Lösungen

1

Remove["Global´*"]

EVNorm[Matrix_]:=Transpose[Table[N[Transpose[Matrix][[k]]/Norm[Transpose[Matrix][[k]]]],{k,1,Length[Transpose[Matrix]]}]]

X={{1,2,1},{1,2,2},{1,1,3}};
Dl={{1,0,0},{0,-1,0},{0,0,-1}};
M=X.Dl.Inverse[X];
MatrixForm[M]

v1={4,-3,5}; v2={-3,4,5};

a

Eigenvalues[M]

b Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[M]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[M]//Transpose]//MatrixForm

c

Inverse[M]//MatrixForm

M==Inverse[M]

Eigenvalues[Inverse[M]]

d Eigenvektoren zu doppelten Eigenwerten nicht eindeutig

Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Inverse[M]]//Transpose]//MatrixForm

e

Eigenvalues[Transpose[M]]

f

Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose//MatrixForm

EVNorm[Eigenvectors[Transpose[M]]//Transpose]//MatrixForm

g

w=Cross[v1,v2]

InhPar=Norm[Cross[v1,v2]]

N[%]

h

InhMPar=Norm[Cross[M.v1,M.v2]]

N[%]

InhMPar/InhPar

N[%]

Det[M]

Kein direkter Einfluss sichtbar.

2

a

X={v1,v2,w}//Transpose; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0},{0,-2,0},{0,0,3}};  Dλ//MatrixForm

A=X.Dλ.Inverse[X];  A//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

357 A//MatrixForm

b

OQStrich=A.(2v1-3v2)

c

OQStrichStrich=A.OQStrich

3

Remove["Global`*"]

a

a={1,-1,2}; b={-2,1,4}; w=Cross[a,b]

X=Transpose[{a,b,w}]; X//MatrixForm

Dλ={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,-1}}; Dλ//MatrixForm

B=X.Dλ.Inverse[X];  B//MatrixForm

N[%]//MatrixForm

101  B//MatrixForm

b

B.{5,4,2}

N[%]

c

Dλ^100

Bhoch100=X.(Dλ^100).Inverse[X]; Bhoch100//MatrixForm

Bhoch100==IdentityMatrix[3]

4

Remove["Global`*"]

((((U^(-1)) W))^(-1))  ((U^(-1)) W)  X  (W^T) - E = ((((((((((U^(-1))))^T)  (W^T)))^(-1))))^T)   ==> ((((U^(-1)) W))^(-1))  ((U^(-1)) W) = E  oder
==>     (W^(-1)) U   (U^(-1)) W  X  (W^T) - E = (((((((((W  (U^(-1))))^T)))^(-1))))^T)   = (((((((((W  (U^(-1))))^T)))^T)))^(-1))  = (((W  (U^(-1))))^(-1)) = U  (W^(-1))
==>                             X  (W^T) = U  (W^(-1)) + E
==>                             X       = U  (W^(-1)) ((((W^T)))^(-1)) +((((W^T)))^(-1)) = U   ((((W^T) W))^(-1)) +((((W^T)))^(-1))

5

Remove["Global`*"]

a

OP1={5,0,1};  OP2={4,1,-1};  OP3={7/2,2,10};  
OP4={2,6,1};  OP5={-1,5,8};  OP6={-2,12,0};

G1={OP1,OP2,OP3}//Transpose;
G2={OP4,OP5,OP6}//Transpose;
Det[G1]

Det[G2]

G.G1==G2

G=G2.Inverse[G1];  G//MatrixForm

129 G//MatrixForm

G//N//MatrixForm

b

Dreh[ϕ_]:={{1,0,0},{0,Cos[ϕ],-Sin[ϕ]},{0,Sin[ϕ],Cos[ϕ]}}; Dreh[ϕ]//MatrixForm

Dreh[12 Degree]//N//MatrixForm

c

OP7=Dreh[12 Degree].OP1

Dreh[12 Degree].OP1//N

d

G.OP7//MatrixForm

G.OP7//N//MatrixForm