
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 13
 Wo 14
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 15
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 16
  • Selbststudium: Siehe links 
Blöcke  Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)  Bemerk.
 Wo 1  Selbststudium siehe unter Stoff
 Wo 2  Selbststudium siehe unter Stoff
 Wo 3   Selbststudium siehe links 
 Wo 4  

 Nochmals Selbststudium:

  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
 Wo 5  Selbststudium: Testvorbereitung
 Wo 6  Selbststudium: Testnachbereitung
 Wo 7  
 Wo 8
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 9
  • Selbststudium: 
    • Kollineationen und Aufbau von Abbildungen aus Kollineationen
    • Lineare Abbildungen und Geraden usw.
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
    • Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
    • Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
    • Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
    • Ordnung = Rang + Dimension  und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image)
    • Berechnung des Rangs einer Matrix
    • Zeilenrang = Spaltenrang
    • Beispiele
  • Übungen  
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 10
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 11
  • Selbststudium: Siehe links 
 Wo 1 2
  • Übungen
  • http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_14.pdf  
  • http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_14.pdf  
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
    • Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
    • Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
    • Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
    • Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen: Konstruktion der Matrizen
    • Rang, Defekt,
    • Caley-Hamilton, Nilpotenz
    • Kegelschnitte
    • Ausgleichsrechnung p. 270
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links  
 Wo 13
  • Übungen (Vorgriff)  
  • http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_15.pdf  
  • http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_15.pdf  
  • Selbststudium: Anwendungen
    • Kegelschnitte und quadratische Formen
    • Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
    • Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
    • Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten
    • Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung
    • Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
    • Drehungen im Raum um eine Achse und andere Abbildungen: Konstruktion der Matrizen
    • Ausgleichsrechnung p. 270
    • Beispiele zum Problem der Unterbestimmten Gleichungssysteme, Beschreibung der Hyperflächen
    • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Selbststudium: Siehe links   
 Wo 14  
 Wo 15
  • Übungen (Vorgriff)
  • Testnachbearbeitung  Test
 
 Wo 16
  • Testbesprechung - Abschluss
 
 
  • Ausschreibung Nachprüfung zur Modulprüfung siehe Ausschreibung Internetseite der Schule
 

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Stoffplan/ Input bisher (M1p+E1p 2008/2009)

Realität 2008 / 2009

Übungen 2008 / 2009

a) Möglicher Plan oder Hypothese:  

Sprung zum Semester 2

S1 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
Wo 1
  • Einführung, Organisation, Anleitung zur Arbeit 
  • Vektoren, Skalare, Zahlen im Computer, MATLAB 
Siehe zum Vergleich auch  Inhaltsverzeichnis B.M.-Skript
Wo 2
  • MATLAB, Vektoren in der Ebene, im Raum, Rechenregeln für Vektoren, andere Darstellungen
 
Wo 3
  • Vektoren: Technik, MATLAB, Wertetabellen v. Fkt., Skalarprodukt, Anwendungen, Winkel u. Vektoren
 
Wo 4
  •  Orthogonalität, Projektionen v. Vektoren, Arbeit, Vektorprodukt und seine Anwendungen, Rechenregeln, Bemerkung, Drehmoment, Volumenmessung, Abstand Punkt-Gerade, Aufgaben
 
Wo 5
  • Aufgaben, Resultate, ev. Test
 
Wo 6
  • ev. Test
 
Wo 7
  • Lin. Gl'syst, Matrizen, Beispiele, spezielle Matrizen, gaussscher Algorithmus, Rückwärtseinsetzen-Algorithmus, Rechenaufwand 
 
Wo 8
  • Kriterien z. Lösbarkeit v. LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten, Rechnen m. Matrizen, Addition, Multiplikation Matrix mit Skalar, Matrix-Multiplikation
 
Wo 9
  • Warum so komplizierte Mult.? LU-Faktorisierung, quadr. Matrizen u. Determinanten, Fall n = 2, n>2
 
Wo 10
  • Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf.? Rechenaufwand, Zusammenfsg. Theorie zu LGS in Flow-Chart, Aufgaben
 
Wo 11
  •  Aufgaben, Resultate, ev. Test
 
Wo 12
  •   ev. Test
 
Wo 13
  •  Komplexe Zahlen u. harmon. Schwing., harmon. Schwing. u. Überlagerungen, Federpendel, erzeug. in Elektrotechnik u. Mathem. harmon. Schwing., Überlagerung v. Schwingungen
 
Wo 14
  • Komplexe Zahlen, rechnen, geometrische Bedeutung Addition u. Multiplikation, Anwendungen, Ortskurven und komplexe Funktionen  
 
Wo15
  • Aufgaben, Resultate
 
Wo16
  • Aufgaben, Resultate, Test 
 
S2 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
Wo 1
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
 
Wo 2
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
 
Wo 3
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
 
Wo 5
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Matrizen, Determinanten, Gleichungssysteme
 
Wo 6
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Matrizen, Determinanten, Gleichungssysteme
 
Wo 7
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
 
Wo 8
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
 
Wo 9
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
 
Wo 10
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
 
Wo 11
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen, Geometrie
 
Wo 12
  • Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen, Eigenwertprobleme
 
Wo 13
  • Übungen
 
Wo 14
  • Test
 
Wo 15
  • Reserve
 
Wo 16
  • Reserve
 
     

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b) Realität 2008 / 2009:

 Sprung zum Semester 2

S1 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
 Wo 1        Beginn Unterricht: 
  • Einführung,  Vorstellung
  • Learningmanagement, Organisation, Rahmen, Kommunikation via Internet
    • 1. Koordinaten
    • 2. Stoff
    • 3. Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
    • 4. Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
    • 5. Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement ( Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
    • 6. Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.  Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der Repetition
    • 7. Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: 
    • ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
    • 8. Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
    • 9. Rechner, Computer, Mathematiksoftware
    • 10. Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
    • 11. Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur)
    • 12. Zeitplanung
    •  
  • Wozu Mathematik?  Link
  • Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik)
    • Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
      • Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". 
      • Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
      • Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist Zahl. 
      • Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre Kulturleistung
      • Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
    • Beispielhafte Beweise 
    • Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
    • Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
    • Modell und Wirklichkeit: Modell in der Sprache der Mathematik - Realität 
      • ==> Naturwissenschaft - Mathematik
      • Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom Baum - Galilei, Newton
      • "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die Idee der Gleichbewegung der Atome
      • Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter - u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden - mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360 Grad contra rad. Wieso 360?
    • Diverses
    • Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
  • Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
  • Praktische Einführung in MATLAB
 Downloads, Studium, Literatur, Übungen
 Wo 2
  • Skalare,
  • Vektoren
    • Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge, Betrag, Norm in Koordinatensystem
    • Addition
    • Multiplikation
    • Gesetze
    • Allgemeiner Vektorbegriff
    • Selbststudium: Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig, Linearkombination
    • Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren)
    • Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
  • Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem Programm siehe Übungen)
  • Download Skripte MATLAB nach mündlicher Anleitung im Labor
 Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen
 Wo 3
  • Vektoren
    • Gesetze
    • Allgemeiner Vektorbegriff, Gesetze
    • Linearkombinationen
    • Bemerkungen zu weiteren mathematischen Problemen
    • Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig
    • Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren)
    • Selbststudium: Eigenschaften einer Basis
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 4
  • Weiter mit Vektoren
    • Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren)
    • Eigenschaften einer Basis
    • Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen, Spaltenvektoren, Transponierte
    • Gleichheit von Vektoren
    • Einheitsvektoren
    • In Polarkoordinaten
    • Rechengesetze in Koordinatensystemen
    • Basiswechsel, Länge
    • Beispiele
  • Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt
    • Motivation: Arbeit
    • Sätze der Geometrie
    • Definition
    • Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen
    • .....
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 5
  • Skalarprodukt
    • Motivation: Arbeit
    • Sätze der Geometrie
    • Definition
    • Gesetze, Regeln, Anwendungen
    • Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz, Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
    • Anwendungen auf lineare Gebilde
  • Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
    • Parametergleichungen
    • Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden)
    • Umwandlungen ineinander
    • Koordinatengleichung und Normalenvektor
    • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
    • Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren)
    • Hess'sche Normalform
    • Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
  • Selbststudium:
    • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
    • Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren)
    • Hess'sche Normalform
    • Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
 Wo 6
  • Weiter mit Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden
    • Repetition Geradengleichungen und Eigenschaften
    • Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
    • Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren)
    • Hess'sche Normalform
    • Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
  • Flächenprodukt
    • Motivation, Definition
    • Regeln
    • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
  • Vektorprodukt 
    • Rep. Flächenprodukt
    • Motivation, Definition
    • Regeln
    • Anwendungen, z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren
  • Selbststudium:
    • Spatprodukt
      • Motivation, Definition
      • Eigenschaften, Regeln, Sarrus
      • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
      • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)  
      • Beispiele, Übungen
    • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
    • Kreis- und Kugelgleichungen
    • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
    • Beispiele, Übungen
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 7
  • Spatprodukt
    • Motivation, Definition, Berechnung
    • Eigenschaften, Regeln, Sarrus
    • Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
    • Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...)  
    • Beispiele, Übungen
  • Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte  
  • Uebungen
  • Anwendungen: Abstand eines Punktes on einer Geraden oder Ebenen, Hess'sche Normalform
  • Kreis- und Kugelgleichungen  
  • Selbststudium:
    • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene  
    • Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
    • Gleichungen des Zylinders und des Kegels
    • Beispiele dazu, Übungen
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 8
  • Repetition Kreis- und Kugelgleichungen  
  • Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene  
  • Angaben zum Selbststudium:
    • Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel
    • Gleichungen des Zylinders und des Kegels
  • Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme
  • Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts
  • Homogene und inhomogene Gleichung
  • Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
  • System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der Einzelgleichungen
  • Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
  • Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 9
  • Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
  • Matrizen, Matrixschreibweise
  • Gauss-Jordan-Algorithmus 
  • Beispiele
  • Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
  • Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
    • Keine Lösung
    • Genau eine Lösung
    • Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
    • Rang (Rang der Matrix)
  • Selbststudium: Testvorbereitung 
  • Selbststudium: Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 10
  • Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
    • Testvorbereitung, Fragestunde
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 11
  • Test  (gemachter Test)
  • Bemerkungen zum Test
  • Bemerkung zum Rückwärtseinsetzverfahren
  • Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix
  • Spezielle Matrizen: 
    • Nullmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix
  • Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln 
  • Beginn: Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten
  • Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf)      (txt)    
 Wo 12
  • Test retour
  • Determinantenberechnung
    • Bedeutung der Determinante und Regeln
    • Entwicklungssatz
    • Anwendung Entwicklungssatz:
      • Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
    • Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden, analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst.
      • Beispiele
    • Determinante einer Dreiecksmatrix = Produkt der Diagonalelemente
      • Beispiel
    • Determinantenberechnung durch Transformation auf Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
      • Beispiel
    • Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
      • Beispiel
  • Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
  • Matrixmultiplikation und Gleichungssysteme, Produktmatrix
  • Selbststudium: 
    • (A.B).C=A.(B.C)
    • Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen)
    • Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der Inversen
    • Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 13
  • Beispiele zur Matrixmultiplikation
  • Gesetze zur Matrixmultiplikation
    • Assoziativität: (A.B).C=A.(B.C) (beweisbar mit Abbildungen)
    • Einheitselement E(n)
    • Nullelement N(m,n)
    • Kommutativität gilt nicht allgemein: Gegenbeispiele
    • Existenez und Berechnung der Inversen Matrix: 
      • Lösen von n Gleichungssystemen simultan (Gauss-Jordan)
      • Lösung nach Cramer möglich, wenn Det(A) im Nenner nicht null
    • Bilder der Orthonormalbasis: Spaltenvektoren der Matrix
  • Determinantenmultiplikationssatz
    • Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung
    • Berechnung der Determinanten der Inversen
  • Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von Gleichungen und der Berechnung der Inversen
  • Übungen, Aufgaben im Labor
  • Selbststudium: 
    • Addition von Schwingungen
    • Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren 
    • Grund der Verwendung solcher Zahlen 
    • Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
 Wo 14
  • Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene
  • Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische Addition von komplexen Zahlen 
  • Grund der Verwendung solcher Zahlen 
  • Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
  • Beispiele
  • Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von komplexen Zahlen
    • Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen
    • Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation, Schreibeweisen von i
    • Gesetze der Multiplikation
  • Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
  • Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument und Betrag einer Zahl
  • Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
  • Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und Konsequenzen
  • Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
  • Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==> Achteck)
  • Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
  • Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
  • Lage der Inversen
  • Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
  • Distributivgesetz
  • Wurzelziehen in C
  • n-te Einheitswurzeln
  • n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen 
  • Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
  • Beispiele
  • Selbststudium:  
    • Addition von Schwingungen
    • Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
    • Harmonische Schwingen und Überlagerungen, 
    • Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik 
    • Überlagerung von Schwingungen
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 15
  • Wurzelziehen in C
  • n-te Einheitswurzeln
  • n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen 
  • Beispiele
  • Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
  • Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
  • Formeln von Moivre und Darstellungen wie  (cos(w))n (Fourier)
  • Hauptsatz der Algebra
  • Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
  • Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
  • Selbststudium:  
    • Addition von Schwingungen
    • Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
    • Harmonische Schwingen und Überlagerungen, 
    • Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik 
    • Überlagerung von Schwingungen
    • Partialbruchzerlegung 
      • Das Problem 
      • Ausdividieren 
      • Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
      • Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren 
      • Beispiele und Anwendungen
    • Ausblicke
    • Beispiele
 
 Wo 16
  • Weiter mit Partialbruchzerlegung 
    • Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren 
    • Beispiele und Anwendungen
  • Addition von Schwingungen
  • Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen
  • Harmonische Schwingen und Überlagerungen
  • Selbststudium: Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik 
  • Überlagerung von Schwingungen
  • Ausblicke
  • Beispiele
 
S2 Woche  Stoffinhalt (grob)  Bemerk.
 Wo 1
  • Repetitionen:
  • Beispiele zu
    • Semestereinführung, Repetition
    • Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
    • Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen 
    • Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt 
    • Parametergleichung und Abstandsberechnungen 
    • Orthogonalzerlegung und Fußpunkt  
  • Beispiele (Kurzrepetition) zu
    • Flächeninhalt und Vektorprodukt
    • Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor
    • Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!)
    • Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!)
    • Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt
    • Volumen mit Spatprodukt
    • Beispiele
  • Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? 
  • Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung".
  • Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
 Selbststudium:
  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
 Wo 2
  • Repetitionen:
    • Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
    • Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
    • Die Kegelschnitte
    • Kegelgleichung
    • Zylindergleichung
    • Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck
    • Die Winkel am Apolloniuskreis
 Selbststudium:
  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
 Wo 3
  • Repetitionen (Selbststudium):
    • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
    • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
    • Beispiele
    • Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor 
  • Stoff Repetition: 
    • Matrizen
    • Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei Abbildungen
    • Eigenschaften
    • Bedeutung der Spaltenvektoren bei der Abbildung
    • Abbildungseigenschaften einer Matrix
  • Stoff neu: 
    • Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren
    • Beispiele
    • Beispiel von Matrizen ohne reelle Eigenwerte
    • Eigenvektoren als Basis
    • Charakteristisches Polynom
    • Berechnungen
  • Demnächst behandelter Stoff:
    • Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung
    • Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung
    • Die Triviallösung 0
    • Das Problem bei nicht regulägen Matrizen
    • Beispiel, Berechnungen
    • Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört.
    • Beispiel
 Selbststudium
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Beispiele
  • Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor 
 Wo 4
  • Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren
  • Charakteristisches Polynom
  • Berechnungen, Beispiele
  • Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch
  • Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen...
 Nochmals Selbststudium:
  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
 Wo 5
  • Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren
  • Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix)
  • Matrixkomposition
  • Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren
  • Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren
  • Beispiel mit Eigenwert 0
  • Diverse Beispiele, Übungen
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 6
  • Repetition Eigenwerte, Eigenvektoren, Matrixkomposition
  • Anwendungen zur Eigenwerttheorie: Diverse Beispiele, Übungen
  • Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade
  • Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation
  • Beispiele
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 7
  • Repetition einfache Abstandsberechnung: 
    • Abstand eines Punktes zu einer Gerade im Raum mit Hilfe der Normalenebene zur Geraden durch den Punkt.
    • Abstand eines Punktes zu einer Ebenen im Raum mit Hilfe der Normalengeraden zur Ebene (aus der Koordinatengleichung) durch den Punkt.
  • Herleitung der Matrixdekomposition (Diagonalisierung) im Falle von verschiedenen Eigenwerten ungleich 0.
  • Das Produkt der Eigenwerte als Determinante der Matrix.
  • Beispiele
  • Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 8
  • Spezialanlass
 Selbststudium: Prüfungsvorbereitung
 Wo 9
  • Test
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 10
  • Besprechung Test
  • Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren:
    • Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null
    • Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix 
    • Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren).
    • Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren.
    • Beispiele
 Testverbesserung 

 Selbststudium: Siehe Übungen

 Wo 11
  • Ähnliche Matrizen
  • Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom
  • Beispiele, Matrixkomposition
  • Ausarbeitung: Zusammenhang Gaussalgorithmus - Rangsatz
  • Was ist Rang, Ordnung, Dimension...
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 12
  • Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme
  • Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image
  • Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume
  • Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen
  • Ordnung = Rang + Dimension  und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image)
  • Berechnung des Rangs einer Matrix
  • Zeilenrang = Spaltenrang
  • Beispiele
 Selbststudium: Siehe Übungen

 Stichworte zur Testvorbereitung:

  • Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine Annäherung?
  • Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten Gleichungssystem?
  • Drehung um eine Achse im Raum, Matrix?
  • Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und Eigenvektoren
  • Begriffe der linearen Algebra
 Wo 13
  • Test
 Selbststudium und Arbeit: 
  • Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
  • Siehe Übungen
 Wo 14
  • Besprechung Test
  • Weitere Übungen (weitere Qualifikation):
    • Vorträge zu Rädergelenkgestängen, Programmierung und Resultate
    • Bisherige Arbeiten zu Rädergelenkgestängen siehe Link
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 15
  • Spezialanlass: Pfingstmontag
  • Selbststudium: Präsentationsvorbereitung, Abgabe der Unterlagen (Programme)
 Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 16
  • Ausstehende Präsentationen
  • Abschluss:
 Selbststudium: Siehe Übungen
   

 

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c) Übungsliste (2008/2009)

Sprung zum Semester 2

Blöcke  Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)  Bemerk.
 Wo 1  Vorgesehen:  
  • Selbststudium siehe links 
 Wo 2
  • Selbststudium siehe links 
 Wo 3
  • Selbststudium siehe links 
 Wo 4
  • Selbststudium siehe links
 Wo 5
  • Selbststudium siehe links
 Wo 6
  • Selbststudium siehe links
 Wo 7
  • Selbststudium siehe links
 Wo 8
  • Selbststudium siehe links
 Wo 9
  • Selbststudium: Matrizenrechnung: 
    • Matrizentypen
    • Zeilenrang und Spaltenrang
    • Ordnung, Dimension, 
    • Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
    • Beispiele
    • Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
    • Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
    • Regeln zur Transponierten
    • Matrixaddition
    • Beispiele
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar
    • Beispiele
    • Matrixprodukt
    • Regeln zum Matrixprodukt
    • Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
    • Gleichungssysteme und Matrixaddition
    • Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen 
  • Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs
  • Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf 
  • Übungen (alter Test) 
  • Selbststudium siehe links
 Wo 10
  • Selbststudium siehe links
 Wo 11
 Wo 12
  • Selbststudium siehe links
 Wo 13  
 Wo 14
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 15
  • Selbststudium: Siehe links
 Wo 16
  • Selbststudium: Siehe links
Blöcke  Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)  Bemerk.
 Wo 1  Selbststudium siehe unter Stoff
 Wo 2  Selbststudium siehe unter Stoff
 Wo 3  
 Wo 4  Nochmals Selbststudium:
  • Tangente, Tangentialebene
  • Pol, Polare
  • Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
  • Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
  • Kegelgleichung
  • Zylindergleichung
 Wo 5  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 6  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 7  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 8  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 9  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 10  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 11  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 12  Selbststudium: Siehe Übungen

 Testvorbereitung siehe links

 Wo 13  Selbststudium und Arbeit: 
  • Aufgabe 5 zum Test wie besprochen
  • Siehe Übungen
 Wo 14  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 15  Selbststudium: Siehe Übungen
 Wo 16  Selbststudium: Siehe Übungen
   

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Klassenliste (M1p 2009/2010)                  Ersetze   _ bei _ _ durch den Affenschwanz    ===>   Liste für Hausmail .txt

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HTI I Maschinentechnik /  Gruppe M09 (Teilzeit) /  2009 HS /  Total ...Studierende /  Stand: ....2009 /  * Klassenchef

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