S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Wie letztes Jahr (mit Updates):
- Montag: Einführungstag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Mittwoch: Lerntechniktag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Freitag: Beginn Unterricht:
- Einführung, Vorstellung
- Learningmanagement, Organisation, Rahmen,
Kommunikation via Internet
- 1. Koordinaten
- 2.
Stoff
- 3.
Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team
- 4.
Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement
- 5.
Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement (
Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...)
- 6. Lernen =
erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden. Faktor = 0
==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der
Repetition
- 7.
Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule:
- ==>Studieren:
Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung
- 8.
Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen,
Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...)
- 9.
Rechner, Computer, Mathematiksoftware
- 10.
Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement,
Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale
Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und
Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher,
Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden)
- 11.
Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware,
Literatur)
- 12.
Zeitplanung
-
- Wozu Mathematik? Link
- Einführung: Was ist Mathematik? (Über das
Wesen der Mathematik)
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.
- Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine
Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen
Realitäten".
- Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels?
- Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von
allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist
Zahl.
- Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre
Kulturleistung
- Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente)
- Beispielhafte Beweise
- Wieso beweisen? (Zahlen,
geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".)
- Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im
Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w.
- Modell und Wirklichkeit: Modell in
der Sprache der Mathematik - Realität
- ==> Naturwissenschaft
- Mathematik
- Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom
Baum - Galilei, Newton
- "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die
Idee der Gleichbewegung der Atome
- Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter -
u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden -
mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360
Grad contra rad. Wieso 360?
- Diverses
- Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist
ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole
polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von
Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute)
- Selbststudium: Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt
-
- Basics:
Achtung: Den angekündigten Kurztest beachten!
Link: Hier klicken
|
- Selbststudium siehe Übungen
|
Wo 2 |
- Kurzes Eingehen auf
- Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt (Schreibweise...)
- Zahlenaufbau: P, N, N0, Z, Q, R, C,
Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung
nicht gelöst werden kann...)
- Unendlichkeit von P
- Wurzel aus 2 irrational (Beweis) - (transzendente) Zahlen e, Pi,
Dezimalbruchentwicklung, Kettenbruchdarstellung
- Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2
- Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten
- Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e
- Logarithmengesetze
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien Selbststudium:
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und
Lösungsstrategien Selbststudium:
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Bemerkungen zu Gleichungen höheren Grades und anderen
Problemen
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
- Typen von Gleichheitszeichen und Gleichungen: Bijektion, Aussage,
Funktionsgleichung, Wertzuweisung, Bestimmungsgleichungen,...
- Weitere Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien
- Mit einer oder mehreren Unbekannten (linear: geometrisch einfache
Gebilde wie Punkte Geraden, Ebenen,...)
- Linear: Systeme
- Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene Systeme.
- Homogenes System: Immer Nulllösung
- Lösungsmenge geometrisch interpretierbar, gemeinsame Lösungen
von Gleichungen: Schnittmenge
- Anzahl Lösungen, Möglichkeiten: Widerspruch (keine Lösung),
exakt eine Lösung, unendlich viele Lösungen (geometrisches
Gebilde, lineare Mannigfaltigkeit).
- Methoden:
- Matrixmethode
- Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch:
Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform)
- Gleichsetzungsmethode
- Einsetzungsmethode (Austauschverfahren)
- Vieta
- Beispiel Gauss-Jordan, Beispiel
- Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel ==> Selbststudium
- Funktionen
- Begriff, Problem (keine Pfeile auseinander)
- Df ,Wf , Intervalle
- Graphen
- Implizite Funktion
- Beispiele
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.) ==> Selbststudium
|
- Selbststudium Kegelschnitte
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Wo 4 |
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)
- Test
- Fortsetzung Funktionen:
- Gerade, ungerade, Funktionen
- Zahlenfolgen
- Nullfolge 1/n, Konvergenz, Limes (Grenzwert), Beispiele
- Stetigkeit
- Grenzwerte einer Funktion in x0
- Beispiele
- Stetigkeit in einem Punkt, in einem Intervall...
- Stetige Fortsetzung, Beispiele
- ==> Selbststudium:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 5 |
- Fortsetzung Funktionen:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
- Gleichheit von Polynomen
- Ganz und gebrochene rationale Funktion (Polynom durch Polynom)
- Graphen
- Verhalten weit außen, Grenzwerte, Pole, Asymptoten
- Exponentialfunktion und Inverse: Logarithmusfunktion
- Nochmals Umkehrfunktionen
- Hyperbolische Funktionen und Inverse: Areafunktion
- Darstellung mit Ln
- Eigenschaften dieser Funktionen
- Übungen und Studium der Beispiele
- Selbststudium: Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 6 |
- Rep. Grenzwert
- Das Problem der Umkehrfunktion, Existenz
- Secans und Cosecans
- Umkehrfunktionen ZU Potenzfkt., zu Exp'fkt., arcsin, arccos,
arctan, arccot u.s.w.
- sinh, cosh, tanh, coth, Gesetze, Areafunktionen
- Differentialrechnung: (Skript
downloaden, Passwort!)
- Idee und Herkunft
- Tangentenproblem
- Geschwindigkeit, Beschleunigung
- Ableitung, Differenzierbarkeit
- Differenzenquotient, Differentialquotient
- Ableitung der konstanten, linearen und quadratischen Funktion
- Summenregel
- Konstante mal Funktion
- Ableitung von xn
- Polynome ableiten
- Beispiele
- Produktregel
- Anwendung auf Potenzen
- f(x)/g(x) ableiten,
- Quotientenregel,
- Beispiele
- Ableitung von ln und sin
- Selbststudium:
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x-(-n)
- Ableitungen von loga(b xc)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
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Wo 7 |
- Differentialrechnung:
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Ableitung der Inversen
- Beispiele, Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x-(-n)
- Anwendungen: Ableitung der Funktion ex, von
Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem
und dann reellem Exponenten.
- Beispiele, speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Regel von Bernoulli
- Ableitung von xx
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Selbststudium:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Differentialrechnung:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Extremalaufgaben
- Übungen
- Lineare Approximation
- Übungen
- Differentiale
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
- Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren
(Intervallschachtelungen), Newton-Methode, Regula
Falsi, Fixpunktverfahren
- Selbststudium: Siehe hbg-bremen
(pdf) oder wikipedia,
Fixpunktiteration (html) sowie
matheboard.de (html)
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 9 |
- Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen,
Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
|
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 10 |
- Substitutionsregel als Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung
- Beispiele
- Fragen zur Prüfung
- Test über Differentialrechnung
- Integration von f ' / f
- Beispiele
- Partialbruchzerlegung
- Beispiele, Übung
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 11 |
- Anwendungen der Integration:
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele, Übungen
- Schwerpunkte von Flächen
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der
kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,..
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter
|
Wo 12 |
- Numerische Methoden:
- Rechtecksmethode,
- Trapezmethode
- Simpson
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
- Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen
- Beispiele von Differentialgleichungen
- Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle
Differentialgleichungen
- Ordnung einer Differentialgleichung
- Implizite contra explizite Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Beispiele: Schwingungsgleichung, Knickungsgleichung,
Wachstumsgleichung
- Lösen durch erraten einer Lösung
- Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem
für eine Lösung
- Graphische Methode: Linienelement und Richtungsfeld, Lösungen
graphisch beschreiben
- Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen
- Für 1. Ordnung
- Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer
Ordnung
- Beispiele für Lösungsmethoden
- Selbststudium
nach Skript:
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 13 |
- Weiter mit Differentialgleichungen
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode, Runge-Kutta
- Differentialgleichungen 2. Ordnung, Schwingungen
- Selbststudium: Anwendungen Differentialgleichungen:
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Beispiele
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen
- Erzeugung von 3D-Graphiken
- Zoo der Funktionen, Beispiele
- Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS
(ParametricPlot3D)
- Höhenkurven (ContourPlots)
- Richtungsableitung
- Selbststudium Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 14 |
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Nochmals Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis, Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen?
- "Approximationstheorie"
- Nochmals Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis, Klothoide, Fresnel-Integrale:
- Wie berechnen?
- Taylorpolynome
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien
- Potenzreihen
- Taylorpolynome:
- Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem
Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen
übereinstimmen ==> Taylorpolynome
- Approximation durch Taylorpolynome
- Beispiele on-line (Computeralgebra)
- Funktion = Potenzreihe + Restglied
- Die Problematik des Restglieds
- Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel
- Selbststudium: Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
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- Selbststudium: Siehe links
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Wo 15 |
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihen
- Beispiele
- Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen
- Integration und Differentiation von Potenzreihen
- Beispiele
- Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
- Berechnung der Richtung des Tangentenvektors
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- Selbststudium: Siehe bei den Übungen
unten
|
Wo 16 |
- Anwendung der Approximationsheorie auf das Lösen von
Differentialgleichungen
- Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten
- Differenzengleichungen
- Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen
- Praktische Durchführung einer Berechnung
- Beispiele
- Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Das Problem des Zufalls und der versteckten Parameter
- Einzelerscheinungen scheinbar zufällig --- kontra Gesetze in
Massenerscheinungen
- Historische Entwicklung
- Der Begriff der Gleichwahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
- Laplace-Experimente, Beispiele: Würfelspiele, Kartenspiele,
Lotto,...
- Experimente ohne theoretisch bekannte
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Statistische Approximation der
Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit bei "unendlich
vielen" Wiederholungen der Versuche)
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
- Exkurs: Polyeder
- Die platonischen Körper, archimedische Körper und
catalanische Körper, Johnsonkörper, Prismen u.s.w.
- Wieso es nur 5 platonische Körper gibt
- Gummigeometrie, Graphen
- Eulersche Polyederformel
- Selbststudium: Repetition Modellierung physikalischer-technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien,
die nach einem Funktionszusammenhang ändern
- Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang
- Energieprobleme mit Federn, Drehfedern
- Impulsprobleme
- Kraft als Ableitung des Impulses
- Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der
Abgeschlossenheit von Systemen
- Rakete
- Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens:
Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen.
Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w.
- Beispiele
- Literaturstudium und Literaturverständnis
- Beispiel Wasserüberfall
- Selbststudium: Kombinatorik
- Permutationen mit und ohne Wiederholung
- Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
- Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
-
|
Zum Galton-Brett u.s.w.:
|
S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Vektoren: Repetition und Ausbau
- Koordinatensysteme: Rechts, links
- Vektoren:
- Erfahrungszugang
- Genaue Definition geometrischer Vektoren
- Gleichheit von Vektoren
- Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit,
Ortsvektroen
- Standardbasis, ONS
- Parallelogrammaddition: Gesetze (Abgeschlossenheit,
Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element, Inverses)
- Streckungsprodukt
- Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels
Skalaren Vektorraum (Regeln)
- Komponentendarstellung
- Zerlegung nach vektoriellen Komponenten
- Zerlegung nach skalaren Komponenten
- Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von
Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren)
- Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor
- Differenz, Inverser
- Gleichheit von Vektoren
- Euklidsche Länge
- Linearkombination, Vektorketten
- Unterräume
- Definitionen
- Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./
Unabhängigkeit
- Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu
euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum)
- Lineare Hülle einer Vektormenge
- Erzeugendensystem
- Basis als minimales Erzeugendensystem
- Dimension
- Anwendungen:
- Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode
- Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors
in einer neuen Basis
- Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
- Euklidsche Länge
- Unterräume
- Parameterdarstellung der Geraden
- Parameterdarstellung der Ebene
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Schnittpunkt zweier Geraden im Raum
- Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel,
zusammenfallend
- Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Basiswechsel
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade,
Beispiele
- Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene
- Herleitung aus der Funktionsgleichung
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Koordinatengleichung der Ebene im Raum
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze
- Anwendungen
- Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Beispiele
- Selbststudium:
- Abstand einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung des Fußpunktes
-
Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung,
des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit
Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene
mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen
Punkt
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Besprechung
Selbststudium und weiter:
- Repetition
Skalarprodukt
- Gültigkeit
der Formel "Summe von Produkten"
- Skalarprodukt
und Normalenvektor auf Ebene / Hyperebene
- Abstand
einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele
Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung
des Fußpunktes
- Flächenprodukt
- Eigenschaften
des Flächenprodukts
- Beispiele
- Berechnung
des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem
Flächenprodukt
- Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle
der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des
Rechtssystems
- Beispiele:
Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung,
Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand
Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene
senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt:
Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen
in der Statik und Mechanik
- Innopreis
Burgdorf
|
- Ausblick (Selbststudium, wird nur kurz
repetiert):
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Wo 4 |
-
Spatprodukt
-
Definition
-
Regeln geometrisch
-
Beispiele
-
Berechnung (Determinante,
Sarrus)
-
Verallgemeinerung, Determinantengesetze
-
Sarrus gilt nicht für n > 2: Begründung
-
Abstandberechnung
-
Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen
-
Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen
-
Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar
mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung
später)
-
Anwendungen in der
Statik und Mechanik
- Kreis,
Kugel, Beispiele
- Kegel,
Beispiele
- Zylinder
|
Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 5 |
- Zylinder,
Beispiele
- Tangenten
an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
- Beispiele
- Selbststudium siehe rechts
- Testtermin
- Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen
- Beispiele
- Tangente an eine Kurve
- Tangentialebene an eine Fläche
- Beginn mit Matrizen
- Def. Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
-
Gleichheit
-
Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Matrizen und Gleichungssysteme
|
Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
|
Wo 6 |
- Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren
Determinante
- Matrixaddition und Gleichungssysteme
- Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf
Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix)
- Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix,
Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung)
-
Beispiele
- Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor
- Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung
des Urbildes
- Matrixmultiplikation: Lösung eines Gleichungssystem in einer
andern Gleichung als Inhomogenität...
- Berechnung des Matrixprodukts
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der
Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der
Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Selbststudium:
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Der Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
- Multiplikation einer Gleichung in einem System
- Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser
Gleichung mit einer andern
- Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
- Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links
eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
- Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==>
eindeutige Lösung
- Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n)
==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist
Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
- Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n)
==> Keine Lösung
- Selbststudium: Skript,
- Prüfungsvorbereitung:
Stoff seit dem letzten Test
<===
- Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
(Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes
beachten!)
|
- Selbststudium, Prüfungsvorbereitung,
Test: siehe links <===
|
Wo 8 |
- Repetition Gauss-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen
- Beispiel
- Anwendung des Algorithmus für die Berechnung von inversen
Matrizen
- Simultane Lösung von Gleichungssystemen
- Beispiele
- Was passiert, wenn es keine Inverse gibt?
- Determinanten: Idee des Volumeninhalts eines n-dimensionalen
Spates
- Gewinn: Beispiel der Regeln von Cramer für ein Gleichungssystem
mit n Unbekannten, Formeln
- Berechnungskonzept für die Determinanten:
- Volumenregeln von den Dimensionen 2 und 3 übertragen
- Regel mit Faktor ausklammern
- Regel mit Summe als Seitenvektors des Spats, Aufteilung in
Summanden
- Regel mit einem Einheitsvektor als Seitenvektor
- Volumen des Einheitsspat ist definiert als gleich 1
- Drehmatrix
- Prüfungsvorbereitung: Übungen, Probleme
|
- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
|
Wo 9 |
- Determinanten als Volumen, Rechenregeln für Volumina
- Determinanten: Entwicklungssatz
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiel
- Prüfungsvorbereitung: Übungen, Probleme
- Test
- Determinanten:
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiel
- Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen
- Determinante der Inversen und der Transponierten
- Determinante von gestreckten Matrizen
- Weitere Sätze und Betrachtungen
- Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen)
- Berechnung durch rekursive Entwicklung
- Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner,
Computeralgebra-Programm)
- Bandmatrizen, Algorithmen
|
- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
|
Wo 10 |
- Besprechung Test
- Repetition zum Gauss-Jordan-Verfahren
- Verallgemeinerung der Additionsmethode
- Elementarumformungen
- Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen
- Ziel Diagonalmatrix
-
Was passiert bei Rechtecksmatrizen
-
Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie
Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
-
Neu: Charakterisierung der Lösungen:
-
Homogenes und inhomogenes System
-
Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System
-
Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen)
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine
Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene
Lösung
-
Vektorraumstruktur der homogenen Losungen
-
Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare
Mannigfaltigkeit
-
Inhomogene und partikuläre Lösung
-
Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
-
Beispiele
Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen
Übersicht über die im Kurs vorgestellten
Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen
-
Verallgemeinerungen der klassischen Methoden
(einsetzen, gleichsetzen, Additionsmethode,
Determinantenmethode, Iterationen)
-
Matrixmethode zum Lösen von Gleichungssystemen
-
Cramersche Regeln (Determinantenmethode zum Lösen von Gleichungssystemen)
-
Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen
-
Beispiele
-
Übungen, Anwendungen
|
- Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
|
Wo 11 |
- Repetition:
- Jacobi
- Allgemeine Lösung eines Gleichungssystems = partikuläre
Losung des inhomogenen Systems + allgemeine Losung des homogenen
Systems
- Homogene Lösungen: Vektorraum
- Inhomogene Lösungen: lineare Mannigfaltigkeit
- Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
- Erklärung der Ordnung, des Rangs und der Dimension
-
Stoff:
-
Matrizen und lineare Abbildungen
-
Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren
der ONB
-
Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors
-
Definition Kern und Image
-
Df Vektorraum ==> auch Kern und Image
-
Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kernsenkrecht
-
Dim Df = Dim Kern + Dim Im
-
Beispiele
-
Abbildung mittels Matrix: Lineare Abbildung.
-
Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind
die Spaltenvektoren der Matrix.
- Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der
verwendeten Vektoren
- Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der
Kern Dimension null hat.
- Sonst ist das Bild ein Punkt
- Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension
null hat.
- Und so weiter.
- Beispiel:
- Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu
Verwendung obiger Erkenntnisse.
- Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene.
- Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer
Ebene.
- U.s.w.
- Weitere Abbildungsmatrizen:
- Drehungen in der Ebene
- Drehung um die z-Achse im Raum
- Drehung um die x-Achse im Raum
- Drehung um die y-Achse im Raum
|
Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
-
|
Wo 12 |
- Einführung in die Eigenwerttheorie:
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix
- Charaktereistisches Polynom
- Eigenvektoren als Basis
- Eigenvektoren und Streckung
- Das Problem der Nicht-Eindeutigkeit des Gleichungssystems für
die Eigenvektoren und der nicht-exakten Eigenwerte
- Beispiele
- Verschiedene Eigenwerte ==> Eigenvektoren linear unabhängig
- Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) M = A D A-1
- Anwendungen
- Probleme zum Test
|
Selbststudium: Testvorbereitung
Stichworte
- Integration
(von Hand)
- Taylorreihe
(mit Konvergenzradius)
- Richtungsableitung
- (Einfache) Differentialgleichungen
- Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Länge der Mantellinie)
|
Wo 13 |
- Test
- Spezialwoche (Auffahrt)
|
Selbststudium: Testnachbereitung
|
Wo 14 |
- Testrückgabe
- Themenzentrierte Gruppenarbeit mit Selbststudium und Vortrag: Link
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- Wahrscheinlichkeit Blatter, Käser
- u.s.w.
|
Selbststudium:
Link
|
Wo 15 |
- Spezialwoche mit Pfingstmontag
- Arbeit an den Kurzpräsentationen
- Ratschläge zur Modulprüfungsvorbereitung
|
Geführtes Selbststudium: Siehe links
|
Wo 16 |
- Kurzpräsentationen
- Ehemalige Prüfungen, Modulprüfungen, Vordiplome
- Hinweise zu den Modulprüfungen, Termine
- Abschluss
|
Selbststudium: Ehemalige
Prüfungen
|
Vorbereitung
Modulprüfung
|
|
|
S1 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Internatmaterial sichten, studieren
- ==> Skripte
holen, erst Basics und Trigonometrie ("Intern",
Passwort!), Literatur, Übungsserien
(Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w.
beschaffen
- Selbststudium:
! ! !
- Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungsschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonometrie 1. Lektion 4.
Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
- Übungscheine
|
- Download
"Daten zu Learningmanagement Mathematik"
-
- Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in
der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1
(WIR1 = Kürzel des Dozenten)
- Skirpte:
- Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht)
- Zusätzlich Algebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der
Skripte oben)
- Selbststudium siehe links
Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1.
Jahr Serie 01
|
Wo 2 |
- Selbststudium:
- Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4.
Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
(Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und
weitere Dinge.)
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Testvorbereitung
- Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6
|
- Selbststudium Kegelschnitte
|
Wo 4 |
|
- Selbststudium:
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
|
Wo 5 |
|
- Selbststudium Diagramme: Rationale und gebrochen rationale
Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
|
Wo 6 |
- Übungsserien: Serien 17,
18,
19
(soweit schon möglich)
- Selbststudium:
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x-(-n)
- Ableitungen von loga(b xc)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
- Übungen
-
Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
- Übungsserien: Serien 20,
21,
(soweit schon möglich, Auswahl treffen)
- Materialbesorgung: Integralrechnung (Skript
downloaden)
- Selbststudium:
- Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von loga(b xc)
etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 8 |
- Übungsserien: Serien 22,
23,
(Differentialrechnung, Auswahl treffen)
- Serien 24,
25
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
- Zur Integralrechnung gehören die Übungsserien 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30
|
Wo 9 |
|
|
Wo 10 |
|
- Gemachter
Test
- Selbststudium:
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 11 |
- Selbststudium:
- Beispiele zu Flächenmomenten
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter
- Übungsserien:
- Serien 29,
30
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
-
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 12 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Auswahl aus den Übungsserien:
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Selbststudium
nach Skript:
- Anwendungen Differentialgleichungen:
- Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Serie 31
- Serie 08,
09
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 14 |
- Selbststudium: Reihentheorie, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
- Auswahl aus den Übungsserien:
- 13,
14,
15,
16
17
so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung
|
- Selbststudium, siehe links: Nicht behandelter Stoff aus der
"Approximationstheorie" sowie Auswahl aus den
Übungsserien während der unterrichtsfreien Zeit bearbeiten.
|
Wo 15 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Weiter mit 13,
14,
15,
16
17
- 13
(Laplace-Wahrscheinlichkeit)
|
|
Wo 16 |
- Studium der Literatur
- Repetition für den nächsten Test:
- 24,
25,
26,
27,
(28)
29,
30,
18,
19,
20,
21,
22, 31,
08,
09,
13,
14,
15,
16
17,
13
|
Zum Galton-Brett u.s.w.:
|
S2 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
|
|
Wo 3 |
- Selbststudium:
Siehe oben
- Übungen
- Studium alter Test
|
|
Wo 4 |
- Selbststudium: Siehe rechts
- Übungen
|
- Selbststudium:
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach
Skript)
- Zylinder
- Kreistangenten,
Tangentialebenen
|
Wo 5 |
- Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt
- Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6:
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 6 |
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 7 |
|
- Selbststudium, Prüfungsvorbereitung,
Test: siehe links <===
|
Wo 8 |
- Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch
nicht gemachten Aufgaben
- Selbststudium: Siehe rechts
|
- Selbststudium: Prüfungsvorbereitung!
|
Wo 9 |
- Übungen: Serien I 32/33/34/35/36: Noch nicht
gemachte Aufgaben beenden.
- Selbststudium:
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
|
- Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten
Gleichungssystemen
|
Wo 11 |
|
Selbststudium:
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen
Funktion.
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
-
|
Wo 12 |
|
Selbststudium: Testvorbereitung
Stichworte
- Integration
(von Hand)
- Taylorreihe
(mit Konvergenzradius)
- Richtungsableitung
- (Einfache) Differentialgleichungen
- Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Länge der Mantellinie)
|
Wo 13 |
- Nochmals Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Nachbereitung Test
|
Selbststudium: Testnachbereitung
|
Wo 14 |
- Themenzentrierte Gruppenarbeit mit Selbststudium und Vortrag: Link
==> Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten: Siehe Skript
(Lineare Abbildungen)
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- u.s.w.
|
Selbststudium:
Link
|
Wo 15 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
- Detailplan:
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Organisation der Präsentationsreihenfolge durch die
Studierenden, je ca. 15 Minuten.
- Dazu Link
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten: Siehe Skript
(Lineare Abbildungen)
- Helmert-Transformation: Durret, Gerber, Furer
- Populationsmodell: v. Burg, Pally, Maul
- Spannungstensor: Blaser, Märki, Schwab
- Iterationen: Schnarf, Akaya, Nafzger, Rupf
- Wahrscheinlichkeit Blatter, Käser
- u.s.w.
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Wo 16 |
- Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Vorbereitung
Modulprüfung
|
|
|
S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Montag: Einführungstag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Mittwoch: Lerntechniktag (regulärer Unterricht fällt aus
==> Rückstand auf den bisherigen Plan)
- Freitag: Beginn unterricht:
- Vorstellung, Organisation Learning-Management, Mengen, Operationen, Zahlen
- Einführung: Vorstellung, Kommunikation via Internet,
Learningmanagement u.s.w.
- Basics:
Achtung: Den angekündigten Kurztest beachten! :
Link: Hier klicken
- Mengen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen,
Schreibweise, leere
Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt
- Übungen siehe unten
|
- Selbststudium siehe Übungen
|
Wo 2 |
- Ergänzungen zur ersten Woche: Mengenprodukt (Schreibweise...)
- Zahlenaufbau: P, N, N0, Z, Q, R, C,
Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung
nicht gelöst werden kann...)
- Unendlichkeit von P
- Wurzel aus 2 irrational (Beweis) - (transzendente) Zahlen e,
pi,
Dezimalbruchentwicklung, Kettenbruchdarstellung
- Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2
- Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem
Koordinatensystem, R
- Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten
- Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e
- Logarithmengesetze
- Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien:
- Quadratisch: Lösungsformeln
- Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch)
- Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode.
Ausweg: Numerisch, Graphisch.....
- Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren.
- Betragsgleichungen:
- Betrag durch potenzieren eliminieren.
- Graphische Lösung
- Fallunterscheidungen
- Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie
Exponenten gleich
- Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles
unter den Logarithmus => Numerus vergleichen
- Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische
Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus....
|
- Selbststudium siehe Übungen
|
Wo 3 |
- Fortsetzung:
- Typen von Gleichheitszeichen und Gleichungen: Bijektion, Aussage,
Funktionsgleichung, Wertzuweisung, Bestimmungsgleichungen,...
- Weitere Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien
- Mit einer oder mehreren Unbekannten (linear: geometrisch einfache
Gebilde wie Punkte Geraden, Ebenen,...)
- Linear: Systeme
- Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene Systeme.
- Homogenes System: Immer Nulllösung
- Lösungsmenge geometrisch interpretierbar, gemeinsame Lösungen
von Gleichungen: Schnittmenge
- Anzahl Lösungen, Möglichkeiten: Widerspruch (keine Lösung),
exakt eine Lösung, unendlich viele Lösungen (geometrisches
Gebilde, lineare Mannigfaltigkeit).
- Methoden:
- Matrixmethode
- Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch:
Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform)
- Gleichsetzungsmethode
- Einsetzungsmethode (Austauschverfahren)
- Vieta
- Beispiel Gauss-Jordan, Beispiel
- Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel ==> Selbststudium
- Funktionen
- Begriff, Problem (keine Pfeile auseinander)
- Df ,Wf , Intervalle
- Graphen
- Implizite Funktion
- Beispiele
- Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend
lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol
(Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)
|
- Selbststudium Kegelschnitte
|
Wo 4 |
- Test
- Fortsetzung Funktionen:
- Gerade, ungerade, Funktionen
- Zahlenfolgen
- Nullfolge 1/n, Konvergenz, Limes (Grenzwert), Beispiele
- Stetigkeit
- Grenzwerte einer Funktion in x0
- Beispiele
- Stetigkeit in einem Punkt, in einem Intervall...
- Stetige Fortsetzung, Beispiele
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
- bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
|
Selbststudium
|
Wo 5 |
- Fortsetzung Funktionen
- Gleichheit von Polynomen
- Ganz und gebrochene rationale Funktion (Polynom durch Polynom)
- Graphen
- Verhalten weit außen, Grenzwerte, Pole, Asymptoten
- Exponentialfunktion und Inverse: Logarithmusfunktion
- Nochmals Umkehrfunktionen
- Hyperbolische Funktionen und Inverse: Areafunktion
- Darstellung mit Ln
- Eigenschaften dieser Funktionen
- Übungen und Studium der Beispiele
- Selbststudium: Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript
|
Selbststudium
|
Wo 6 |
- Rep. Grenzwert
- Differentialrechnung: (Skript
downloaden, Passwort!)
- Idee und Herkunft
- Tangentenproblem
- Geschwindigkeit, Beschleunigung
- Ableitung, Differenzierbarkeit
- Differenzenquotient, Differentialquotient
- Ableitung der konstanten, linearen und quadratischen Funktion
- Summenregel
- Konstante mal Funktion
- Produktregel
- Anwendung auf Potenzen
- Polynome ableiten
- 1/f(x) ableiten, Quotientenregel, Beispiele
- Übungen
- Quotientenregel
- Ableitung von ln, ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xn, x-(-n)
- Ableitungen von ln und loga(b xc)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Beispiele
|
|
Wo 7 |
- Differentialrechnung:
- Ableitung der Inversen
- Anwendungen: Ableitung der Funktion ex, von
Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem
und dann reellem Exponenten.
- Beispiele, speziell Ableitung von xx
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Regel von Bernoulli
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Weiter mit linearer Approximation,
- Selbststudium: Differentliale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos:
Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und
hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte,
Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
|
Selbststudium
|
Wo 8 |
- Differentialrechnung:
- Weiter mit linearer Approximation,
- Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos (Selbststudium!)
- Differentliale (Selbststudium!)
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren, Newton-Methode, Regula
Falsi, Fixpunktverfahren (Selbststudium, siehe hbg-bremen
(pdf) oder wikipedia,
Fixpunktiteration (html) sowie
matheboard.de (html) )
- Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen,
Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
|
Selbststudium
|
Wo 9 |
- Integralrechnung:
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
- Substitutionsregel als Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung
- Beispiele
- Integration von f ' / f
- Beispiele
- Partialbruchzerlegung
- Beispiele, Übung
|
Selbststudium:
|P| = |N| = |Z| = |Q| = |[0,1)| = |R| = |R2| = |Rn| < |P(R)| <
|P(P(R))| <….
und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter
|
Wo 10 |
- Spezialprogramm
- Selbststudium: Repetition bisheriger Stoff
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 11 |
- Anwendungen der Integration:
- Beispiele, Übung
- Volumen eines Rotationskörpers
- Länge einer Kurve (2D)
- Oberfläche eines Rotationskörpers
- Beispiele
- Schwerpunkt von Flächen
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der
kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
- Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
|
Selbststudium: Nicht behandelter zugehöriger Stoff
(Trägheitsmomente bei Polygonen, Satz von Steiner, Guldinsche
Regeln)
|
Wo 12 |
- Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen
- Beispiele von Differentialgleichungen
- Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle
Differentialgleichungen
- Ordnung einer Differentialgleichung
- Implizite contra explizite Differentialgleichung
- Lineare Differentialgleichung
- Beispiele: Schwingungsgleichung, Knickungsgleichung,
Wachstumsgleichung
- Lösen durch erraten einer Lösung
- Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem
für eine Lösung
- Graphische Methode: Linienelement und Richtungsfeld, Lösungen
graphisch beschreiben
- Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen
- Für 1. Ordnung
- Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer
Ordnung
- Beispiele für Lösungsmethoden
- Separable D'Gl
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Lineare D'Gl:
- Lösung der homogenen Gleichung
- Lösung der inhomogenen Gleichung
- Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen,
partikuläre Lösung
- Beispiele
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die
Biegelinie
- Selbststudium
nach Skript:
- Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 13 |
- Biegelinie (Herleitung der Differentialgleichung)
- Knickung (Herleitung der Differentialgleichung)
- Beispiele
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen
- Erzeugung von 3D-Graphiken
- Zoo der Funktionen, Beispiele
- Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS
(ParametricPlot3D)
- Höhenkurven (ContourPlots)
- Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele
|
Selbststudium:
- Nach Angaben von Wo 12
- Beispiele in nebenan genannten Skript
|
Wo 14 |
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
Gerade, Kreis, Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen?
- "Approximationstheorie" (Taylorreihen)
- Funktion = Potenzreihe + Restglied
- Die Problematik des Restglieds
- Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem
Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen
übereinstimmen ==> Taylorpolynome
- Approximation durch Taylorpolynome
- Beispiele on-line (Computeralgebra)
- Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel
- Potenzreihe von Sinus, Cosinus, ex
- Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Harmonische Reihe, Divergenz
- Alternierende Reihe und Konvergenz
- Leibnizreihe
- Geometrische Reihe
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Endliche und unendliche Reihe, Reihe
- Beispiele
|
|
Wo 15 |
- Approximationstheorie" (Taylorreihen)
- Majorantenkriterium
- Zusammenhang zu Potenzreihe
- Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
- Differentiation und Integration von Potenzreihen
- Beispiele
- Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
- Anwendung der Approximationsheorie auf das Lösen von
Differentialgleichungen
- Differenzengleichungen
- Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen
- Praktische Durchführung einer Berechnung
- Beispiele
- Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
- Das Problem des Zufalls und der versteckten Parameter
- Einzelerscheinungen scheinbar zufällig --- kontra Gesetze in
Massenerscheinungen
- Historische Entwicklung
- Der Begriff der Gleichwahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
- Laplace-Experimente, Beispiele: Würfelspiele, Kartenspiele,
Lotto,...
- Experimente ohne theoretisch bekannte
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Statistische Approximation der
Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit bei "unendlich
vielen" Wiederholungen der Versuche)
- Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei
Laplace-Experimenten
- Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers
- Denkwürdige Beispiele
|
http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett
http://www-computerlabor.math.
uni-kiel.de/stochastik/holst/galton.html
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/
eda/medio/galton/galton.htm
http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/
heiler/os/sim-board.html
http://www.dietrichgrude.de/stochastik/
galton/galton.htm
http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za204/
Javascript/galtonbrett/galtonbrett.htm
http://www.fernuni-hagen.de/newstatistics/
applets/Galtonbrett/Galtonbrett.htm
|
Wo 16 |
- Repetition Modellierung physikalischer-technischer Vorgänge in
der Sprache der Mathematik
- Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien,
die nach einem Funktionszusammenhang ändern
- Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang
- Energieprobleme mit Federn, Drehfedern
- Impulsprobleme
- Kraft als Ableitung des Impulses
- Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der
Abgeschlossenheit von Systemen
- Rakete
- Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens:
Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen.
Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w.
- Beispiele
- Literaturstudium und Literaturverständnis
- Beispiel Wasserüberfall
- Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
- Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche
Fälle
- Permutationen mit und ohne Wiederholung
- Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
- Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)
|
Selbststudium: Handout (Anwendungen)
|
S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
Wo 1 |
Vektoren: Repetition und Ausbau
- Koordinatensysteme: Rechts, links
- Vektoren:
- Erfahrungszugang
- Genaue Definition geometrischer Vektoren
- Gleichheit von Vektoren
- Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit,
Ortsvektroen
- Standardbasis, ONS
- Parallelogrammaddition
- Streckungsprodukt
- Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels
Skalaren Vektorraum (Regeln)
- Komponentendarstellung
- Zerlegung nach vektoriellen Komponenten
- Zerlegung nach skalaren Komponenten
- Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von
Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren)
- Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor
- Differenz, Inverser
- Gleichheit von Vektoren
- Euklidsche Länge
- Linearkombination, Vektorketten
- Unterräume
- Definitionen
- Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Kollinearität, Komplanarität und l.a./l.u.
- Erzeugendensystem
- Basis
- Dimension
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
- Euklidsche Länge
- Unterräume
- Parameterdarstellung der Geraden
- Parameterdarstellung der Ebene
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Schnittpunkt zweier Geraden im Raum
- Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel,
zusammenfallend
- Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend
- Kurze Einführung in die Flächenberechnung des
Parallelogramms via Determinante: A=0 <==>
Geraden parallel, Beispiele
- Beispiele
- Repetition, Testvorbereitung
|
|
Wo 3 |
- Repetition, Testvorbereitung
- Test
- Spezialanlass (Innopreis)
- Selbststudium:
- Basiswechsel
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade,
Beispiele
- Schnittgeraden-Berechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene
- Herleitung aus der Funktionsgleichung
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Koordinatengleichung der Ebene im Raum
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze
- Anwendungen
- Anwendungen Skalarprodukt
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Abstand einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung des Fußpunktes
-
Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung,
des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit
Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene
mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen
Punkt
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 4 |
- Ausblick (Selbststudium, wird nur kurz
repetiert):
- Basiswechsel
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade,
Beispiele
- Schnittgeraden-Berechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei
Punkte oder via Parameterelimination
- Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene
- Herleitung aus der Funktionsgleichung
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Koordinatengleichung der Ebene im Raum
- Herleitung aus der Parametergleichung
- Projizierende Ebenen, Hauptebenen
- Skalarprodukt
- Idee
- Definition
- Gesetze
- Anwendungen
-
Übungen
-
Anwendungen Skalarprodukt
- Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
- Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
- Normalenvektor und Koordinatengleichung
- Abstand einer Geraden oder Ebenen zum Ursprung
- Parallele Geraden oder Ebenen
- Orthogonalzerlegung
- Berechnung des Fußpunktes
-
Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung,
des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit
Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene
mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen
Punkt
- Selbststudium:
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Selbststudium:
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
|
Wo 5 |
-
Rep. Vektorprodukt
-
Repetition
-
Beispiele
-
Flächenprodukt
-
Bezug zum Vektorprodukt
-
Regeln
-
Spatprodukt
-
Regeln geometrisch
-
Beispiele
-
Bezug zu Sarrus
-
Verallgemeinerung, Determinantengesetze
-
Sarrus gilt nicht für n > 2: Begründung
-
Abstandberechnung
-
Cramersche Regeln
-
Kreis, Kugel, Kegel, Zylinder
-
Beispiele, Übungen
-
Def. Matrix, Gleichheit, Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Test retour
-
Matrizen und Gleichungssysteme
-
Selbststudium:
- Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
- Osterwoche
|
Selbststudium:
- Siehe links
- Übungen vgl. unten unter Übungen
|
Wo 6 |
-
Def. Matrix, Gleichheit, Transponierte, Zeilenmatrix,
Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
-
Matrizen und Gleichungssysteme
-
Rechenregeln: Addition, Subtraktion, Streckung
(Multiplikation mit Zahl), Beispiele
-
Matrixprodukt und Abbildungen
-
Berechnung des Matrixprodukts, Falk-Schema
-
Beispiele
-
Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Gesetze für plus und mal: bei Matrizen:
- Matrix und lineare Abbildung
- Assoziativität
- Kommutativität nur bei +
- Distributivgesetze
- Null- und Einselement
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
-
Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
|
Selbststudium:
- Beispiele zu Matrixmultiplikation und Inversenberechnung aus dem
Skript
- Determinantenberechnung
- Studium der Möglichkeiten bezüglich Determinanten und Matrizen
auf dem eigenen Taschenrechner!
Literaturstudium:
- Kapitel über Matrixmultiplikation und Determinantenberechnung in
einem Lehrbuch eigener Wahl studieren. Ein verschiedener Zugang
zeigt die Sache immer von einer anderen, ebenfalls wichtigen Seite.
Dadurch wird das Verständnis vertieft.
|
Wo 7 |
- Determinanten als Volumen, Rechenregeln für Volumina
- Determinanten
- Situation bei n=2 und n=3
- Entwicklungssatz
- Beispiele
- Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiel
- Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen
- Determinante der Inversen und der Transponierten
- Determinante von gestreckten Matrizen
- Weitere Sätze und Betrachtungen
- Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner,
Computeralgebra-Programm)
|
|
Wo 8 |
|
|
Wo 9 |
- Hinweis zur Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten
Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen)
- Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen: Durchführung, Beispiele
- Methode der kleinsten Quadrate bei
linearen Gleichungssystemen: Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP,
RWP): Durchführung, Beispiele
- Selbststudium:
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
|
Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
- Vektorkurven im R2 und im R3
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Spezialwoche
|
|
Wo 11 |
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
|
|
Wo 12 |
-
Matrizen und lineare Abbildungen
-
Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren
der ONB
-
Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors
-
Definition Kern und Image
-
Df Vektorraum ==> auch Kern und Image
-
Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kernsenkrecht
-
Dim Df = Dim Kern + Dim Im
-
Beispiele, Simulationen
|
|
Wo 13 |
|
|
Wo 14 |
- Repetition Drehmatrix im Raum, Konstruktion
- Repetition Eigenwerttheorie:
- Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix
- Charaktereistisches Polynom
- Eigenvektoren als Basis
- Beispiel: Eigenwerte einer Drehmatrix
- Diagonalisierung einer Matrix
- Anwendung: Beispiel einer Spiegelungsmatrix
- Beispiel: Populationsmodell (mit Simulation)
- Anwendungen: Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Spannungstensor
- Helmert-Transformation
- Iterationen
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Wo 15 |
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Spannungstensor
- Helmert-Transformation
- Iterationen
- Kurzpräsentationen
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Vordiplome (Link siehe unter Übungen)
- Detailplan: Plan_für_
den_Schluss (pdf)
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Wo 16 |
- Weiter Kurzpräsentationen (Themen der Woche 15)
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Vordiplome (Link siehe unter Übungen)
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Vorbereitung
Modulprüfung
|
|
|
S1 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
- Internatmaterial sichten, studieren
- Skripte
(Passwort!), Literatur, Übungsserien
(Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w.
beschaffen
- Selbststudium:
- Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4.
Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
|
- Download
"Daten zu Learningmanagement Mathematik"
-
- Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in
der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1
(WIR1 = Kürzel des Dozenten)
- Skirpte:
- Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht)
- Zusätzlich Angebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der
Skripte oben)
- Selbststudium siehe links
Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1.
Jahr Serie 01
|
Wo 2 |
- Selbststudium:
- Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2.
Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur
Repetition)
- Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst
alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!!
- Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4.
Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
(Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und
weitere Dinge.)
|
- Selbststudium siehe links
|
Wo 3 |
- Testvorbereitung
- Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6
|
- Selbststudium Kegelschnitte
|
Wo 4 |
|
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion
und Beispiele - bis p.12 ff
|
Wo 5 |
|
- Selbststudium Diagramme: Rationale und gebrochen rationale
Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische
Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische
Funktionen und Arcusfunktionen
|
Wo 6 |
- Übungsserien: Serien 17,
18,
19
(soweit schon möglich)
|
Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23
|
Wo 7 |
- Übungsserien: Serien 20,
21,
(soweit schon möglich, Auswahl treffen)
- Materialbesorgung: Integralrechnung Skript
downloaden
|
|
Wo 8 |
- Übungsserien: Serien 22,
23,
(Differentialrechnung, Auswahl treffen)
- Serien 24,
25
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
Zur Integralrechnung gehören die Übungsserien 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30
|
Wo 9 |
- Übungsserien:
- Serien 26,
27,
(28)
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
- Test
nachbereiten
|
|
Wo 10 |
|
|
Wo 11 |
- Übungsserien:
- Serien 29,
30
(Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
|
|
Wo 12 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Serien 18,
19,
20,
21,
22,
|
- Selbststudium nach Skript:
- Diverse fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
|
Wo 13 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Serie 31
- Serie 08,
09
|
|
Wo 14 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- 13,
14,
15,
16
17
so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung
|
- Selbststudium: Nicht behandelter Stoff aus der
"Approximationstheorie" sowie Auswahl aus den
Übungsserien während der unterrichtsfreien Zeit bearbeiten.
|
Wo 15 |
- Auswahl aus den Übungsserien:
- Weiter mit 13,
14,
15,
16
17
- 13
(Laplace-Wahrscheinlichkeit)
|
|
Wo 16 |
- Studium der abgegebenen Literatur (Handout)
- Repetition für Test:
- 24,
25,
26,
27,
(28)
29,
30,
18,
19,
20,
21,
22, 31,
08,
09,
13,
14,
15,
16
17,
13
|
|
S2 |
Übungen und Arbeiten |
Bemerk. |
Wo 1 |
|
Selbststudium:
- Geometrische Bildung der Differenz
- Euklidsche Länge (Definition)
- Unterräume
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6
|
Wo 2 |
|
|
Wo 3 |
- Selbststudium: Siehe oben
- Übungen
- Nachbereitung Test
|
Selbststudium: Siehe oben
|
Wo 4 |
- Selbststudium: Siehe rechts
- Übungen
- Was aus den Serien 011-051 (3 letzte Wochen) noch nicht
erledigt worden ist.
- Korrektur Test!!
|
Selbststudium:
- Spatprodukt: Definition und Berechnung
(Determinante, Sarrus) und Anwendungen
- Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik
|
Wo 5 |
- Selbststudium: Siehe rechts
- Übungen
- Korrektur Test!!
- Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt
- Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6:
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
|
Selbststudium:
- Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix,
symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere
Dreiecksmatrix
- Übungen vgl. links
|
Wo 6 |
- Übungen: Serien I 32/33, soweit weiter möglich
- Selbststudium: Siehe rechts.
- Literaturstudium: Siehe rechts.
|
Selbststudium:
- Beispiele zu Matrixmultiplikation und Inversenberechnung aus dem
Skript
- Determinantenberechnung
- Studium der Möglichkeiten bezüglich Determinanten und Matrizen
auf dem eigenen Taschenrechner!
Literaturstudium:
- Kapitel über Matrixmultiplikation und Determinantenberechnung in
einem Lehrbuch eigener Wahl studieren. Ein verschiedener Zugang
zeigt die Sache immer von einer anderen, ebenfalls wichtigen Seite.
Dadurch wird das Verständnis vertieft.
|
Wo 7 |
- Übungen: Serien I 32/33/34, soweit schon möglich
- Selbststudium: Siehe rechts.
- Literaturstudium: Siehe rechts.
|
|
Wo 8 |
- Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch
nicht gemachten Aufgaben
|
|
Wo 9 |
- Übungen: Serien I 32/33/34/35/36: Noch nicht
gemachte Aufgaben beenden.
- Selbststudium:
-
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder
exakteren Lösung.
-
Behandlung des Problems der Schleppkurve,
einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
|
- Selbststudium: Siehe links
|
Wo 10 |
|
|
Wo 11 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
|
|
Wo 12 |
|
|
Wo 13 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
|
|
Wo 14 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Selbststudium: Anwendungen, Gruppenarbeiten:
- Populationsmodell
- Spannungstensor
- Helmert-Transformation
- Iterationen
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Wo 15 |
- Übungen (soweit noch nicht beendet):
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten: Siehe Skript
(Lineare Abbildungen)
- Spannungstensor
- Helmert-Transformation
- Iterationen
- Vorbereitung der Kurzpräsentationen
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Detailplan: Plan_für_
den_Schluss (pdf)
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Wo 16 |
- Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Selbststudium in Gruppen, Gruppenarbeiten:
|
Vorbereitung
Modulprüfung
|
|
|
Total ... Studierende