B1a 10 Klassenseite 10/11

S1 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Montag Einführungstag Lerntechnik Freitag: Abteilungsausflug Lektionen beginnen erst in Woche 2	Selbststudium: Siehe Übungen Übungen
Wo 2	Einführung, Vorstellung... ~~Mittwoch Lerntechnik~~ Skripte: Download nach Angaben des Dozenten unter http://rowicus.ch/Wir/Scripts/MasterBau.html http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html#S4 (oder http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html#Bau ) Learningmanagement, Organisation, Rahmen, Kommunikation via Internet 1. Koordinaten 2. Stoff 3. Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team 4. Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement 5. Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement ( Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...) 6. Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * abrufen * anwenden. // Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der Repetition 7. Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung 8. Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...) 9. Rechner, Computer, Mathematiksoftware 10. Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden) 11. Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur) 12. Zeitplanung Wozu Mathematik? Link Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik) Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w. Was ist eine Zahl, eine Gerade, u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". Was ist ein Punkt, eine Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels? - Unterschied Mathematik (Zahlen) - Physik (Grössen) Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist Zahl. Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre Kulturleistung Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente) Beispielhafte Beweise Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".) Modell und Wirklichkeit: Modell in der Sprache der Mathematik - Realität Zusammenhang mathematisches Modell - physikalische Realität: Analogie und Kausalität ==> Naturwissenschaft - Mathematik Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter - u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden - mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360 Grad contra rad. Wieso 360? Nochmals: Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels? - Unterschied Mathematik (Zahlen) - Physik (Grössen): Analogie und Kausalität - Beobachtung und Logik Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom Baum - Galilei, Newton "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" Beweis? - Die Idee der Gleichbewegung der Atome - Beweise? Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".) Beispielhafte Beweise Beispielbeweise: Anzahl der Primzahlen u.s.w. Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w. Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole polytechnique in Paris, Mathematiker Monge, 1715, Todesjahr von Louis XIV, Entwicklung von Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute). Allen Ingenieuren gemeinsam ist die Mathematik. *Regulärer Stoff: Eventuell eingehen auf* Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen, Schreibweise, leere Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mächtigkeit, Mengenprodukt (Schreibweise...) Zahlenaufbau: P, N, N₀, Z, Q, (R, C), Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung nicht gelöst werden kann...) Unendlichkeit von P Wurzel aus 2 irrational (Beweis) Basics: Achtung Vorschlag: Den angekündigten Kurztest beachten! Link: Hier klicken Ankündigung Kurztest, Vorschlag: Basics, Trigonomterie letzte Lektion 4. Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.) *Selbststudium:* R und C Das Problem der Begriffsschärfe: \|P \|= \|N\|= \|N₀\|= \|Z\|= \|Q\| Wurzel aus 2 irrational (Beweis vorgeführt) - (transzendente) Zahlen e, Pi Dezimalbruchentwicklung, periodische und nicht periodische Dezimalbrüche Q: = Menge der periodischen Dezimalbrüche Kettenbruchdarstellungen, Beispiele (rationale Zahlen: abbrechend, goldener Schnitt, e, Pi, usw. Das Problem der Begriffsschärfe: Wieso \|R\| "mehr unendlich" ist als \|N\| Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2 Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e Logarithmengesetze Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem Koordinatensystem, R Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien Quadratisch: Lösungsformeln Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch) Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode. Ausweg: Numerisch, Graphisch..... Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren. Betragsgleichungen: Betrag durch potenzieren eliminieren. Graphische Lösung Fallunterscheidungen Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie Exponenten gleich Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles unter den Logarithmus => Numerus vergleichen Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus	Selbststudium: Siehe Übungen Übungen
Wo 3	Basics: Achtung Vorschlag: Den angekündigten Kurztest beachten! Link: Hier klicken Vorschlag: Basics, Trigonomterie letzte Lektion 4. Woche (keine Gegenvorschläge von der Klasse) ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.) Siehe alte Tests unter den Link (Wochen 4 oder 5, Lösungen daneben) R, C und weitere Zahlen Q ist dicht (d.h. es gibt keine leeren Intervalle in Q, doch in Q hat es Löcher (z.B. Wurzel aus 2) Wurzel aus 2 nicht rational ==> irrational (Beweis vorgeführt) Algebraisch irrationale und transzendente Zahlen (z.B. e, Pi) Dezimalbruchentwicklung (Zweideutigkeiten, z. B. 0.9999... = 1.000...) Periodische und nicht periodische Dezimalbrüche Q = Menge der periodischen Dezimalbrüche Kettenbruchdarstellungen, Beispiele (rationale Zahlen: abbrechend, goldener Schnitt, e, Pi, usw.) Es gibt irrationale Zahlen mit periodischen Kettenbrüchen (z.B. ganz schön ist die Zahl des goldenen Schnitts) Definition und Vergleich der Mächtigkeit von unendlichen Mengen: Durch Paarbildung Das Problem der Begriffsschärfe: \|P \|= \|N\|= \|N₀\|= \|Z\|= \|Q\| = unendlich Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem Koordinatensystem, R Das Problem der Begriffsschärfe: Wieso \|R\| "mehr unendlich" ist als \|N\| Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2 Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e Logarithmengesetze, speziell Basiswechsel Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien Quadratisch: Lösungsformeln Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch) Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode. Ausweg: Numerisch, graphisch..... Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren. Betragsgleichungen: Betrag durch potenzieren eliminieren. Graphische Lösung Fallunterscheidungen Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie Exponenten gleich Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles unter den Logarithmus => Numerus vergleichen Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus Testvorbereitung: Einige h Arbeit an der letzt-jährigen Prüfung. *Selbststudium:* Crashkurs Infinitesimalrechnung (Link)	Selbststudium Kegelschnitte Lösungsmethoden von Gleichungssystemen Test: Datum festgelegt: 20.10.2010, Vorbereitung: Selbststudium Übungen
Wo 4	Beginn Crashkurs Infinitesimalrechnung Link zu den Unterlagen (Skriptseite) Tangentensteigung und Geschwindigkeit - das Problem der Differentialrechnung Ableitungen, Beispiele Integralrechnung, Problem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Differentialgleichungen Beziehung zwischen 0 und unendlich, Grenzwerte Funktionen: Definition, Begriff Problem (keine Pfeile auseinander) D_f ,W_f , Problem mit dem Wertebereich bei sin(n), n aus N Disktete und nicht diskrete Funktionen Intervalle Beispiele Graphen Implizite Funktion Beispiele Diverse Eigenschaften von Funktionen (z.B. pos., neg., monoton wachsend, fallend, streng, und gewöhnlich, lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Pol,... *Selbststudium:* Prüfungsvorbereitug http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/MaterialAusZweiterHand/index_m.html#VK Nochmals Gleichungen, Typen Wurzelgleichungen Betragsgleichungen usw. Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie Exponenten gleich Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles unter den Logarithmus => Numerus vergleichen Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus Funktionen: Asymptote, Pol (Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 5	Weiter mit "diverse Eigenschaften von Funktionen" (fallend lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum...) Gerade und ungerade Funktionen Asymptoten, Geraden als Asymtoten Beispiele Pol (Bedeutung des Begriffs), Polstelle Testvorbereitung Ehemalige Testaufgaben, siehe auch unter http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau Besprechung Vorkurse siehe unter http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/MaterialAusZweiterHand/index_m.html#VK (==> Login, Passwort notwendig) Beantwortung von Fragen zu Problemen (2 Lektionen) Periodische Funktionen Gerade und ungerade Funktionen, Symmetrien Konstante, lineare, quadratische, kubische und Polynom-Funktionen, Graphen Maximale Anzahl Nullstellen der Polynomfunktionen (= n = Grad) Wieso der Sinus keine Polynomfunktion sein kann Rekursive Funktionen Speziell Fakultäten und Fibonacci-Folgen, Zusammenhang zum goldenen Schnitt und dessen Bedeutung sowie Zusammenhang zur Baugeschichte Test Korrekturdeckblatt *Selbststudium:* Testnachbereitung Diverse Eigenschaften von Funktionen (pos., neg., monoton wachsend, fallend lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol (Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.) Beispiele von Funktionen auf den Zahlen, rekursiv definierte Funktionen Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium) Eigenschaften Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Hauptsatz der Algebra Linearfaktoren Maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl im Komplexen Diagramme: Rationale und gebrochen rationale Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 6	Testrückgabe, dazu Verbesserung, siehe: Korrekturdeckblatt (alte Version vom Vorjahr: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/MerkblattVerbesserungPruefungen.pdf ) Vorgeschlagen: Schema nach Ermessen auf der Grundlage der Erfahrungen: Max. 14 P. Mit Verbesserung max 20 P, 6 P für die Zusatzarbeit erhalten Nochmals Hauptsatz der Algebra: Linearfaktoren, maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl NS im Komplexen Beispiele ,Vieta Funktionstypen und ihre Diagramme: Beispiel einer rationalen Funktion, Polynome Rationale und gebrochen rationale Funktionen Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen Hyperbolische Funktionen und Area-Funktionen, Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Nullstellen Pole Verhalten weit außen Graphen Funktion und Umkehrfunktionen (inverse Funktion) Dazu Begriffe surjektiv, injektiv, bijektiv Beispiele, Graphen (e-Funktion und ln, sin und arcsin, tan und arctan usw.) Gleichheit von Polynomen Bedingungen für die Berechnung von Koeffizienten gegebener Polynome durch gegebene Punkte Gleichungssysteme für die Koeffizienten Beispiel und Kontrolle Graphen von hyperbolischen Funktionen und Areafunktionen Verkettete Funktionen Assoziativgesetz für die Verkettung von Funktionen Umkehrfunktionen Das Problem der Stetigkeit: Unstetig bei Definitionslücken, Sprüngen, Polstellen Komplizierte Stetigkeitsdefinition von Karl Weierstraß mit mehreren Quantoren *Selbststudium:* Gauß-Klammer-Funktion, Signum-Funktion, Betrag und Signum, u.s.w. Skript Zoo der Funktionen Beispiele mit dem Rechner Einführung in die Problematik des Grenzwertbegriffs Grenzwerte von Folgen , Limesbegriff Nullfolge a_n = 1/n, Zusammenhang mit dem Höhensatz Umkehrgraphen (reziprok skaliert) Konvexe Schlingen in solchen Graphen Existenz des Grenzwertes und Eindeutigkeit der Berührung der y-Achse Rechnen mit Grenzwerten: Graphischer Nachvollzug der Arithmetik mit Grenzwerten Eine Schlingen mit Grenzwert umfasst eine Andere, womit deren Grenzwert auch bekannt ist Grenzwerte von Funktionen: Unabhängig wählbare Folgen auf der x-Achse und dazu abhängige Folgen auf der y-Achse Komplizierte Grenzwertdefinition von Karl Weierstraß mit mehreren Quantoren Grenzwertfreie Konvergenzdefinition von Cauchy Der Limes x gegen unendlich (oder auch gegen x₀) von p(x)/q(x), wobei x₀ eine Nullstelle von q(x) ist: Ausdividieren, ganzer Anteil gibt Asymptote usw. Der Limes von sin(x)/x an der Stelle x = 0 (geometrische Herleitung)	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 7	Gauß-Klammer-Funktion, Signum-Funktion, Betrag und Signum, u.s.w. Skript Zoo der Funktionen Beispiele mit dem Rechner Einführung in die Problematik des Grenzwertbegriffs Grenzwerte von Folgen , Limesbegriff Nullfolge a_n = 1/n, Zusammenhang mit dem Höhensatz Umkehrgraphen (reziprok skaliert) Konvexe Schlingen in solchen Graphen Definition eines Grenzwerts Existenz des Grenzwertes und Eindeutigkeit der Berührung der y-Achse Rechnen mit Grenzwerten: Graphischer Nachvollzug der Arithmetik mit Grenzwerten Eine Schlingen mit Grenzwert umfasst eine andere solche, womit deren Grenzwert auch bekannt ist Komplizierte Grenzwertdefinition von Karl Weierstraß mit mehreren Quantoren Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen Beispiele für Grenzwerte von Folgen Grenzwerte von Funktionen: Unabhängig wählbare Folgen auf der x-Achse und dazu abhängige Folgen auf der y-Achse Komplizierte Grenzwertdefinition von Karl Weierstraß mit mehreren Quantoren Grenzwertfreie Konvergenzdefinition von Cauchy Der Limes x gegen unendlich (oder auch gegen x₀) von p(x)/q(x), wobei x₀ eine Nullstelle von q(x) ist: Ausdividieren, ganzer Anteil gibt Asymptote usw. Der Limes von sin(x)/x an der Stelle x = 0 (geometrische Herleitung) Stetigkeit Stetige Fortsetzbarkeit Die Idee der Differentialrechnung, Herkunft Differentialrechnung Tangentenproblem (Tangentensteigung und Probleme der Physik, z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung) Sehnensteigung und Differenzenquotient Das Problem der Tangentensteigung und des Differenzenquotienten (null durch null ==> Grenzwert) Die Stammfunktion und die Ableitungsfunktion Limes des Differenzenquotienten: Differentialquotient und Ableitungsfunktion Differenzierbarkeit Schreibweisen / Symbolik nach Leibniz und nach Newton Differentiale, infinitesimale "Größen" Selbststudium: Einfache Beispiele von Ableitungsfunktionen: Ableitung der konstanten Funktion Ableitung der linearen Funktion Ableitung der quadratischen Funktion Summenregel, Linearitätsregel Ableitung von xⁿ(Potenz von x, n natürliche Zahl) Ableitung eines Polynoms (mit Linearitätsregel) Beispiele Produktregel, Anwendung auf Potenzen, Ableitung der Quadratwurzel Quotientenregel: f(x)/g(x) ableiten Beispiele Ableitung von ln und sin Daraus Ableitung von tan, cot = cgt, x^-(-n) Beispiele, Übungen ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(m/n), x^-(-n), x^r Ableitungen von log_a(b x^c) Beispiele,Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x^-(-n) u.s.w. Verkettete Funktionen Kettenregel Ableitung der Inversen Anwendungen: Ableitung der Funktion e^x, von Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem und dann reellem Exponenten. Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Ableitung der Umkehrfunktion Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Regel von Bernoulli Ableitung von x^x Exponentielles contra polynomiales Wachstum Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiele, Arbeit an Übungen Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von log_a(b x^c) etc. Lineare Approximation, Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,... Beispiele - Arbeit an diesen Übungen *Repetition:* Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu Funktionen, speziell: Eigenschaften von Polynomen Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Übungen - Studium der Beispiele Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n) Wichtig für Differentialrechnung: log_a(b x^c) Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen Beispiele, Übungen	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 8	Summenregel, Linearitätsregel Einfache Beispiele von Ableitungsfunktionen: Ableitung der konstanten Funktion Ableitung der linearen Funktion (Ableitung der quadratischen Funktion) Ableitung von xⁿ(Potenz von x, n natürliche Zahl) Ableitung eines Polynoms (mit Linearitätsregel) Beispiele: Ableitung von Polynomfunktionen (diverse) Berechnung von Minima und Maxima und anderen Punkten Berechnung von Schnittwinkeln zweier Funktionen Produktregel, Beispiele: Anwendung auf Potenzen Ableitung der Quadratwurzel Quotientenregel: f(x)/g(x) ableiten Beispiele: Ableitung von 1/xⁿ = x^-(-n) Beispiele, Übungen Ableitung von ln(x) Ableitung von sin(x) Ableitung von cos mit Hife von sin²(x) + cos²(x) = 1 Daraus Ableitung von tan, cot = cgt, x^-(-n) Ableitungen von log_a(b x^c) Beispiele, Übungen Verkettete Funktionen Kettenregel Ableitungen von log_a(b x^c) Beispiele, Übungen Ableitung der Inversen Ableitung der Funktion e^x, Ableitung von Wurzelfunktionen Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalem und dann reellem Exponenten usw. Ableitung von x^(m/n), x^r Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Beispiele, speziell Ableitung von x^x Lineare Approximation Regel von Bernoulli Exponentielles contra polynomiales Wachstum Selbststudium: Ableitung des ln des Betrags, Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiele, Arbeit an Übungen Lineare Approximation, Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,... Beispiele - Arbeit an diesen Übungen Differentiale Beispiele, Arbeit an Übungen Lineare Approximation, Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,... Beispiele - Arbeit an diesen Übungen Anwendung: Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Newton-Methode Regula Falsi Fixpunktverfahren Integralrechnung: Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition Integration durch Summierung (Grenzwert) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 9	Ableitung des ln des Betrags: ln'(\|x\|) = ? Das Problem x^x = "0⁰" = ? Mittelwertsatz der Differentialrechnung Kurvendiskussion: Konvex und konkav (von oben resp. von unten), Zusammenhang mit der Monotonie Kurvendiskussion: Notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema, ... Beispiele zur Extremwertbestimmung Kurvendiskussion Praktische Beispiele Beispiele - Arbeit an diesen, Arbeit an Übungen Differentiale, Idee der Potenzreihen Weiter mit linearer Approximation, Fehlerrechnung Beispiele - Arbeit an diesen, Übungen Anwendung: Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Regula Falsi Newton-Methode *Selbststudium* : Anwendung: Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Newton-Methode Regula Falsi Fixpunktverfahren Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html Integralrechnung: Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition Integration durch Summierung (Grenzwert) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 10	Anwendung: Nullstellenberechnung, weiter mit: Newton-Methode Fixpunktverfahren Nachtrag Folgen und Reihen: Geometrische Folge Reihe oder Summenfolge einer geometrischen Folge Grenzwert einer geometrischen Reihe Beispiele Arithmetische Folge Reihe oder Summenfolge einer arithmetischen Folge Beispiele Integralrechnung Das Problem der Definition krummer Flächeninhalte Diverse Versuche mit Balken Probleme damit Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen, Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition / andere Integrale Integration durch Summierung (Grenzwert) bei stetigen und monotonen Funktionen, Existenz Das Problem der Balkenhöhen (unterhalb bis oberhalb der Kurve, Differenzen ergeben den Inhalt eines Balkenteils, der mit der Breite gegen 0 geht) Das Problem der maximalen Balkenbreite bei verschiedenen Balkenbreite: Konvergenz gegen 0 im Fall, dass die maximale Balkenbreite gegen 0 geht) Integration bei nicht monotonen und nicht stetigen Funktionen (Zusammensetzung) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung, Integration mit Hilfe der Stammfunktion Beispiele und Übungen: Integration von f(x)=1/x zwischen 1 und b sowie zwischen 1 und unendlich, Vergleich dieses Integrals mit der harmonischen Reihe (damit Divergenzbeweis), Eulersche Konstante C. Integration von f(x)=1/x² zwischen 1 und b sowie zwischen 1 und unendlich: Unendlich lange Fläche mit unendlich langem Rand, jedoch nur mit endlichem Inhalt. Selbststudium: Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele Integralrechnung: Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele Nachlesen im Wikipedia Abzählbarkeit Kardinalzahl_(Mathematik) Reelle_Zahl Cantor cantprob	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 11	Integralrechnung: Integration von Potenzfunktionen (div. Exponentenarten, y = f(x) = 1/x^r) Tabelle einfacher Stammfunktionen (unbestimmte Integral, z.B. von e^x etc.) Fläche unter der Sinuskurve Beispiel: Integral des Sinus zwischen 0 und Pi/2 ist 1, obwohl die Kurve krumm und Pi/2 nicht rational ist. Integration als linearer Operator: Linearitätsregeln, Integration von Polynomen Beispiele Partielle Integration (eine Umkehrung der Produkteregel) mit Elimination von Polynomfunktionen durch Differenzieren Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele Integration des ln(x) Substitutionsregeln als Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung (1. Art und 2 Art, Verwendung in 2 Richtungen) Das Problem der geeigneten Substitution Spezialfall: Integration von f '(x) / f(x) Beispiele Partialbruchzerlegungen Beispiele *Selbststudium:* Anwendungen der Integration: Volumen eines Rotationskörpers Länge einer Kurve (2D) Oberfläche eines Rotationskörpers Beispiele, Übungen Schwerpunkte von Flächen Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson) Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 12	Anwendungen der Integration: Volumen eines Rotationskörpers Beispiele Länge einer Kurve (2D) (Funktionsgraph) Beispiele Oberfläche eines Rotationskörpers Beispiele, Übungen Fragen zum kommenden Test Schwerpunkte von Flächen Fassregel ==> Selbststudium: http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/fassvolumen/seiten/kepler-h.html http://www.mathe-praxis.de/4_3/kepler.pdf Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Selbststudium! Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Integrationsmethoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode, Simpson-Methode Test *Selbststudium I:* Schwerpunkte von Flächen Fassregel ==> Selbststudium: *http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel* *http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/fassvolumen/seiten/kepler-h.html* *http://www.mathe-praxis.de/4_3/kepler.pdf* Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson) Geeignete Substitutionen Beispiele Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen Selbststudium II nach Skript: Einführung: Differentialgleichungen, Biegelinien Lineare D'Gl: Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung Beispiele Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 13	Test retour Wie es damit weitergeht... Einführung: Differentialgleichungen und Bemerkung zu "D'gl. und Biegelinien" Was ist eine Differentialgleichung (D'gl.)? Ordnung der (D'gl.). Beispiele von Differentialgleichungen Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle Differentialgleichungen Ordnung einer Differentialgleichung Implizite contra explizite Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung Modellierung von Naturvorgängen führen zu Differentialgleichungen Beispiele von Modellierungen (auf der Grundlage des plausiblen Ansatzes) und Gewinnung der D'gl. sowie erraten von deren Lösungen: Wachstumsprobleme Populationsmodelle Schwingungen Bahnkurve beim Durchschwimmen eines Flusses Bemerkung zu anderen, z.B. Knickungsgleichung Lösen durch erraten einer Lösung Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem für eine Lösung Graphische Methode: Begriffe Linienelement und Richtungsfeld bei D'gl. 1. Ordnun, Lösungen graphisch beschreiben Beispiele: Skizze von Richtungsfeldern Konstruktion von Integralkurven oder Lösungskurven aus dem Richtungsfeld Weitere interessante Kurven im Richtungsfeld: Isokline und Trajektorien Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen Für 1. Ordnung Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer Ordnung Beispiele für Lösungsmethoden Separable D'Gl Geeignete Substitutionen Beispiele Lineare D'Gl: Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung Beispiele Hinweise: Kettenlinie, Klothoide Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck" Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode Runge-Kutta Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve (Hinweis: Selbststudium) Kettenlinie (Hinweis: Selbststudium) Klothoide (Hinweis: Selbststudium) Zu- und Abflussprobleme (Hinweis: Selbststudium) Knickungsprobleme (Hinweis: Selbststudium) Weitere Probleme, Beispiele Selbststudium: Trägheitsmomente Weitere Arten von Trägheitsmomenten (polares usw.) Satz von Steiner Differentialgleichungen: Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen Für 1. Ordnung Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer Ordnung Beispiele für Lösungsmethoden Separable D'Gl Geeignete Substitutionen Beispiele Lineare D'Gl: Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung Beispiele Hinweise: Kettenlinie, Klothoide Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck" Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme Differentialrechnung mit mehreren Variablen: Erzeugung von 3D-Graphiken Zoo der Funktionen, Beispiele Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS (ParametricPlot3D) Höhenkurven (ContourPlots) Richtungsableitung Gradient Bedeutung des Gradienten Beispiele Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen Beispiele	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 14	Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Knickungsprobleme Klothoide (Hinweis: Selbststudium) Zu- und Abflussprobleme (Hinweis: Selbststudium) Weitere Probleme, Beispiele (Hinweis: Selbststudium) *Selbststudium:* Differentialrechnung mit mehreren Variablen: Erzeugung von 3D-Graphiken Zoo der Funktionen, Beispiele Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS (ParametricPlot3D) Erzeugung von 3D-Graphiken, diverse Risse, Höhenkurven Beispiele Richtungsableitung Gradient Minimum, Maximum, Beispiele Bedeutung des Gradienten (erste Feststellungen) Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen Beispiele "Approximationstheorie" Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen? Wie berechnen? Taylorpolynome, Tauglichkeit dieser Approximation? Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Taylorpolynome: Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome Approximation durch Taylorpolynome Beispiele on-line (Computeralgebra) Funktion = Potenzreihe + Restglied Die Problematik des Restglieds Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis, Gerade, Kreis Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Zusammenhang zu Potenzreihe Endliche und unendliche Reihe, Reihe Beispiele	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 15	Differentialrechnung mit mehreren Variablen: Definition der Richtungsableitung Berechnung der Richtungsableitung Berechnung des Gradienten Bedeutung des Gradienten Vektor in Richtung maximaler Steigung Vektor Senkrecht auf der Höhenlinie (Niveaulinie) Berechnung des Tangentenvektors auf die Niveaulinie Vektorlänge = Größe der maximalen Steigung Gradient ist 0 in Extrema und Sattelpunkten Lagrange-Methode: Berechung Extrema mit Nebenbedingungen Berechnung des höchsten oder tiefsten Punktes auf einem Weg auf einer Fläche Beispiele "Approximationstheorie" (Potenzreihenapproximation) Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen? Wie berechnen? Taylorpolynome, Tauglichkeit dieser Approximation? Vorgehen bei Polynomen: Zusammenhang zwischen Ableitungen in einem Punkt und Koeffizienten Muss oder soll in einem Punkt bei einer Funktion auch gelten: Alle Ableitungen sollen dort mit der Ableitung der Funktion übereinstimmen Potenzreihen und Taylorpolynome (endliche Potenzreihen) Taylorpolynome: Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome Approximation durch Taylorpolynome Beispiele mit Computeralgebra Approximationsidee: Funktion = Potenzreihe + Restglied Führt auf Problematik des Restglieds (Gleichung immer formulierbar - Gleichung mit einer Unbekannten, dem Restglied - nur brauchbar, wenn Restglied klein) Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel Reihentheorie, Konvergenzkriterien, Potenzreihen Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Zusammenhang zu Potenzreihe Endliche und unendliche Reihe, Reihe Beispiele Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen Integration und Differentiation von Potenzreihen Beispiele Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen Berechnung der Richtung des Tangentenvektors Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis, Gerade, Kreis Selbststudium: Repetition gesamter Stoff Vorbereitung speziell des neuen Stoffs für den Test Stoff ab Funktionen Differentialrechnung Integralrechnung Differentialgleichungen Differentialrechnung mit mehreren Variablen	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 16	Vorbereitung der Modulprüfung Lösen von ehemaligen Testaufgeben Hier sind wir angekommen Selbststudium: Vorbereitung der Modulprüfung Gesamtrepetition des Stoffes nach eigenem Repetitionsplan! Lösen ehemaliger Testaufgaben! Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis, Gerade, Kreis Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Zusammenhang zu Potenzreihe Endliche und unendliche Reihe, Reihe Beispiele Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen Integration und Differentiation von Potenzreihen Beispiele Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen Berechnung der Richtung des Tangentenvektors	Selbststudium Siehe links Übungen
UFZ	Modulprüfung siehe Ankündigung
S2 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Übersicht Semester, Prüfungen, Skript Vektoren, Matrizen, lineare Abbildungen Skript: Skriptseite für Bauingenieure Vektoren: Repetition und Ausbau Koordinatensysteme: Rechts, links Vektoren: Erfahrungszugang Genaue Definition geometrischer Vektoren Gleichheit von Vektoren Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit, Ortsvektroen Parallelogrammaddition: Gesetze (Abgeschlossenheit, Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element, Inverses) Streckungsprodukt Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels Skalaren Vektorraum (Regeln) Erzeugendensystem Standardbasis, ONS Basis als minimales Erzeugendensystem Dimension Komponentendarstellung Zerlegung nach vektoriellen Komponenten Zerlegung nach skalaren Komponenten Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren) Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor Differenz, Inverser Vektor Geometrische Bildung der Differenz Gleichheit von Vektoren Euklidsche Länge (Definition) Linearkombination, Vektorketten Unterräume Definitionen Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./ Unabhängigkeit Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum) Selbststudium Lineare Hülle einer Vektormenge *...* Anwendungen: Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors in einer neuen Basis Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung Basiswechsel Einleitung p.1, 2 Beispiele p. 4, 5, 6	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 2	Kurze Repetition: Rep. Erzeugendensystem Rep. Standardbasis, ONS Rep. Basis als minimales Erzeugendensystem Rep. Dimension Rep. Komponentendarstellung Zerlegung nach vektoriellen Komponenten Zerlegung nach skalaren Komponenten Rep. Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren) Rep. Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor Rep. Differenz, Inverser Rep. Geometrische Bildung der Differenz Rep. Gleichheit von Vektoren Rep. Euklidsche Länge (Definition) Rep. Linearkombination, Vektorketten Rep. Unterräume Rep. Definitionen Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium Rep. Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./ Unabhängigkeit Rep. Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum) Weiter im Stoff: Lineare Hülle einer Vektormenge Anwendungen: Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors in einer neuen Basis Basiswechsel Zerlegung eines Vektors in Komponenten Das Problem des Stuhles mit drei oder vier Beinen: Aufteilung der Gewichtskraft in die Beine Das Problem der "Vorspannung" Rep. Euklidsche Länge Rep. Unterräume Parameterdarstellung der Geraden Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene Herleitung aus der Funktionsgleichung Herleitung aus der Parametergleichung Weitere Gleichungen Parameterdarstellung der Ebene Koordinatengleichung der Ebene im Raum Herleitung aus der Parametergleichung Weitere Gleichungen Beispiele Spezielle Lage von Geraden Der Zusammenhang von Geometrie und Gleichungen (Algebra) Geometrische Deutung von Gleichungssystemen Anzahl Lösungen geometrisch Algebraische Übersetzung geometrischer Probleme Schnittpunkt zweier Geraden im Raum Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel, zusammenfallend Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Beispiele Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade, Beispiele Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei Punkte oder via Parameterelimination Projizierende Ebenen, Hauptebenen Skalarprodukt Idee Definition Gesetze Anwendungen *Selbststudium:* Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w. Normalenvektor und Koordinatengleichung Beispiele	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 3	Schnittpunkt zweier Geraden im Raum Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel, zusammenfallend Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend Beispiele Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade, Beispiele Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei Punkte oder via Parameterelimination Projizierende Ebenen, Hauptebenen Skalarprodukt Idee Definition Gesetze: Bei Streckung mit Vektor, Was ist mit dem Assosziativgesetz? Neutrales Element, Inverses? Kommutativität, Distributivität. Skalarprodukt in Koordinaten in einem ONS: Gültigkeit der Formel "Summe von Produkten" Anwendungen; Beispiele Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene / Hyperebene, Koordinatengleichung Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w. Normalenvektor und Koordinatengleichung Beispiele Parallele Geraden oder Ebenen Berechnung des Fußpunktes Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Flächenprodukt Eigenschaften des Flächenprodukts Beispiele Crash-Kurs: Komplexe Zahlen Problem: Die Wurzel aus (-1) kann keine reelle Zahl sein (Begründung) Die reellen Zahlen sind dicht und lückenlos: Will man die Wurzel aus (-1) als Zahl definieren, so ist dafür auf der Zahlengeraden kein Platz mehr vorhanden. Ausweg: Versuche es mit 2-dimensionalen Vektoren. Konstruktion: Definiere die Wurzel aus (-1) durch den Vektor (0,1)^T ===> Komplexe Ebene C. Ein solcher Vektor (a, b)^T wird neu als Zahl a + i b definiert, "i" ist das Symbol für imaginär. i wird mit Wurzel aus (-1) identifiziert. a ist die reelle, b die imaginäre Komponente. Forderung: Die Zahlengesetze in R sollen weiter gelten: Additive abelsche Gruppe (R, +), multiplikative abelsche Gruppe (R\{0}, ), dazwischen Distributivgesetze. Die Addition kann als Vektoraddition im R² definiert werden. Multiplikation mit reellen Zahlen: Streckung der Vektoren. Multiplikation zwischen zwei komplexen Zahlen: Nach dem Distributivgesetz, angewandt auf die Komponenten. Neuigkeit: Definition der zu z = a + i b konjugierten Zahl z := a - i b. Man berechnet: z z = \|z\|². Damit lässt sich die zu z inverse Zahl z^-1 definieren: z * z^-1 = 1 ==> z * z * z^-1 = z * 1 = z. ==> \|z\|² * z^-1 = z * 1 = z. Da \|z\|² eine reelle Zahl ist, kann man sie durch Streckungsmultiplikation neutralisieren: (\|z\|²)^-1 * \|z\|² * z^-1 = (\|z\|²)^-1 * z. ==> z^-1 = (\|z\|²)^-1 * z. Damit ist z^-1 eindeutig berechnet. Die geometrische Interpretation der Multiplikation: Drehstreckung. Damit kann man die Multiplikationsgesetze (Gruppengesetze) und die Distributivität quasi ablesen. Das Problem des Potenzierens: Diverse verschiedene komplexe Zahlen führen zu denselben höheren Potenzen. Beim Radizieren ist daher die n-te Wurzel n-fach mehrdeutig. Daher ist beim Rechnen mit Taschenrechner Vorsicht geboten. Man muss die ausgegebenen n--ten Wurzeln jeweils auch interpretieren können. *Selbststudium:* Vektoren: Orthogonalzerlegung Beispiele Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem Flächenprodukt Vektorprodukt Definition Eigenschaften Berechnung Vektorprodukt Gesetze Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele: Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Anwendungen in der Statik und Mechanik	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 4	Weiter mit komplexen Zahlen: Das Problem des Potenzierens: Diverse verschiedene komplexe Zahlen führen zu denselben höheren Potenzen. Beim Radizieren ist daher die n-te Wurzel n-fach mehrdeutig. Daher ist beim Rechnen mit Taschenrechner Vorsicht geboten. Man muss die ausgegebenen n--ten Wurzeln jeweils auch interpretieren können. Berechnung Vektorprodukt Definition: Parallelogrammflächeninhalt, senkrechter Vektor, Rechtssystem Gesetze Beispiele, Anwendungen Berechnung mit Flächenprodukten Definition der zyklischen Projektionsvektoren Richtungskosinus-Gesetz Einschub: Matrizenrechnung Matrix und Gleichungssystem Matrix und Abbildung Beispiele *Selbststudium:* Berechnung Vektorprodukt Gesetze Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele: Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Anwendungen in der Statik und Mechanik Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Definition Regeln Regeln geometrisch Beispiele Berechnung (Determinante, Sarrus) Verallgemeinerung, Determinantengesetze (Hinweise) Sarrus gilt nicht für n > 3: Begründung, Hinweis (ev. später bei allgemeiner Determinantenberechnung) Abstandberechnung Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen mit Determinanten Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung später) Anwendungen in der Statik und Mechanik Kreis, Kugel, Beispiele Kegel, Beispiele Zylinder Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen Beispiele Tangente an eine Kurve Tangentialebene an eine Fläche Zylinder, Beispiele Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele Beispiele Beginn mit Matrizen Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema Gleichheit Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix Matrizen und Gleichungssysteme	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 5	Berechnung Vektorprodukt Gesetze Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems Beispiele: Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung Abstand Gerade-Ursprung Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Anwendungen in der Statik und Mechanik Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Definition Regeln Regeln geometrisch Beispiele Berechnung (Determinante, Sarrus) Verallgemeinerung, Determinantengesetze (Hinweise) Sarrus gilt nicht für n > 3: Begründung, Hinweis (ev. später bei allgemeiner Determinantenberechnung) Abstandberechnung Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen mit Determinanten Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung später) Kreis, Kugel, Beispiele *Selbststudium:* Kreis, Kugel, Beispiele Kegel, Beispiele Zylinder Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen Beispiele Tangente an eine Kurve Tangentialebene an eine Fläche Zylinder, Beispiele Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele Beispiele Beginn mit Matrizen Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema Gleichheit Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix Matrizen und Gleichungssysteme Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik Gleichheit von Matrizen Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen: Bedeutung: Volumeninhalt Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat) Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1 Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor) Distributivgesetz Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert, da berechenbar Anwendungen des Entwicklungsatzes Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer anderen solchen addiert werden. Dann ändert die Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente. Anwendungen, Beispiele Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht mehr vorstellen kann.	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 6	Einiges aus der Vektorgeometrie Gleichungen für Kreis und Kugel Gleichungen für Tangente und Tangentialebene Gleichungen für Zylinder Gleichungen für Kegel Beispiele und Anwendungen Geometrieanwendungen im Raum: Platonische Körper und weitere regelmäßige Gebilde Matrizenrechnung: Matrix als Zahlenschema, als Vektor von Listen, als Liste von Vektoren, als Abbildung Gleichheit von Matrizen Matrixaddition und Gleichungssysteme Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix) Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix, Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung) Anwendung auf Determinanten: (n x n)-Matrix mit Faktor k strecken ==> Determinante mit Faktor kⁿ strecken Beispiele Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor, motiviert durch hintereinander ausgeführte lineare Abbildungen (mittels Matrizen) Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung des Urbildes Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." oder Matrix und Mehrfache Abbildung Berechnung des Matrixprodukts *Grosses Selbststudium:* Testvorbereitung Determinantenberechnung Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen: Bedeutung: Volumeninhalt Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat) Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1 Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor) Distributivgesetz Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert, da berechenbar Anwendungen des Entwicklungsatzes Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer anderen solchen addiert werden. Dann ändert die Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente. (Diagonalisierung) Anwendungen, Beispiele Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht mehr vorstellen kann. Test auf lineare Abhängigkeit: Determinante = 0 Cramersche Regeln und Beurteilung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Nennerdeterminante und Zählerdeterminanten auf gleich 0 testen, drei Fälle: exakte Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen Gleichungssysteme mit rationalen Koeffizienten haben rationale Lösungen Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren Determinante: Entwicklungssatz Determinante der Transponierten Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung Anwendung auf Determinanten: (n x n)-Matrix mit Faktor k strecken ==> Determinante mit Faktor kⁿ strecken Beispiele Matrixprodukt Berechnung des Matrixprodukts Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." Regeln: Zusammen multiplizierbare Matrizen Kommutativität gilt nicht Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Gesetze für die Inverse, falls sie existiert Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Inversen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Der Gauß-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Rechnen von Beispielen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 7	Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren Determinante: Entwicklungssatz Problem der Komplexität Arbeiten mit Unterdeterminanten Determinante der Transponierten Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung Berechnung der Determinante bei Dreiecksmatrizen Beispiele Wieso Sarrus für n > 3 nicht gelten kann Repetition: Matrix, Abbildungen und Gleichungssysteme Matrixaddition Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix) Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix, Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung) Beispiele Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor Matrixaddition und Gleichungssysteme Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung des Urbildes Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." oder Matrix und Mehrfache Abbildung Berechnung des Matrixprodukts Test *Selbststudium:* Berechnung des Matrixprodukts, Beispiele Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." Regeln: Zusammen multiplizierbare Matrizen "(m x n) (n x k) = (m x k)" Kommutativität gilt nicht (Beispiel) Matrixprodukt, Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz (Assoziativität des Matrixprodukts) Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix (Achtung wegen "(m x n) (n x k) = (m x k)") Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Gesetze für die Inverse, falls sie existiert (Problem der Kommutativität!) Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel Distributivgesetze Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Der Gauß-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Rechnen von Beispielen Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Transponieren des Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 8	Repetition: Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren Determinante: Entwicklungssatz Determinante der Transponierten Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung Matrix, Abbildungen und Gleichungssysteme Matrixaddition Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix) Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix, Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung) Beispiele Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor Matrixaddition und Gleichungssysteme Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung des Urbildes Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." oder Matrix und Mehrfache Abbildung Berechnung des Matrixprodukts "Matrix mal Vektor" Matrixprodukt allgemein: Matrix und Abbildung Mehrere Abbildungen hintereinander Matrixprodukt Matrix mal Matrix Berechnung des Matrixprodukts Regeln für das Matrixprodukt : Zusammen multiplizierbare Matrizen, Dimensionierung Kommutativität gilt nicht Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Determinante und Existenz der Umkehrabbildung Gesetze für die Inverse, falls sie existiert Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Das Beispiel der (2 x 2)-Matrix und der (3 x 3)-Matrix Der Gauß-Jordan-Algorithmus zur Lösung von Gleichungssyxtemen: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Rechnen von Beispielen für Gleichungssysteme Der Fall, wo es keine Lösung gibt Der Fall, wo es unendlich viele Lösungen gibt (Anzahl Parameter): Ordnung = Rang + Dimension des Lösungsraumes (Rangsatz) Der Fall, wo die Lösung eindeutig ist Ordnung = Rang + Dimension des Lösungsraumes (Rangsatz) Simultane Anwendung für die Spaltenvektoren einer unbekannten inversen Matrix: Inversenberechnung mittels Gauss-Algorithmus *Selbststudium:* Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Matrixabbildung: Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt Parallelen gehen in Parallelen über Streckenverhältnisse bleiben erhalten Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ det(A)* Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen Die Determinante der inversen Matrix Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Matrixgleichungen Drehmatrizen Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Transponieren des Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 9	*Selbststudium, Repetition:* Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Matrixabbildung: Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt Parallelen gehen in Parallelen über Streckenverhältnisse bleiben erhalten Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ det(A)* Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen Die Determinante der inversen Matrix Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Drehmatrizen Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Transponieren des Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Skript Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 10	*Selbststudium, Repetition:* Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Matrixabbildung: Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt Parallelen gehen in Parallelen über Streckenverhältnisse bleiben erhalten Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ det(A)* Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen Die Determinante der inversen Matrix Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Drehmatrizen Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Transponieren des Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Berechnung durch rekursive Entwicklung Neu: Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm)	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 11	Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Matrixabbildung: Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt Parallelen gehen in Parallelen über Streckenverhältnisse bleiben erhalten Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ * det(A) Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen Die Determinante der inversen Matrix Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme... Rechnen mit Inversen und Transponierten, Matrixgleichungen Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwertproblem Berechnung der EW, charakteristisches Polynom Berechnung der EV Beispiele Rep. Eigenwerte, Eigenvektoren, Bsp. M={{-3, 10, -22}, {17, -32, 79}, {8, -16, 39}} Problem: Ungenaue EW führen bei den EV auf ein Gleichungssystem, das nur die Nulllösung hat. M = X . Dl . Inverse[X] Eigenvektoren als Basis Konstr. von Matrizen: X und Dl vorgeben. M damit berechnen... Beispiele (z.B. Spiegelungsmatrix) *Selbststudium* Det = Produkt der EW Verschiebungsmatrix, projektive Koordinaten Drehmatrix im Raum Beispiele Determinantenmultiplikationssatz Potenzen von Matrizen Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Verallgemeinerung der Additionsmethode Elementarumformungen Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen Ziel Diagonalmatrix Was passiert bei Rechtecksmatrizen Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension Beispiele Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Homogenes und inhomogenes System Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen) Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung Vektorraumstruktur der homogenen Losungen Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Inhomogene und partikuläre Lösung Beispiele Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Berechnung durch rekursive Entwicklung Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm) Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren Matrizen und lineare Abbildungen Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren der ONB Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors Definition Kern und Image D_f Vektorraum ==> auch Kern und Image Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kern_senkrecht Dim D_f = Dim Kern + Dim Im Abbildung von Geraden, Ebenen, Hyperebenen.... Beispiele, Repetition: Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind die Spaltenvektoren der Matrix. Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der verwendeten Vektoren Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der Kern Dimension null hat. Sonst ist das Bild ein Punkt Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension null hat usw. Drehmatrix.. Anwendung auf Probleme wie Drehmatrix in der Ebene Streckungsmatrizen Projektion auf eine Gerade in der Ebene Projektion auf eine Ebene im Raum Drehung um eine Achse im Raum Spiegelung an einer Geraden in der Ebene Spiegelung an einer Ebenen im Raum Beispiel: Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Beispiele mit dem Computer Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Kurvenlängen Flächen, Normalenvektor Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)*	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 12	Eigenwertprobleme Rep.: Berechnung der Streckungsrichtungen zu gegebenen Matrizen: Eigenwertprobleme Berechnung der Eigenwerte: Charakteristische Polynome Berechnung der Eigenvektoren Beispiel einer Projektionsmatrix Beispiel einer Kollineationsmatrix Das Problem der Konstruktion von Matrizen, welche Vektoren in gegebene Vielfache strecken Kollineation: Gegeben Fixgerade, Punkt, Bildpunkt. Abbildung weiterer Punkte und auch einer Figur. Berechnung der Bilder und des Inhalts des Bildes Produkt der Eigenwerte = Determinante: Det = Produkt der EW Abbildung einer Figur: Bildinhalt = Urbildinhalt mal Determinante Spezialfall: Urbildinhalt ist schon eine Determinante ==> Determinantenmultiplikationssatz Eigenwerte und potenzierte Matrizen Anwendungen auf Iterationen EW und EV einer Matrix und Beziehung zu EW und EV der inversen Matrix EW und EV einer Matrix und Beziehung zu EW und EV der transponierten Matrix Verschiebungsmatrix, projektive Koordinaten Drehmatrix im Raum: Zusammensetzung der Abbildungsmatrix: Konstruktion mittels Teilschritten. Benutzung einer lokalen ONB und Matrix mit Bildern der alten ONB als neue ONB Beispiel Potenzen von Matrizen Nachtests für Nachzügler *Selbststudium:* Rep.: Nochmals Drehungen, Drehmatrix: Drehmatrix in der Ebene Streckungsmatrizen Projektion auf eine Gerade in der Ebene Projektion auf eine Ebene im Raum Drehung um eine Achse im Raum Drehung durch Abbildung auf das Standard-KS, dort drehen, Rückabbildung Problem der Normierung des KS bei Drehungen (Drehungen auf Ellipsen) Drehung im KS mit der Drehachse, Berechnung der dort vorhandenen Koord. Beispiele Drehmatrix.. Anwendung auf Probleme wie Spiegelung an einer Geraden in der Ebene Spiegelung an einer Ebenen im Raum Beispiel: Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Gleichungssysteme Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.: Verallgemeinerung der Additionsmethode Elementarumformungen Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen Ziel Diagonalmatrix Was passiert bei Rechtecksmatrizen Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension Beispiele Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Homogenes und inhomogenes System Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen) Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung Vektorraumstruktur der homogenen Losungen Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Inhomogene und partikuläre Lösung Beispiele Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Berechnung durch rekursive Entwicklung Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm) Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Beispiele mit dem Computer Matrizen und lineare Abbildungen Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren der ONB Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors Definition Kern und Image D_f Vektorraum ==> auch Kern und Image Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kern_senkrecht Dim D_f = Dim Kern + Dim Im Abbildung von Geraden, Ebenen, Hyperebenen.... Beispiele, Repetition: Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind die Spaltenvektoren der Matrix. Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der verwendeten Vektoren Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der Kern Dimension null hat. Sonst ist das Bild ein Punkt Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension null hat usw. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Kurvenlängen Flächen, Normalenvektor Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)* Was passiert mit Eigenwerten und Eigenvektoren bei Matrixmultiplikation? Drehmatrix und Eigenwerte sowie Eigenvektoren Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Link: Themenliste Mathematik Gruppenpraesentationen Hauptprobleme: Über optimale Lösungen bei überbestimmten Gleichungssystemen (Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen, Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen, Durchführung, Beispiele) Über die Helmert-Transformation Über die Biegelinie Über den Spannungstensor Nebenprobleme, wenn die Hauptprobleme vergeben sind: Über die Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Über Elementarsubstitutionen, übersetzt in die Sprache der Matrixmultiplikationen (Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus Über Computermodelle, Simulationen (Populationsmodelle und Eigenwertprobleme Über Rekursion und Iteration (Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung z.B. mit Jaccobi-Verfahren usw.) Über Geometrie mit dem Computer, Raumgeometrie, Fraktale Über die Anwendungen von komplexen Zahlen Über die Anwendungen von Vektorfunktionen (Kurven, Flächen, Tangenten usw., Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion) Über Wahrscheinlichkeit (dieses Thema wird nur unter besonderen Umständen vergeben, da es im nächsten Semester im Rahmen des Wahlpflichtmoduls Statistik behandelt wird)	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 13	Praktische Anwendungen, Beispiele: Gruppenarbeit Schräge Projektion eines Würfels auf eine Ebene im Raum, Projektionsmatrix berechnen, Situation exakt zeichnen in Falschperspektive.... Nachtests für Nachzügler *Selbststudium* Was passiert mit Eigenwerten und Eigenvektoren bei Matrixmultiplikation? Drehmatrix und Eigenwerte sowie Eigenvektoren Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Kurvenlängen Flächen, Normalenvektor Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen Bisher ausgelassener Stoff: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Helmert-Transformation Populationsmodell Spannungstensor Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Grundlagen der Wahrscheinlichkeit Biegelinien Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen Ausblicke: Raumgeometrie Ausblicke: Geometrie mit dem Computer Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)*	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 14	Nachträge zur Eigenwerttheorie Charaktteristisches Matrixpolynom Identische Inverse Symmetrische Matrix EW von Transpoonierten und Inversen Matrixpotenzen Test Gruppenarbeit: Vorbereitung Kurzvorträge - gewählt worden sind: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Helmert-Transformation Spannungstensor Biegelinien Gruppeneinteilung siehe Übungen *Selbststudium* Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Versuch der Berechnung eines Normalenvektors Problem der Kurvenlängen und Längen des Tangentenvektors (Repetition) Flächen, Normalenvektor (Repetition) Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen Das Problem der Lektüre wissenschaftlicher Texte Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (Übung im Lesen wissenschaftlicher Texte, nicht beendet) Bisher ausgelassener Stoff: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (begonnen) Helmert-Transformation Spannungstensor Biegelinien Populationsmodell Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Grundlagen der Wahrscheinlichkeit Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen Ausblicke: Raumgeometrie Ausblicke: Geometrie mit dem Computer Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)*	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 15	Vorträge vorbereiten: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (Vortrag Do gehalten) Helmert-Transformation (Vortrag vorbereitet) Spannungstensor (Vortrag vorbereitet) Biegelinien (Vortrag vorbereitet) Modulprüfung Sichtung: Modulprüfung vom letzten Jahr Übung - ein Geometrieproblem: Kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Fläche Arbeit an der letztjährigen Modulprüfung in Gruppen - mit Coaching *Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)* Arbeit an ehemaligen Modulprüfungen (Übungsprüfungen Vordiplom: Link) Sichtung: Modulprüfung vom letzten Jahr General-Repetition vorbereiten Bisher ausgelassener Stoff: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (Vortrag Do gehalten) Helmert-Transformation (Vortrag vorbereitet) Spannungstensor (Vortrag vorbereitet) Biegelinien (Vortrag vorbereitet) Populationsmodell Klothoiden Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Grundlagen der Wahrscheinlichkeit Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen Ausblicke: Raumgeometrie Ausblicke: Geometrie mit dem Computer Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)*	Selbststudium Siehe links Übungen
Wo 16 Hier sind wir angekommen	Vorbereitung Modulprüfung Algebra Sichtung Algebra-Teile: Modulprüfung vom letzten und vom vorletzten Jahr und vom vor-vorletzten Jahr Arbeit an der letztjährigen Modulprüfung in Gruppen - mit Coaching Prüfungstraining Hier sind wir angekommen *Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)* Arbeit an ehemaligen Modulprüfungen (Übungsprüfungen Vordiplom: Link) General-Repetition (siehe unten Bisher ausgelassener Stoff: Populationsmodell Klothoiden Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Grundlagen der Wahrscheinlichkeit Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen Ausblicke: Raumgeometrie Ausblicke: Geometrie mit dem Computer Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Größerer Exkurs* in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)* Hier sollte man angekommen sein (mit dem eigenen Arbeits- und Repetitionsplan) Hier sollte man angekommen sein mit der Neugier	Selbststudium Siehe links Übungen
S2 Woche	Hier sind wir angekommen	Grün = Vorjahr / Gelb = jetzt
oooooooo	Modulprüfung: Repetitionsplan (generell) Ehemalige Prüfungen Prüfungsbeschrieb (Version 10/11) Hinweis zur Prüfungsvorbereitung TutoringCoaching/RepetitionsplanVD.pdf (wird gegebenenfalls noch präzisiert) Test nach Abteilungsplan !!! ~~Di. 06.9.~~ !!! ~~Mittwoch, 14.9.2011~~, !!! Datum endgültig Di 6.9.11 !!! 08:30-10:30 + je ¼ h Vorspann und Abspann / Zimmer Bu 131(~~151?~~) Vorbereitung	Einiges wird ev. noch angesagt.... Vorbereitung: Do 25. 8. 2011 08:25 bis max.16:00 Mi 31. 8. 2011 08:25 bis max.16:00 Do 1. 9. 2011 08:25 bis max.16:00 Noch nicht vorhersehbar: Kollision mit Notenkonferenzen und anderen Anlässen nach Weisungen Raum auf dem Sekretariat erfragen

Top

Übungsliste (Anleitungen zu "Was ist wann zu tun?")

!!! Sehr wichtig !!!

Sprung zum aktuellen Ort in den Übungen
Sprung zum 2. Semester
Sprung zum behandelten Stoff
Zu lösende Übungsserien: Empfohlen sind jene Übungen, die neu sind. Dinge, welche man bereits sehr gut kann, sollen in der persönlichen Übungskontrolle (Self-management) mit "o.k." vermerkt werden.
Selbststudium (selbständig zu erarbeitende Themen oder zu bewältigende Repetitionen)
Administratives: Literatursuche, Literatur- und Materialbeschaffung, Arbeitsplatzeinrichtung, Time Management, strategische und operative Planung u.s.w.
Soziales: Planung von Gruppenarbeiten....
Material:
- Übungscheine
- Formelnbuch oder Mathematiklexikon
- Eventuell nach Lehrbuch (Umfang)
- Computer: Rechenprogramm (... u.s.w.)
Eintrag ins Porte-Feuille
- Notizen
- Zusammenfassungen zu den Themen: Begriffe, Zusammenhänge, Anwendungen, Stundennachweis (Handschriften)
- Zusätzlich ev. Computerausarbeitungen
- Handlösungen
- Projekte

Übungen und Arbeiten

Bemerk.

Wo 1

Trotz Ausfall der Lektionen während der ersten Woche infolge abteilungsübergreifender Planung müssen die Übungen der ersten Woche in das Arbeitsprogramm der Studierenden aufgenommen werden. Was in der ersten Woche nicht erledigt werden konnte muss in den späteren Wochen nachgearbeitet werden.

Internatmaterial sichten, studieren
Skripte: Download nach Angaben des Dozenten unter
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/MasterBau.html
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html#S4
- (oder http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html#Bau )
- Erst Basics und Trigonometrie ("Intern", Passwort!), Literatur, Übungsserien (Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w. beschaffen
Selbststudium:
- Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche)
- Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur Repetition)
Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungsschein!!!!
Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonometrie 1. Lektion 4. Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien.
Übungscheine
Problem: Montag Einführungstag, Mittwoch Unterricht, Freitag Abteilungsausflug

Download "Daten zu Learningmanagement Mathematik"
Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1 (WIR1 = Kürzel des Dozenten)
Skirpte:
- Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht)
- Zusätzlich Algebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der Skripte oben)
Selbststudium siehe links
Stoffbehandlung

Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1. Jahr Serie 01

Wo 2

Selbststudium:
- Weiter: Skript Teil Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche)
- Weiter: Selbststudium nach Skript: Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur Repetition)
- Weiter: Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein (Erklärungen einholen) !!!!
Ankündigung Kurztest, Vorschlag: Basics, Trigonomterie letzte Lektion 4. Woche. Link: Hier klicken. Ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.)

Selbststudium siehe links
Stoffbehandlung

Wo 3

Test: Datum festlegen, ==> Vorbereitung: Selbststudium
- Basics: Achtung Vorschlag: Den angekündigten Kurztest beachten! Link: Hier klicken
  - Verlegt: Basics, Trigonomterie letzte Lektion 5. Woche (keine Gegenvorschläge von der Klasse) ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.)
  - Siehe alte Tests unter den Link (siehe unter Wochen 4 oder 5, Lösungen daneben)
Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6

Selbststudium
- Kegelschnitte
- Lösungsmethoden von Gleichungssystemen
Test: Datum festgelegt: Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 4

Test: Datum festlegen, ==> Vorbereitung: Selbststudium
- Basics: Achtung Vorschlag: Den angekündigten Kurztest beachten! Link: Hier klicken
  - Verlegt: Basics, Trigonomterie letzte Lektion 5. Woche (keine Gegenvorschläge von der Klasse) ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.)
Selbststudium (Prüfungsvorbereitung):
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/MaterialAusZweiterHand/index_m.html#VK
Alter Test 1 studieren, siehe auch (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau )
Übungsserien: Serien 12, 13
Selbststudium: Man informiere sich über die Themen (gegebenenfalls Repetition)
- Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...)
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften (Selbststudium)
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Beispiele (Selbststudium nach Skript)
- Crashkurs Infinitesimalrechnung Link zu den Unterlagen (Skriptseite)

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 5

Nach dem Test: Test 1 nachbereiten, sofern notwendig: Korrekturdeckblatt ! ! !
- Testverbesserung, Testnachbereitung
- Lösungen: Link
Übungsserien: Serien 14, 15, 16
Selbststudium: ! ! !
- Diverse Eigenschaften von Funktionen (pos., neg., monoton wachsend, fallend lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol (Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)
- Beispiele von Funktionen auf den Zahlen, rekursiv definierte Funktionen
- Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium)
- Eigenschaften
- Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12
- Hauptsatz der Algebra
- Linearfaktoren
- Maximale Anzahl Nullstellen
- Exakte Anzahl im Komplexen
- Diagramme: Rationale und gebrochen rationale Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen
Materialbesorgung: Differentialrechnung (Skript downloaden, falls noch nicht vorhanden, Passwort!)

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 6

Testrückgabe, dazu Verbesserung, siehe: Korrekturdeckblatt (alte Version vom Vorjahr: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/MerkblattVerbesserungPruefungen.pdf )
Vorgeschlagen:
- Schema nach Ermessen auf der Grundlage der Erfahrungen: Max. 14 P.
- Mit Verbesserung max 20 P, 6 P für die Zusatzarbeit erhalten
Selbststudium I:
- Gauß-Klammer-Funktion,
- Signum-Funktion, Betrag und Signum, u.s.w.
  - Skript Zoo der Funktionen
  - Beispiele mit dem Rechner
- Einführung in die Problematik des Grenzwertbegriffs
  - Grenzwerte von Folgen
  - Nullfolge a_n = 1/n, Zusammenhang mit dem Höhensatz
  - Umkehrgraphen (reziprok skaliert)
  - Konvexe Schlingen in solchen Graphen
  - Existenz des Grenzwertes und Eindeutigkeit der Berührung der y-Achse
  - Rechnen mit Grenzwerten: Graphischer Nachvollzug der Arithmetik mit Grenzwerten
  - Eine Schlingen mit Grenzwert umfasst eine Andere, womit deren Grenzwert auch bekannt ist
  - Grenzwerte von Funktionen: Unabhängig wählbare Folgen auf der x-Achse und dazu abhängige Folgen auf der y-Achse
  - Komplizierte Grenzwertdefinition von Karl Weierstraß mit mehreren Quantoren
  - Der Limes x gegen unendlich (oder auch gegen x₀) von p(x)/q(x), wobei x₀ eine Nullstelle von q(x) ist: Ausdividieren, ganzer Anteil gibt Asymptote usw.
  - Der Limes von sin(x)/x an der Stelle x = 0 (geometrische Herleitung)
Übungsscheine Download: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html
Übungsserien: Serien 17, 18, 19 (soweit schon möglich)
Selbststudium II:
- Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu Funktionen, speziell:
- Eigenschaften von Polynomen
- Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12
- Übungen - Studium der Beispiele
- Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen
- Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n)
- Wichtig für Differentialrechnung: log_a(b x^c)
- Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen
- Beispiele, Übungen
Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 7

Übungsserien: Serien 20, 21, (soweit schon möglich, Auswahl treffen)
Materialbesorgung (für später): Integralrechnung (Skript downloaden / oder Klassensatz drucken)
Übungen
Übungsscheine: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html
Selbststudium:

Einfache Beispiele von Ableitungsfunktionen:
- Ableitung der konstanten Funktion
- Ableitung der linearen Funktion
- Ableitung der quadratischen Funktion
Summenregel, Linearitätsregel
Ableitung von xⁿ(Potenz von x, n natürliche Zahl)
Ableitung eines Polynoms (mit Linearitätsregel)
- Beispiele
Produktregel, Anwendung auf Potenzen, Ableitung der Quadratwurzel
Quotientenregel: f(x)/g(x) ableiten
- Beispiele

Ableitung von ln und sin
Daraus Ableitung von tan, cot = cgt, x^-(-n)
- Beispiele, Übungen
ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(m/n), x^-(-n), x^r
Ableitungen von log_a(b x^c)
Beispiele,Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x^-(-n) u.s.w.
Ableitung der Inversen
Anwendungen: Ableitung der Funktion e^x, von Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem und dann reellem Exponenten.
Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...

Ableitung der Umkehrfunktion
Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
Regel von Bernoulli
Ableitung von x^x
Exponentielles contra polynomiales Wachstum
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Beispiele, Arbeit an Übungen
Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von log_a(b x^c) etc.
Lineare Approximation,
Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium
Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,...
Beispiele - Arbeit an diesen
Übungen

Repetition:
- Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu Funktionen, speziell:
- Eigenschaften von Polynomen
- Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12
- Übungen - Studium der Beispiele
- Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen
- Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n)
- Wichtig für Differentialrechnung: log_a(b x^c)
- Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen
- Beispiele, Übungen

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 8

Übungsserien: Serien 22, 23, (Differentialrechnung, Auswahl treffen, soweit schon möglich)
Vorschau Serien 24, 25 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
Materialbesorgung (für später): Integralrechnung (Skript downloaden / oder Klassensatz drucken)
Selbststudium:
- Beispiele, Übungen
- ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(m/n), x^-(-n), x^r
- Ableitungen von log_a(b x^c)
- Verkettete Funktionen
- Kettenregel
- Ableitungen von log_a(b x^c)
- Ableitung der Inversen
- Ableitung der Funktion e^x,
- Ableitung von Wurzelfunktionen
- Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalem und dann reellem Exponenten usw.
  - Ableitung des ln des Betrags, x^(m/n), x^-(-n), x^r
- Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),...
- Beispiele, speziell Ableitung von x^x
- Regel von Bernoulli
- Exponentielles contra polynomiales Wachstum
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Beispiele, Arbeit an Übungen
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
- Differentiale
- Beispiele, Arbeit an Übungen
- Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von log_a(b x^c) etc.
- Lineare Approximation,
- Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium
- Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,...
- Beispiele - Arbeit an diesen
- Übungen
Anwendung: Nullstellenberechnung:
- Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen)
- Newton-Methode
- Regula Falsi
- Fixpunktverfahren
Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen
- Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele
Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html
Beispiele - Arbeit an diesen
Übungen und Arbeit an den Übungen

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 9

Übungsserien: Serien 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, (Differentialrechnung, Auswahl treffen)
Serien 24, 25 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
Selbststudium :
Anwendung: Nullstellenberechnung:
- Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen)
- Newton-Methode
- Regula Falsi
- Fixpunktverfahren
- Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html
Integralrechnung:
- Bestimmtes Integral
- Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen
- Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...)
- Quadratur der Parabel
- Übungen, Beispiele
- Intervallteilungen, Verfeinerungen
- Riemannsches Integral: Definition
- Integration durch Summierung (Grenzwert)
- Regeln und Mittelwertsatz
- Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
- Beispiele
- Integration von Potenzfunktionen
- Integration als linearer Operator
- Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
- Beispiele
- Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
- Beispiele

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 10

Übungsserien:
- Serien 24, 25 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
- Serien 26, 27, (28) (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
Selbststudium:
- Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele
- Integralrechnung:
  - Integration von Potenzfunktionen
  - Integration als linearer Operator
  - Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen
  - Beispiele
  - Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung
  - Beispiele
- Nachlesen im Wikipedia

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 11

Übungen:
- Werden demnächst gelinkt
- Serien 24, 25 (Integralrechnung, soweit noch notwendig)
- Serien 26, 27, (28) (Integralrechnung, soweit möglich)
- Serien 29, 30 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)
Selbststudium:
- Anwendungen der Integration:
  - Volumen eines Rotationskörpers
  - Länge einer Kurve (2D)
  - Oberfläche eines Rotationskörpers
  - Beispiele, Übungen
  - Schwerpunkte von Flächen
  - Beispiele
  - Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
  - Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
  - Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
  - Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
    - Beispiele zu Flächenmomenten
    - Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
  - Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 12

Auswahl aus den Übungsserien:
- Serien 26, 27, (28) (Integralrechnung, soweit noch notwendig)
- Serien 29, 30 (Integralrechnung, soweit schon möglich)
- Serien (II) 18, (II) 19, (II) 20, (II) 21, (II) 22, (soweit schon möglich)
Selbststudium I:
- Schwerpunkte von Flächen
- Fassregel ==> Selbststudium:
- Beispiele
- Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen
- Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment
- Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung)
- Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen
  - Beispiele zu Flächenmomenten
  - Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)
- Geeignete Substitutionen
- Beispiele
- Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen
Selbststudium II nach Skript:
- Einführung: Differentialgleichungen, Biegelinien
- Lineare D'Gl:
  - Lösung der homogenen Gleichung
  - Lösung der inhomogenen Gleichung
  - Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung
  - Beispiele
- Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie
  - Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
  - Schleppkurve
  - Kettenlinie
  - Klothoide
  - Zu- und Abflussprobleme
  - Knickungsprobleme

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 13

Auswahl aus den Übungsserien:
- Serien 29, 30 (Integralrechnung, soweit noch notwendig)
- Serien (II) 18, (II) 19, (II) 20, (II) 21, (II) 22 (soweit noch notwendig und schon möglich)
- Serie 08, 09 , (II) 13(soweit schon möglich)
Selbststudium:
- Trägheitsmomente
  - Weitere Arten von Trägheitsmomenten (polares usw.)
  - Satz von Steiner
- Differentialgleichungen:
  - Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen
    - Für 1. Ordnung
    - Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer Ordnung
- Beispiele für Lösungsmethoden
  - Separable D'Gl
  - Geeignete Substitutionen
  - Beispiele
- Lineare D'Gl:
  - Lösung der homogenen Gleichung
  - Lösung der inhomogenen Gleichung
  - Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung
  - Beispiele
  - Hinweise: Kettenlinie, Klothoide
- Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck"
- Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript)
- Schleppkurve
- Kettenlinie
- Klothoide
- Zu- und Abflussprobleme
- Knickungsprobleme
Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
- Erzeugung von 3D-Graphiken
- Zoo der Funktionen, Beispiele
- Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS (ParametricPlot3D)
- Höhenkurven (ContourPlots)
- Richtungsableitung
- Gradient
- Bedeutung des Gradienten
- Beispiele
- Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
- Beispiele

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 14

Auswahl aus den Übungsserien:
Serien (II) 18, (II) 19, (II) 20, (II) 21, (II) 22, 08, 09 (soweit noch notwendig und schon möglich)
(II) 13, (II) 14, (II) 15, (II) 16 (II) 1 7 (so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung)
Selbststudium:
- Differentialrechnung mit mehreren Variablen:
  - Erzeugung von 3D-Graphiken
  - Zoo der Funktionen, Beispiele
  - Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS (ParametricPlot3D)
  - Erzeugung von 3D-Graphiken, diverse Risse, Höhenkurven
  - Beispiele
  - Richtungsableitung
  - Gradient
  - Minimum, Maximum, Beispiele
  - Bedeutung des Gradienten (erste Feststellungen)
  - Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen
  - Beispiele
- "Approximationstheorie"
  - Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen?
  - Wie berechnen?
    - Taylorpolynome, Tauglichkeit dieser Approximation?
    - Reihentheorie, Konvergenzkriterien
    - Potenzreihen
  - Taylorpolynome:
    - Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome
    - Approximation durch Taylorpolynome
    - Beispiele on-line (Computeralgebra)
    - Funktion = Potenzreihe + Restglied
    - Die Problematik des Restglieds
    - Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel
  - Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
    Gerade, Kreis
  - Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen
    - Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x
    - Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied)
    - Endliche und unendliche Reihe, Reihe
    - Harmonische Reihe, Divergenz
    - Alternierende Reihe und Konvergenz
    - Leibnizreihe
    - Geometrische Reihe
    - Majorantenkriterium
    - Zusammenhang zu Potenzreihe
    - Endliche und unendliche Reihe, Reihe
    - Beispiele

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 15

Auswahl aus den Übungsserien:
- Serie (II) 31
- Serie 08, 09
- (II) 13, (II) 14, (II) 15, (II) 16 ,(II) 1 7 so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung
Selbststudium:
- Repetition gesamter Stoff
- Vorbereitung speziell des neuen Stoffs für den Test
  - Stoff ab Funktionen
  - Differentialrechnung
  - Integralrechnung
  - Differentialgleichungen
  - Differentialrechnung mit mehreren Variablen

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 16

Auswahl aus den Übungsserien und Sichten von Spezialthemen:
- 24, 25, 26, 27, (28) 29, 30, 18, 1 9, 20, 21, 22, 31, 08, 09, 13, 14, 15, 16 17, 13, 09 (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
Selbststudium:
- Vorbereitung der Modulprüfung
  - Gesamtrepetition des Stoffes nach eigenem Repetitionsplan!
  - Lösen ehemaliger Testaufgaben!
- Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis,
  Gerade, Kreis
- Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen
  - Endliche und unendliche Reihe, Reihe
  - Harmonische Reihe, Divergenz
  - Alternierende Reihe und Konvergenz
  - Leibnizreihe
  - Geometrische Reihe
  - Majorantenkriterium
  - Quotientenkriterium
  - Wurzelkriterium
  - Zusammenhang zu Potenzreihe
  - Endliche und unendliche Reihe, Reihe
  - Beispiele
  - Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen
  - Integration und Differentiation von Potenzreihen
  - Beispiele
  - Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen
  - Berechnung der Richtung des Tangentenvektors

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

UFZ

Modulprüfung siehe Ankündigung

Übungen und Arbeiten

Bemerk.

Wo 1

Skript: Siehe Skriptseite für Bauingenieure
Übungen
- Uebungen2/Serie_011.pdf
- Uebungen2/Serie_021.pdf
24, 25, 26, 27, (28) 29, 30, 18, 1 9, 20, 21, 22, 31, 08, 09, 13, 14, 15, 16 17, 13
Selbststudium
- Standardbasis, ONS
- Komponentendarstellung
  - Zerlegung nach vektoriellen Komponenten
  - Zerlegung nach skalaren Komponenten
- Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren)
- Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor
- Differenz, Inverser
- Geometrische Bildung der Differenz
- Gleichheit von Vektoren
- Euklidsche Länge (Definition)
- Linearkombination, Vektorketten
- Unterräume
- Definitionen
  - Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium
  - Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium
- Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./ Unabhängigkeit
- Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum)
- Lineare Hülle einer Vektormenge
- Erzeugendensystem
- Basis als minimales Erzeugendensystem
- Dimension
- Anwendungen:
  - Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode
  - Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors in einer neuen Basis
  - Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung
- Basiswechsel
- Einleitung p.1, 2
- Beispiele p. 4, 5, 6

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 2

Übungen
Selbststudium:
Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele
Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele
Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung
Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w.
Normalenvektor und Koordinatengleichung
Beispiele

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 3

Übungen
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_051.pdf
Studium alter Test als Zwischenübung
Selbststudium:
Weiter mit komplexen Zahlen:
- Das Problem des Potenzierens: Diverse verschiedene komplexe Zahlen führen zu denselben höheren Potenzen.
- Beim Radizieren ist daher die n-te Wurzel n-fach mehrdeutig.
- Daher ist beim Rechnen mit Taschenrechner Vorsicht geboten. Man muss die ausgegebenen n--ten Wurzeln jeweils auch interpretieren können.
Vektoren:
- Orthogonalzerlegung
- Beispiele
- Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem Flächenprodukt
- Vektorprodukt
- Definition
- Eigenschaften
- Berechnung Vektorprodukt
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 4

Übungen
- Was aus den Serien 011-051 (3 letzte Wochen) noch nicht erledigt worden ist.
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_061.pdf
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
  - http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf
  - http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf
Selbststudium:
Berechnung Vektorprodukt
- Gesetze
- Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems
- Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele:
- Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
- Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
- Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
- Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Anwendungen in der Statik und Mechanik
Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor
Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung
Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt
Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Definition
- Regeln
- Regeln geometrisch
- Beispiele
- Berechnung (Determinante, Sarrus)
- Verallgemeinerung, Determinantengesetze (Hinweise)
- Sarrus gilt nicht für n > 3: Begründung, Hinweis (ev. später bei allgemeiner Determinantenberechnung)
- Abstandberechnung
- Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen mit Determinanten
- Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen
- Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung später)
Anwendungen in der Statik und Mechanik
Kreis, Kugel, Beispiele
Kegel, Beispiele
Zylinder
Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen
Beispiele
Tangente an eine Kurve
Tangentialebene an eine Fläche
Zylinder, Beispiele
Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
Beispiele
Beginn mit Matrizen
- Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
- Gleichheit
- Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix
- Matrizen und Gleichungssysteme

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 5

Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt
- Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6:
- Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich
Selbststudium:
Kreis, Kugel, Beispiele
Kegel, Beispiele
Zylinder
Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen
Beispiele
Tangente an eine Kurve
Tangentialebene an eine Fläche
Zylinder, Beispiele
Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele
Beispiele
Beginn mit Matrizen
- Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema
- Gleichheit
- Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix
- Matrizen und Gleichungssysteme
Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik
Gleichheit von Matrizen
Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen:
- Bedeutung: Volumeninhalt
- Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat)
  - Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1
  - Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors
  - Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor)
  - Distributivgesetz
- Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert, da berechenbar
Anwendungen des Entwicklungsatzes
- Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar
- Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer anderen solchen addiert werden. Dann ändert die Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente.
Anwendungen, Beispiele
Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht mehr vorstellen kann.

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 6

Literaturstudium:
Kapitel über Matrixmultiplikation und Determinantenberechnung in einem Lehrbuch eigener Wahl studieren. Ein verschiedener Zugang zeigt die Sache immer von einer anderen, ebenfalls wichtigen Seite. Dadurch wird das Verständnis vertieft.
Übungen: Serien I 32/33, soweit weiter möglich
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf
Grosses Selbststudium:
Testvorbereitung
Determinantenberechnung
- Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen:
  - Bedeutung: Volumeninhalt
  - Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat)
    - Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1
    - Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors
    - Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor)
    - Distributivgesetz
  - Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert, da berechenbar
- Anwendungen des Entwicklungsatzes
  - Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar
  - Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer anderen solchen addiert werden. Dann ändert die Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente. (Diagonalisierung)
- Anwendungen, Beispiele
  - Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht mehr vorstellen kann.
  - Test auf lineare Abhängigkeit: Determinante = 0
  - Cramersche Regeln und Beurteilung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen:
    - Nennerdeterminante und Zählerdeterminanten auf gleich 0 testen, drei Fälle: exakte Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
    - Gleichungssysteme mit rationalen Koeffizienten haben rationale Lösungen
- Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren Determinante:
  - Entwicklungssatz
  - Determinante der Transponierten
  - Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung
- Anwendung auf Determinanten: (n x n)-Matrix mit Faktor k strecken ==> Determinante mit Faktor kⁿ strecken
- Beispiele
Matrixprodukt
- Berechnung des Matrixprodukts
- Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..."
Regeln:
- Zusammen multiplizierbare Matrizen
- Kommutativität gilt nicht
- Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Inversen und Transponierten
- Matrixgleichungen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
Der Gauß-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
  - Multiplikation einer Gleichung in einem System
  - Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern
  - Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
  - Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Fälle, alle Gleichungen l.u.:
  - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
  - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
  - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 7

Übungen: Serien I 32/33/34, soweit schon möglich
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf falls nicht fertig gemacht
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf falls nicht fertig gemacht
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_34.pdf
- Prüfungsvorbereitung: Stoff seit dem letzten Test <===
- Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau (Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes beachten!)
- http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau Semester 2
- ==>Test (08/09) mit Lösungen: Lösungen (PDF) S.-Code_(.nb) (08/09)
- ==>Test (09/10) mit Lösungen: Lösungen (PDF) S.-Code_(.nb) (09/10)
Selbststudium:
- Berechnung des Matrixprodukts, Beispiele
- Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..."
Regeln:
- Zusammen multiplizierbare Matrizen "(m x n) (n x k) = (m x k)"
- Kommutativität gilt nicht (Beispiel)
- Matrixprodukt, Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz (Assoziativität des Matrixprodukts)
- Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix (Achtung wegen "(m x n) (n x k) = (m x k)")
- Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels
- Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch
- Gesetze für die Inverse, falls sie existiert (Problem der Kommutativität!)
- Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel
- Distributivgesetze
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
Der Gauß-Jordan-Algorithmus:
- Elementarumformungen:
  - Multiplikation einer Gleichung in einem System
  - Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern
  - Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge
  - Umbenennung der Variablen
- Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht.
- Rechts steht dann die Lösung...
- Rechnen von Beispielen
- Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
  - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
  - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 8

Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch nicht gemachten Aufgaben
Selbststudium:
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Matrixabbildung:
  - Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt
  - Parallelen gehen in Parallelen über
  - Streckenverhältnisse bleiben erhalten
  - Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten
  - Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren
  - Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ * det(A)
  - Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz
- Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen
  - Die Determinante der inversen Matrix
  - Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix
- Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge
- Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Matrixgleichungen
- Drehmatrizen
- Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
  - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
  - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 9

Nochmals, soweit noch nicht erledigt:
- Serien I 32/33/34/35: Noch nicht gemachte Aufgaben beenden.
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_35.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_36.pdf
Selbststudium, Repetition:
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Matrixabbildung:
  - Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt
  - Parallelen gehen in Parallelen über
  - Streckenverhältnisse bleiben erhalten
  - Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten
  - Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren
  - Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ * det(A)
  - Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz
- Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen
  - Die Determinante der inversen Matrix
  - Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix
- Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge
- Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Drehmatrizen
- Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
  - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
  - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Skript
  - Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung.
  - Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.

Selbststudium
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 10

Übungen:
Selbststudium, Repetition:
- Distributivgesetze
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Reguläre (Determinante ungleich 0) und singuläre (Det = 0) Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Matrixabbildung:
  - Das Bild einer Gerade ist eine Gerade oder ein Punkt
  - Parallelen gehen in Parallelen über
  - Streckenverhältnisse bleiben erhalten
  - Polygone lassen sich triangulieren in Dreiecke mit achsenparallelen Katheten
  - Andere Flächen lassen sich durch Polygone approximieren
  - Dreiecke und damit Polygone mit dem Inhalt F₀ (und damit beliebige Flächen) werden mit A abgebildet in ebensolche Polygone mit dem Inhalt F = F₀ * det(A)
  - Daraus folgt der Determinantenmultiplikationssatz
- Determinantenmultiplikationssatz, Anwendungen
  - Die Determinante der inversen Matrix
  - Nichtexistent der Inversen einer singulären Matrix
- Inverse eines Matrixprodukts = Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge
- Ebensolcher Satz für Transponierte Matrizen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Drehmatrizen
- Weiter mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Transponieren des Produkts und der Faktoren
- Rechnen mit Invesen und Transponierten
- Matrixgleichungen
- Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
  - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
  - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
- Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
- Berechnung durch rekursive Entwicklung
- Neu: Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren
- Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm)
- Drehmatrix

Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
Stoffbehandlung

Wo 11

Übungen:
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_071.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_081.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_091.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_101.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_111.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_121.pdf
Selbststudium
- Det = Produkt der EW
- Verschiebungsmatrix, projektive Koordinaten
- Drehmatrix im Raum
- Beispiele
- Determinantenmultiplikationssatz
- Potenzen von Matrizen
Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Verallgemeinerung der Additionsmethode
  - Elementarumformungen
  - Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen
  - Ziel Diagonalmatrix
  - Was passiert bei Rechtecksmatrizen
  - Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
  - Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
  - Beispiele
  - Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
  - Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
- Homogenes und inhomogenes SystemNulllösung als Triviallösung beim homogenen System
- Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen)
- Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit
- Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung
- Vektorraumstruktur der homogenen Losungen
- Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit
- Inhomogene und partikuläre Lösung
- Beispiele
Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
Berechnung durch rekursive Entwicklung
Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm)
Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren
Matrizen und lineare Abbildungen
- Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren der ONB
- Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors
- Definition Kern und Image
- D_f Vektorraum ==> auch Kern und Image
- Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kern_senkrecht
- Dim D_f = Dim Kern + Dim Im
- Abbildung von Geraden, Ebenen, Hyperebenen....
- Beispiele, Repetition:
  - Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind die Spaltenvektoren der Matrix.
  - Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der verwendeten Vektoren
    - Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der Kern Dimension null hat.
    - Sonst ist das Bild ein Punkt
    - Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension null hat usw.
Drehmatrix..
Anwendung auf Probleme wie
- Drehmatrix in der Ebene
- Streckungsmatrizen
- Projektion auf eine Gerade in der Ebene
- Projektion auf eine Ebene im Raum
- Drehung um eine Achse im Raum
- Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Spiegelung an einer Ebenen im Raum
- Beispiel:
  - Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung.
Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung.
Beispiele mit dem Computer
Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
Vektorkurven im R² und im R³
Glatte Kurven und Spitzen
Beispiele
Rep. Vektorfunktionen
Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
Kurvenlängen
Flächen, Normalenvektor
Tangenten an Flächen
Inhalte von Funktionsflächen
Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 12

Übungen:
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_091.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_101.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_111.pdf
- http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_121.pdf
Selbststudium:
Rep.: Nochmals Drehungen, Drehmatrix:
- Drehmatrix in der Ebene
- Streckungsmatrizen
- Projektion auf eine Gerade in der Ebene
- Projektion auf eine Ebene im Raum
- Drehung um eine Achse im Raum
- Drehung durch Abbildung auf das Standard-KS, dort drehen, Rückabbildung
- Problem der Normierung des KS bei Drehungen (Drehungen auf Ellipsen)
- Drehung im KS mit der Drehachse, Berechnung der dort vorhandenen Koord.
- Beispiele
- Drehmatrix..
- Anwendung auf Probleme wie
- Spiegelung an einer Geraden in der Ebene
- Spiegelung an einer Ebenen im Raum
- Beispiel:
- - Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung.
Gleichungssysteme
- Gauß-Jordan-Algorithmus: Fälle, in denen alle Gleichungen l.u.:
  - Verallgemeinerung der Additionsmethode
  - Elementarumformungen
  - Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen
  - Ziel Diagonalmatrix
  - Was passiert bei Rechtecksmatrizen
  - Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
  - Fälle, alle Gleichungen l.u.:
    - Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung
    - Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n
    - Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung
  - Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension
  - Beispiele
  - Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme
  - Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen
- Homogenes und inhomogenes System Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System
- Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen)
- Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit
- Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung
- Vektorraumstruktur der homogenen Losungen
- Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit
- Inhomogene und partikuläre Lösung
- Beispiele
Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
Berechnung durch rekursive Entwicklung
Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm)
Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung.
Beispiele mit dem Computer
Matrizen und lineare Abbildungen
- Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren der ONB
- Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors
- Definition Kern und Image
- D_f Vektorraum ==> auch Kern und Image
- Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kern_senkrecht
- Dim D_f = Dim Kern + Dim Im
- Abbildung von Geraden, Ebenen, Hyperebenen....
- Beispiele, Repetition:
  - Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind die Spaltenvektoren der Matrix.
  - Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der verwendeten Vektoren
    - Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der Kern Dimension null hat.
    - Sonst ist das Bild ein Punkt
    - Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension null hat usw.
Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
Vektorkurven im R² und im R³
Glatte Kurven und Spitzen
Beispiele
Rep. Vektorfunktionen
Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
Kurvenlängen
Flächen, Normalenvektor
Tangenten an Flächen
Inhalte von Funktionsflächen
Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)
Was passiert mit Eigenwerten und Eigenvektoren bei Matrixmultiplikation?
Drehmatrix und Eigenwerte sowie Eigenvektoren
Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
Link: Themenliste Mathematik Gruppenpraesentationen

Hauptprobleme:
1. Über optimale Lösungen bei überbestimmten Gleichungssystemen (Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen, Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen, Durchführung, Beispiele)
2. Über die Helmert-Transformation
3. Über die Biegelinie
4. Über den Spannungstensor
Nebenprobleme, wenn die Hauptprobleme vergeben sind:
1. Über die Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
2. Über Elementarsubstitutionen, übersetzt in die Sprache der Matrixmultiplikationen (Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus
3. Über Computermodelle, Simulationen (Populationsmodelle und Eigenwertprobleme
4. Über Rekursion und Iteration (Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung z.B. mit Jaccobi-Verfahren usw.)
5. Über Geometrie mit dem Computer, Raumgeometrie, Fraktale
6. Über die Anwendungen von komplexen Zahlen
7. Über die Anwendungen von Vektorfunktionen (Kurven, Flächen, Tangenten usw., Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion)
8. Über Wahrscheinlichkeit (dieses Thema wird nur unter besonderen Umständen vergeben, da es im nächsten Semester im Rahmen des Wahlpflichtmoduls Statistik behandelt wird)

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 13

Übungen:
Selbststudium
- Was passiert mit Eigenwerten und Eigenvektoren bei Matrixmultiplikation?
- Drehmatrix und Eigenwerte sowie Eigenvektoren
- Vektorkurven im R² und im R³
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Kurvenlängen
- Flächen, Normalenvektor
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
- Bisher ausgelassener Stoff:
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
  - Helmert-Transformation
  - Populationsmodell
  - Spannungstensor
  - Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
  - Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
  - Biegelinien
  - Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen
  - Ausblicke: Raumgeometrie
  - Ausblicke: Geometrie mit dem Computer
- Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
- Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
- Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
- Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 14

Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten:
- Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe
  - http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2007 (Unter "Bau")
  - http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2008 (Unter "Bau")
  - http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2009 (Unter "Bau")
  - http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2010 (Unter "Bau")
Gruppeneinteilung Kurzvorträge, Gruppeneinteilung:
- Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen: v. Weissfluh / Siegel / Perren/ Fontanellaz/ Schwab, Zingre
- Helmert-Transformation: Anderegg/ Kobel/ Probst / Jenni/ 2 x Jutzi/ ...
- Spannungstensor: Ackeret/ Berger/ Czelustek/ Reza/ Sinadzic/ ...
- Biegelinien: Hübner/ Lüdin/ Sollberger/ Märki/ Kappeler/ Meier/ ...
Selbststudium
- Vektorkurven im R² und im R³
- Glatte Kurven und Spitzen
- Beispiele
- Rep. Vektorfunktionen
- Tangentenvektor, Tangenten an Kurven
- Versuch der Berechnung eines Normalenvektors
- Problem der Kurvenlängen und Längen des Tangentenvektors (Repetition)
- Flächen, Normalenvektor (Repetition)
- Tangenten an Flächen
- Inhalte von Funktionsflächen
- Das Problem der Lektüre wissenschaftlicher Texte
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (Übung im Lesen wissenschaftlicher Texte, nicht beendet)
- Bisher ausgelassener Stoff:
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen (begonnen)
  - Helmert-Transformation
  - Populationsmodell
  - Spannungstensor
  - Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
  - Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
  - Biegelinien
  - Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen
  - Ausblicke: Raumgeometrie
  - Ausblicke: Geometrie mit dem Computer
- Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
- Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
- Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
- Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
- Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 15

Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)
- Arbeit an ehemaligen Modulprüfungen (Übungsprüfungen Vordiplom: Link)
- General-Repetition (siehe unten
- Bisher ausgelassener Stoff:
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen: v. Weissfluh / Siegel / Perren/ Fontanellaz/ Schwab, Zingre (Vortrag gehalten Do Wo 15)
  - Helmert-Transformation: Anderegg/ Kobel/ Probst / Jenni/ 2 x Jutzi/ ...
  - Spannungstensor: Ackeret/ Berger/ Czelustek/ Reza/ Sinadzic/ ...
  - Biegelinien: Hübner/ Lüdin/ Sollberger/ Märki/ Kappeler/ Meier/ ...
  - Populationsmodell
  - Klothoiden
  - Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
  - Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
  - Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen
  - Ausblicke: Raumgeometrie
  - Ausblicke: Geometrie mit dem Computer
  - Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
  - Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
  - Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
  - Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
  - Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

Wo 16

Hier sind wir angekommen

Hier sind wir angekommen
Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)
- Arbeit an ehemaligen Modulprüfungen (Übungsprüfungen Vordiplom: Link)
- General-Repetition (siehe unten
- Bisher ausgelassener Stoff:
  - Populationsmodell
  - Klothoiden
  - Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ...
  - Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
  - Ausblicke: Beispiele zu Fraktalen
  - Ausblicke: Raumgeometrie
  - Ausblicke: Geometrie mit dem Computer
  - Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen.
  - Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen
  - Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele
  - Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele
  - Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion.
  - Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut)
Hier sollte man angekommen sein (mit dem eigenen Arbeits- und Repetitionsplan)
Hier sollte man angekommen sein mit der Neugier

Selbststudium:
- Siehe links
Stoffbehandlung

S1 Woche

Hier sind wir angekommen

Grün = Vorjahr / Gelb = jetzt

oooooooo

Modulprüfung:
- Repetitionsplan (generell)
- Ehemalige Prüfungen
- Prüfungsbeschrieb (Version 10/11)
- Hinweis zur Prüfungsvorbereitung
- TutoringCoaching/RepetitionsplanVD.pdf (wird gegebenenfalls noch präzisiert)
- Test nach Abteilungsplan !!! ~~Di. 06.9.~~ !!! ~~Mittwoch, 14.9.2011~~, !!! Datum endgültig Di 6.9.11 !!! 08:30-10:30 + je ¼ h Vorspann und Abspann / Zimmer Bu 131(~~151?~~)
- Vorbereitung

Einiges wird ev. noch angesagt....
Vorbereitung:
- Do 25. 8. 2011 08:25 bis max.16:00
- Mi 31. 8. 2011 08:25 bis max.16:00
- Do 1. 9. 2011 08:25 bis max.16:00
- Noch nicht vorhersehbar: Kollision mit Notenkonferenzen und anderen Anlässen nach Weisungen
Raum auf dem Sekretariat erfragen

Top

Stoffplan/ Input

a) Plan oder Hypothese:

Bisher: Basics, Trigonometrie, Einführung in die Stochastik, Funktionen, Differentialrechnung, Integralrechnung, Biegelinie, Matrizen und Determinantenrechnung	Neu: Funktionentheorie; Differential- und Integralrechnung, Taylorpolynome, Funktionen mit mehreren Variablen
	Aufteilung WS:SS = 8:6 = 4:3

Link zu Inhalt der bisherigen Skripts

Wo 1	Einführung, Basics
Wo 2	Basics (+Trigonometrie, Selbststudium)
Wo 3	Funktionen
Wo 4	Funktionen
Wo 5	Differentialrechnung
Wo 6	Differentialrechnung
Wo 7	Differentialrechnung
Wo 8	Differentialrechnung
Wo 9	Integralrechnung
Wo 10	Integralrechnung
Wo 11	Integralrechnung
Wo 12	Differentialrechnung mit mehreren Variablen
Wo 13	Differentialrechnung mit mehreren Variablen
Wo 14	Biegelinie
Wo15	Approximationen
Wo16	Approximationen
	Wechsel ins Sommersemester
	Neue provisorische Planung
Wo 1	Vektoralgebra
Wo 2	Vektoralgebra
Wo 3	Vektoralgebra
Wo 4	Vektoranalysis
Wo 5	Vektoranalysis Nachholen Matrizen und Determinanten
Wo 6	Matrizen und Determinanten
Wo 7	Matrizen und Determinanten Lineare Abbilldungen
Wo 8	Lineare Abbilldungen
Wo 9	Lineare Abbilldungen
Wo 10	Lineare Abbilldungen
Wo 11	Lineare Abbilldungen
Wo 12	Lineare Abbilldungen
Wo 13	Lineare Abbilldungen, Vorbereitung Modulprüfung
Wo 14	Vorbereitung Modulprüfung
Wo15	Vorbereitung Modulprüfung
Wo16	Vorbereitung Modulprüfung

Top

b) Erfahrung oder Realität 09/10 oder frühere und andere:

Siehe Archiv
Sprung zum 2. Semester
Sprung zu den Übungen

S1 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Ausfall der Lektionen während der ganzen Woche infolge abteilungsübergreifender Planung: Montag Einführungstag Mittwoch Lerntechnik Freitag Abteilungsausflug (==> Rückstand auf den bisherigen Plan)	Selbststudium: Siehe Übungen
Wo 2	Einführung, Vorstellung Learningmanagement, Organisation, Rahmen, Kommunikation via Internet 1. Koordinaten 2. Stoff 3. Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team 4. Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement 5. Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement ( Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...) 6. Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * abrufen * anwenden. // Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der Repetition 7. Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung 8. Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...) 9. Rechner, Computer, Mathematiksoftware 10. Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden) 11. Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur) 12. Zeitplanung Wozu Mathematik? Link Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik) Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w. Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels? Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist Zahl. Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre Kulturleistung Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente) Beispielhafte Beweise Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".) Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w. Modell und Wirklichkeit: Modell in der Sprache der Mathematik - Realität ==> Naturwissenschaft - Mathematik Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom Baum - Galilei, Newton "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die Idee der Gleichbewegung der Atome Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter - u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden - mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360 Grad contra rad. Wieso 360? Diverses Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute) Selbststudium: Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen, Schreibweise, leere Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt Basics: Achtung: Den angekündigten Kurztest beachten! Link: Hier klicken Regulärer Stoff: Kurzes Eingehen auf Mengen Operationen und Zahlen: Mengenidee, Beziehungen, Mengendarstellungen, Schreibweise, leere Menge, Grundmenge, Komplement, Mengendifferenz. Mengenprodukt (Schreibweise...) Zahlenaufbau: P, N, N₀, Z, Q, R, C, Enthaltensein, Zahlenmengenerweiterung (wenn eine Gleichung nicht gelöst werden kann...) Unendlichkeit von P Wurzel aus 2 irrational (Beweis) - (transzendente) Zahlen e, Pi, Dezimalbruchentwicklung, Kettenbruchdarstellung Selbststudium: Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2 Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e Logarithmengesetze Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem Koordinatensystem, R Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien Quadratisch: Lösungsformeln Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch) Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode. Ausweg: Numerisch, Graphisch..... Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren. Betragsgleichungen: Betrag durch potenzieren eliminieren. Graphische Lösung Fallunterscheidungen Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie Exponenten gleich Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles unter den Logarithmus => Numerus vergleichen Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus	Selbststudium: Siehe links
Wo 3	Annäherung durch Intervallschachtelung, Bsp. Wurzel aus 2 Repetition Potenzen, Regeln, Ausdehnung auf reelle Exponenten Repetition Logarithmen (Exponenten) zu einer Basis a, ln: Basis e Repetition Logarithmengesetze Typen von Gleichheitszeichen und Gleichungen: Bijektion, Aussage, Funktionsgleichung, Wertzuweisung, Bestimmungsgleichungen,... Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien Quadratisch: Lösungsformeln Vieta Grad 3, 4: Formeln von Cardano (Formelbuch) Wurzel = positive Wurzel, sonst Vorzeichen Wurzelgleichungen: Wurzeln durch potenzieren eliminieren Betragsgleichungen: Betrag durch potenzieren eliminieren Betrag von x und Signum von x Graphische Lösung Fallunterscheidungen Grad größer 4: Keine allgemeine exakte Lösungsmethode. Ausweg: Numerisch, Graphisch..... Bemerkungen zu Gleichungen höheren Grades und anderen Problemen Exponentialgleichungen: Basis gleich machen, wegen Monotonie Exponenten gleich Logarithmische Gleichungen: Basen gleich machen, jeweils alles unter den Logarithmus => Numerus vergleichen Trigonometrische Gleichungen: Diverse Methoden. Goniometrische Formeln verwenden. Z.B. Pythagoras für Sinus und Cosinus.... Weitere Arten von Bestimmungsgleichungen (Systeme) und Lösungsstrategien Mit einer oder mehreren Unbekannten (linear: geometrisch einfache Gebilde wie Punkte Geraden, Ebenen,...) Linear: Systeme Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene Systeme. Homogenes System: Immer Nulllösung Lösungsmenge geometrisch interpretierbar, gemeinsame Lösungen von Gleichungen: Schnittmenge Anzahl Lösungen, Möglichkeiten: Widerspruch (keine Lösung), exakt eine Lösung, unendlich viele Lösungen (geometrisches Gebilde, lineare Mannigfaltigkeit). Beispiel Gauss-Jordan, Beispiel Vorgreifendes Selbststudium: Methoden: Matrixmethode Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch: Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform) Gleichsetzungsmethode Einsetzungsmethode (Austauschverfahren) Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel ==> Selbststudium ===> Ende Basics Repetition	Selbststudium Kegelschnitte Lösungsmethoden von Gleichungssystemen Test: Datum festgelegt: 12.10.2009, Vorbereitung: Selbststudium
Wo 4	Repetition und Ausbau: Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen Methoden: Additionsmethode (Elementarsubstitutionen, systematisch: Gauss-Jordan-Verfahren, Dreiecksform) Gleichsetzungsmethode Einsetzungsmethode (Austauschverfahren) Cramersche Regeln (Determinantenverfahren) Matrixmethode Das Problem mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem Koordinatensystem, R \|P\| = \|N\| = \|Z\| = \|Q\| < \|R\| .... Repetitionsblock (zur Prüfung) Crashkurs Infinitesimalrechnung Link zu den Unterlagen (Skriptseite) .... Selbststudium: Beziehung zwischen 0 und unendlich, Grenzwerte Funktionen Probleme mit dem Unendlichen, Darstellung von Q in einem Koordinatensystem, R Begriff, Problem (keine Pfeile auseinander) D_f ,W_f , Intervalle Graphen Implizite Funktion Beispiele Diverse Eigenschaften (pos., neg., monoton wachsend, fallend lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Asymptote, Pol (Bedeutung des Begriffs), periodisch u.s.w.)	Selbststudium: Siehe links
Wo 5	Test Funktionen: Diverse Funktionen Beziehung zwischen 0 und unendlich, Das Problem der Grenzwerte Begriff der Funktion allgemein, Problem (keine Pfeile auseinander) D_f ,W_f , Intervalle abgeschlossen offen halboffen einseitig unendlich beidseitig unendlich punktierte Umgebung Diverse Graphen Implizite Funktion Beispiele Diverse Eigenschaften positive, negative Funktion streng monoton wachsende, fallende Funktion monoton wachsende, fallende Funktion Extrema: Lokales oder globales Extremum, Maximum, Minimum, Randextrema Asymptote, Berechnung Pol und Gauss'sche Zahlenkugel (Bedeutung des Begriffs) periodische Funktion u.s.w. Selbststudium: Beispiele von Funktionen auf den Zahlen Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium) Eigenschaften (Selbststudium) Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Hauptsatz der Algebra Linearfaktoren Maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl im Komplexen Diagramme: Rationale und gebrochen rationale Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Selbststudium: Testverbesserung	Selbststudium: Siehe links
Wo 6	Testrückgabe Grenzwerte Stetigkeit Regeln für die Stetigkeit Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...), Eigenschaften Konstante Funktion Lineare Funktion Quadratische Funktion Kubische Funktion Polynomfunktion höheren Grades Diagramme, Variation von Parametern (Computer) Eigenschaften (Selbststudium) Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Hauptsatz der Algebra Linearfaktoren Maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl im Komplexen Beispiele (Selbststudium nach Skript) Gleichheit von Polynomen Kurze Besprechung der meist schon bekannten Funktionstypen (Repetition): Ganz und gebrochene rationale Funktion (Polynom durch Polynom) Graphen Verhalten weit außen, Grenzwerte, Pole, Asymptoten Exponentialfunktion und Inverse dazu: Logarithmusfunktion Nochmals Umkehrfunktionen Hyperbolische Funktionen und Inverse dazu: Areafunktion Darstellung mit Ln Eigenschaften des Ln Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen Selbststudium: Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu Funktionen, speziell: Eigenschaften von Polynomen Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Übungen - Studium der Beispiele Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n) Wichtig für Differentialrechnung: log_a(b x^c) Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen Beispiele, Übungen Übungsscheine: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html	Selbststudium: Siehe links
Wo 7	Repetition: Eigenschaften von Polynomen, quadratische, kubische u.s.w. Funktion, trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen, hyperbolische Funktionen und Areafunktionen Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n), log_a(b x^c) Gauß-Klammer-Funktion, Signum-Funktion, Betrag und Signum, u.s.w. Verkettete Funktionen Die Idee der Differentialrechnung, Herkunft Tangentenproblem (Tangentensteigung )und Probleme der Physik, z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung Sehnensteigung und Differenzenquotient Limes des Differenzenquotienten: Differentialquotient und Ableitungsfunktion Differenzierbarkeit Schreibweisen nach Leibniz und nach Newton Differentiale, infinitesimale "Größen" Einfache Beispiele von Ableitungsfunktionen: Ableitung der konstanten Funktion Ableitung der linearen Funktion Summenregel, Linearitätsregel Ableitung von xⁿ(n natürliche Zahl) Ableitung eines Polynoms Beispiele Produktregel, Anwendung auf Potenzen, Ableitung der Quadratwurzel Quotientenregel: f(x)/g(x) ableiten Beispiele Ableitung von ln und sin Verkettete Funktionen Verkettete Funktionen Kettenregel ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(m/n), x^-(-n), x^r Ableitungen von log_a(b x^c) Beispiele,Übungen: cos, und damit tan, cot = cgt, x^-(-n) u.s.w. Ableitung der Inversen Anwendungen: Ableitung der Funktion e^x, von Wurzelfunktionen und dann Potenzfunktionen mit rationalem und dann reellem Exponenten. Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Selbststudium: Beispiele, speziell Ableitung von x^x Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Regel von Bernoulli Ableitung von x^x Exponentielles contra polynomiales Wachstum Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiele, Arbeit an Übungen Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von log_a(b x^c) etc. Lineare Approximation, Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,... Beispiele - Arbeit an diesen Übungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 8	Differentialrechnung Beispiele Speziell Ableitung von x^x Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Ableitung von log_a(b x^c) Ableitung von x^x Regel von Bernoulli Diverse Beispiele Exponentielles contra polynomiales Wachstum Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiele Lineare Approximation und Ausblick auf Potenzreihen Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos, Animationen Kurvendiskussion: konvex und konkav notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema Fehlerrechnung und lineare Approximation *Selbststudium:* Differentiale Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Newton-Methode Regula Falsi Fixpunktverfahren Selbststudium: Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html Beispiele - Arbeit an diesen Übungen und Arbeit an den Übungen Neues Skript: Integralrechnung: Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition Integration durch Summierung (Grenzwert) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 9	Differentialrechnung: Repetition konkav, konvex, Regel von Bernoulli,.. Differentiale Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Newton-Methode Regula Falsi Fixpunktverfahren Selbststudium: Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html Beispiele - Arbeit am 12-Punkte-Programm (Übungen - Arbeit an den Übungen) Integralrechnung: Neues Skript Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen, Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition / andere Integrale Integration durch Summierung (Grenzwert) bei stetigen und monotonen Funktionen, Existenz Integration bei nicht monotonen und nicht stetigen Funktionen (Zusammensetzung) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Selbststudium: Integralrechnung: Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 10	Integralrechnung: Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele Substitutionsregeln als Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung (1. Art und 2 Art, Verwendung in 2 Richtungen) Beispiele Partialbruchzerlegung *Selbststudium:* Anwendungen der Integration: Volumen eines Rotationskörpers Länge einer Kurve (2D) Oberfläche eines Rotationskörpers Beispiele, Übungen Schwerpunkte von Flächen Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson) Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen \|P\| = \|N\| = \|Z\| = \|Q\| = \|[0,1)\| = \|R\| = \|R2\| = \|Rn\| < \|P(R)\| < \|P(P(R))\| <…. und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter Abzählbarkeit Kardinalzahl_(Mathematik) Reelle_Zahl Cantor cantprob	Selbststudium: Siehe links
Wo 11	Anwendungen der Integration: Volumen eines Rotationskörpers Länge einer Kurve (2D) Oberfläche eines Rotationskörpers Beispiele, Übungen Physik und Bedeutung des Trägheitsmoments Schwerpunkte von Flächen Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Sätze dazu: Additionssatz, Satz von Steiner Beispiele zu Flächenmomenten *Selbststudium:* Weiter mit Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson)	Selbststudium: Siehe links
Wo 12	Numerische Methoden der Integration Rechtecksmethode, Obersummen, Untersummen und Zwischensummen Trapezmethode Beispiele, Übung Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen Beispiele Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen Beispiele von Differentialgleichungen Klassifikation: Gewöhnliche contra partielle Differentialgleichungen Ordnung einer Differentialgleichung Implizite contra explizite Differentialgleichung Lineare Differentialgleichung Beispiele: Schwingungsgleichung, Knickungsgleichung, Wachstumsgleichung Lösen durch erraten einer Lösung Existenzproblem, Eindeutigkeitsproblem, Stabilitätsproblem für eine Lösung Graphische Methode: Linienelement und Richtungsfeld, Lösungen graphisch beschreiben Existenz- und Eindeutigkeitsbedingungen Für 1. Ordnung Für Systeme 1. Ordnung und damit für eine Gleichung höherer Ordnung Beispiele für Lösungsmethoden Separable D'Gl Geeignete Substitutionen Beispiele Lineare D'Gl: Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung Beispiele Hinweise: Kettenlinie, Klothoide Selbststudium: Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck" Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Differentialgleichungen Computereinsatz: Lösung "auf Knopfdruck" Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme Weitere Probleme, Beispiele Testvorbereitung Test Differentialrechnung mit mehreren Variablen Erzeugung von 3D-Graphiken Zoo der Funktionen, Beispiele Parametrisierte Plots in nichtkartesischen KS (ParametricPlot3D) Höhenkurven (ContourPlots) Selbststudium Differentialrechnung mit mehreren Variablen: Richtungsableitung Gradient Bedeutung des Gradienten Beispiele Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 14	Repetition Differentialrechnung mit mehreren Variablen Erzeugung von 3D-Graphiken, diverse Risse, Höhenkurven Beispiele Richtungsableitung Gradient Bedeutung des Gradienten Minimum, Maximum, Beispiele Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen Beispiele "Approximationstheorie" Klothoide, Fresnel-Integrale: Wie berechnen? Wie berechnen? Taylorpolynome, Tauglichkeit dieser Approximation? Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Taylorpolynome: Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome Approximation durch Taylorpolynome Beispiele on-line (Computeralgebra) Funktion = Potenzreihe + Restglied Die Problematik des Restglieds Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel Selbststudium: Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis, Gerade, Kreis Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Zusammenhang zu Potenzreihe Endliche und unendliche Reihe, Reihe Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Repetition: Taylorpolynome: Entwickeln einer Funktion in eine „Polynomreihe „ (Potenzreihe,. Konvergenzfrage) Frage 1: Gegeben Funktion, Gesucht: Taylorreihe. ==> Taylorpolynome. Entwickeln einer Funktion in eine „Polynomreihe „ (Potenzreihe,. Konvergenzfrage) Zusammenheften einer Funktion und einer Potenzreihe in einem Punkt: Funktionswert und Werte aller n Ableitungen müssen übereinstimmen ==> Taylorpolynome Approximation durch Taylorpolynome Beispiele on-line (Computeralgebra) ==> Selbststudium Funktion = Potenzreihe + Restglied Die Problematik des Restglieds: Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) ==> Selbststudium Restgliedabschätzung (erst die einfachsten Fälle), Restgliedabschätzungsformel Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Zu Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Umkehrung der Fragestellung: Gegeben Potenzreihe. Frage: Welche Funktion ist das, wann konvergiert die Reihe? Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Endliche und unendliche Folge, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz p-Reihen: Abschätzung mittels 1/x^p Divergenzbeweis mittels Mayorante Alternierende Reihe und Konvergenz: Existenzaussage. Berechnung? Leibnizkriterium Spiel mit der alternierenden harmonischen Reihe: "Herleitung" von Unsinn Leibnizreihe: Konvergenz Geometrische Reihe Majorantenkriterium Beispiele von Berechnungen Quotientenkriterium Wurzelkriterium Zusammenhang zu Potenzreihen Beispiele Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen Integration und Differentiation von Potenzreihen Beispiele Selbststudium Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen Berechnung der Richtung des Tangentenvektors	Selbststudium: Siehe links Sichten von Spezialthemen
Wo 16	Exkurs: Polyeder Die platonischen Körper, archimedische Körper und catalanische Körper, Johnsonkörper, Prismen u.s.w. Wieso es nur 5 platonische Körper gibt Gummigeometrie, Graphen Geschlecht eines Polyeders Eulersche Polyederformel Repetition: Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in der Sprache der Mathematik Das Scharnier zwischen Mathematik und Logik als Geisteswissenschaften und den deskriptiven Naturwissenschaften. Dazu die Rolle der Statistik. Historische Grundlagen Maxime (Albertus Magnus, Guericke, Descartes, Kopernikus, Galilei, Brahe, Kepler als Hofastrologe bei Rudolf II mit Harmonica Mundi und den keplerschen Gesetzen, Bürgi mit der Uhr und dem Quantensprung in der Zeitmessung, Newton und die Nachfolger, Lavoisier, usw.) Realität und Modell - deduktiv und induktiv - theoretisch und experimentell Kausalität und Analogie im Verhältnis zwischen Mathematik und Naturwissenschaft Das Problem der richtigen Frage: Nach dem "Wie" statt nach dem "Warum". Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/TEIL6dCrashKursWahrschKomb.pdf Das Problem des Zufalls und der versteckten Parameter Einzelerscheinungen scheinbar zufällig --- kontra Gesetze in Massenerscheinungen Historische Entwicklung Der Begriff der Gleichwahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit) Laplace-Experimente, Beispiele: Würfelspiele, Kartenspiele, Lotto,... Experimente ohne theoretisch bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung: Statistische Approximation der Wahrscheinlichkeit (relative Häufigkeit bei "unendlich vielen" Wiederholungen der Versuche) Statistisch gerechtfertigte Wahrscheinlichkeitsverteilungen contra mathematische Wahrscheinlichkeitsmodelle Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei Laplace-Experimenten Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers Denkwürdige Beispiele Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche Fälle Kombinatorik: Herleitung der Formeln Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/TEIL6dCrashKursWahrschKomb.pdf Permutationen mit und ohne Wiederholung Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen) Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen) Abschluss: Film über die Öresundbrücke, "eine technische Anwendung von Berechnung" Selbststudium: Selbststudium zur Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in der Sprache der Mathematik Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien, die nach einem Funktionszusammenhang ändern Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang Energieprobleme mit Federn, Drehfedern Impulsprobleme Kraft als Ableitung des Impulses Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der Abgeschlossenheit von Systemen Rakete Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens: Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen. Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w. Beispiele Literaturstudium und Literaturverständnis Beispiel Wasserüberfall Selbststudium: Anwendung der Approximationstheorie auf das Lösen von Differentialgleichungen Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten Differenzengleichungen Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen Praktische Durchführung einer Berechnung Beispiele Selbststudium: Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei Laplace-Experimenten Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers Denkwürdige Beispiele Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche Fälle Selbststudium: Kombinatorik Permutationen mit und ohne Wiederholung Kombinationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen) Variationen mit und ohne Wiederholung (zurücklegen)	Zum Galton-Brett u.s.w.: http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett http://www-computerlabor.math. uni-kiel.de/stochastik/holst/galton.html http://www.learn-line.nrw.de/angebote/ eda/medio/galton/galton.htm http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/ heiler/os/sim-board.html http://www.dietrichgrude.de/stochastik/ galton/galton.htm http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za204/ Javascript/galtonbrett/galtonbrett.htm ttp://www.fernuni-hagen.de/newstatistics/ applets/Galtonbrett/Galtonbrett.htm
S2 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AndereIntern/EWyl/Jahr2/001_Vektoralgebra_und_Vektoranalysis.pdf Vektoren: Repetition und Ausbau Koordinatensysteme: Rechts, links Vektoren: Erfahrungszugang Genaue Definition geometrischer Vektoren Gleichheit von Vektoren Typen: Frei (hier Normalfall), diverse Arten der Gebundenheit, Ortsvektroen Standardbasis, ONS Parallelogrammaddition: Gesetze (Abgeschlossenheit, Kommutativität, Assoziativität, neutrales Element, Inverses) Streckungsprodukt Operationen, Additive abelsche Gruppe, mit der Streckung mittels Skalaren Vektorraum (Regeln) Komponentendarstellung Zerlegung nach vektoriellen Komponenten Zerlegung nach skalaren Komponenten Herleitung von Gesetzen (z.B. geometrisch evident: Addition von Zeilenvektoren, Mult. mit Skalaren) Spezielle Vektoren als Zeilenvektoren: Einheitsvektor, Nullvektor Differenz, Inverser Gleichheit von Vektoren Euklidsche Länge Linearkombination, Vektorketten Unterräume Definitionen Lineare Abhängigkeit (l.a.), Kriterium Lineare Unabhängigkeit (l.a.), Kriterium Kollinearität, Komplanarität und lineare Abhängigkeit./ Unabhängigkeit Vektormengen geometrisch festgelegt als Vektoren parallel zu euklidschen Grundgebilden (Geraden, Ebenen, Raum) Lineare Hülle einer Vektormenge Erzeugendensystem Basis als minimales Erzeugendensystem Dimension Anwendungen: Addition in Komponenten, Rechtfertigung der Methode Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors in einer neuen Basis Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung	Selbststudium: Geometrische Bildung der Differenz Euklidsche Länge (Definition) Unterräume Basiswechsel Einleitung p.1, 2 Beispiele p. 4, 5, 6
Wo 2	Anwendungen: Das Problem des Stuhles mit drei oder vier Beinen: Aufteilung der Gewichtskraft in die Beine Test auf lineare Abhängigkeit und Darstellung eines Vektors in einer neuen Basis Basiswechsel Zerlegung eines Vektors in Komponenten, Vorspannung Die Vorspannung Rep. Euklidsche Länge Rep. Unterräume Parameterdarstellung der Geraden Koordinatengleichung der Geraden in der Grundebene Herleitung aus der Funktionsgleichung Herleitung aus der Parametergleichung Weitere Gleichungen Parameterdarstellung der Ebene Koordinatengleichung der Ebene im Raum Herleitung aus der Parametergleichung Weitere Gleichungen Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Beispiele Schnittpunkt zweier Geraden im Raum Gegenseitige Lage von Geraden: Windschief, parallel, zusammenfallend Gegenseitige Lage zweier Geraden: Parallel, zusammenfallend Kurze Einführung in die Flächenberechnung des Parallelogramms via Determinante: A=0 <==> Geraden parallel, Beispiele Beispiele Gegenseitige Lage zweier Ebenen: Allfällige Schnittgerade, Beispiele *Selbststudium:* Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei Punkte oder via Parameterelimination Projizierende Ebenen, Hauptebenen Skalarprodukt Idee Definition Gesetze Anwendungen Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene, Koordinatengleichung Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w. Normalenvektor und Koordinatengleichung Beispiele	Selbststudium: Siehe links *Zusätzlich Innopreis*
Wo 3	Selbststudium: Projizierende Ebenen, Hauptebenen Schnittgeradenberechnungen Raum: Beispiele, z.B. via zwei Punkte oder via Parameterelimination Skalarprodukt Idee Definition Gesetze: Bei Streckung mit Vektor, Was ist mit dem Assosziativgesetz? Kommutativität, Distributivität. Anwendungen: Skalarprodukt in Koordinaten in einem ONS Gültigkeit der Formel "Summe von Produkten" Anwendungen Skalarprodukt, Beispiele Normalenvektor auf eine Gerade, Ebene / Hyperebene, Koordinatengleichung Abstand einer Gerade, Ebene vom Ursprung u.s.w. Normalenvektor und Koordinatengleichung Beispiele Parallele Geraden oder Ebenen Berechnung des Fußpunktes Flächenprodukt Eigenschaften des Flächenprodukts Orthogonalzerlegung Beispiele Selbststudium Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem Flächenprodukt Vektorprodukt Definition Eigenschaften Berechnung Gesetze Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele: Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Anwendungen in der Statik und Mechanik Spezialanlass: Innopreis
Wo 4	Spezialanlass Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden mit dem Flächenprodukt Vektorprodukt Definition Eigenschaften Berechnung Gesetze Kontrolle der Orthogonalität, der Längen-Flächeninhaltsbeziehung, des Rechtssystems Beispiele: Inhalt, Ebenengleichung mit Senkrechtstehen, weitere Beispiele: Selbststudium: Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Anwendungen in der Statik und Mechanik
Wo 5	Flächeninhaltsberechnung, Gleichung der Ebene mit Normalenvektor Abstand Ebene-Ursprung, Gerade-Ursprung Ebene senkrecht zu gegebenen Ebenen durch einen Punkt Spatprodukt: Definition und Berechnung (Determinante, Sarrus) Definition Regeln geometrisch Beispiele Berechnung (Determinante, Sarrus) Verallgemeinerung, Determinantengesetze (Hinweise) Sarrus gilt nicht für n > 3: Begründung, Hinweis Abstandberechnung Cramersche Regeln, lösen von Gleichungssystemen Vektorielle Schreibweise von Gleichungssystemen Die allgemeine Idee der Determinante als Volumen mit Vorzeichen, definierbar mittels der Regeln aus dem 2- und 3-dimensionalen Raum (Ausführung später) Anwendungen in der Statik und Mechanik: Selbststudium Kreis, Kugel, Beispiele Kegel, Beispiele Zylinder Einführung in die Darstellung von Vektorkurven und Vektorflächen Beispiele Tangente an eine Kurve Tangentialebene an eine Fläche *Selbststudium:* Zylinder, Beispiele Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele Beispiele Beginn mit Matrizen Die Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema Gleichheit Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix Matrizen und Gleichungssysteme	Selbststudium: Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach Skript) Zylinder Kreistangenten, Tangentialebenen
Wo 6	Zylinder, Beispiele Tangenten an Kreis (Tangentialebene an Kugel), Beispiele Beispiele Beginn mit Matrizen Definition der Matrix: Matrix als rechteckiges Zahlenschema Gleichheit Diverse Typen: Transponierte, Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, Nullmatrix, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix, obere, untere Dreiecksmatrix Matrizen und Gleichungssysteme Allgemeine Determinanten von quadratischen Matrizen: Bedeutung: Volumeninhalt Definition der Determinante mittels den Volumenregeln (n-dim. Spat) Einheitsmatrix (Einheitsbasis) hat Determinante 1 Vertauschung zweier benachbarter Spaltenvektors Streckung eines Seitenvektors (Spaltenvektor) Distributivgesetz Entwicklungssatz für die Determinante ==> definiert, da berechenbar Anwendungen des Entwicklungsatzes Die Transponierte hat die selbe Determinante: Diese ist nach Zeilen oder nach Spalten entwickelbar Zu einer Zeile oder Spalte kann ein Vielfaches einer anderen solchen addiert werden. Dann ändert die Determinante nicht. Das kann man verwenden, um die Matrix in eine Dreiecksform überzuführen. Dann ist die Determinante hier gleich dem Produkt der Diagonalelemente. Anwendungen, Beispiele Damit kann man Volumeninhalte von beliebig hoch dimensionalen Spats berechnen, welche man sich wegen der Dimension gar nicht mehr vorstellen kann.	Selbststudium: Siehe unter Übungen
Wo 7	Beispiele zur Vektorgeometrie Matrix und Determinante, Volumenregeln, Berechnung einer höheren Determinante: Entwicklungssatz Determinante der Transponierten Berechnung der Determinante mit Diagonalisierung Matrixaddition und Gleichungssysteme Regeln für die Matrixaddition, Subtraktion, Rückführung auf Vektoraddition (Nullelement ist eine Nullmatrix) Multiplikation Matrix mal Skalar oder Skalar mal Matrix, Rückführung auf Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Streckung) Beispiele Das Matrixprodukt Matrix mal Vektor Matrixaddition und Gleichungssysteme Matrix und Abbildung, Gleichungssystem und Abbildung, Auffindung des Urbildes Matrixmultiplikation: "Lösung eines Gleichungssystem in einer andern Gleichung als Inhomogenität..." oder Matrix und Mehrfache Abbildung Berechnung des Matrixprodukts *Grosses Selbststudium:* Berechnung des Matrixprodukts Regeln: Zusammen multiplizierbare Matrizen Kommutativität gilt nicht Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Gesetze für die Inverse, falls sie existiert Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Der Gauß-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Rechnen von Beispielen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung	Selbststudium: Siehe unter Übungen
Wo 8	Berechnung des Matrixprodukts Regeln: Zusammen multiplizierbare Matrizen Kommutativität gilt nicht Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz Distributivgesetze Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Gesetze für die Inverse, falls sie existiert Eindeutigkeit der Inversen, Linksinverse gleich Rechtsinverse Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel, Gleichungssysteme Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Gleichungslösen: Diverse Verfahren Einsetzungsverfahren (Nef), Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren (Gauß-...), Cramersche Regeln (Determinanten), Matrixverfahren. Der Gauß-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Anzahl Rechenoperationen. Nach Herstellung einer Dreiecksmatrix Rückwärtseinsetzung ==> weniger Operationen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-m Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Rechnen von Beispielen
Wo 9	Beispiele (Handrechnungen): Lösen von Gleichungssystemen mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus (mit Kontrolle der Richtigkeit!) Beispiele (Handrechnungen): Berechnung der Inversen mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus (mit Kontrolle der Richtigkeit!) Anwendung Gauß-Jordan-Algorithmus für Gleichungssysteme und die Berechnung inverser Matrizen: Repetition Simultane Lösung von Gleichungssystemen Beispiele Repetition Gauss-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen Beispiel Matrizen und Gauß-Jordan-Algorithmus: Übersetzung der Elementarsubstitutionen in die Sprache der Matrixmultiplikationen. Diagonalisierung und Determinantenberechnung: (Berechnungskonzept: Anpassung des Gauss-Algorithmus, gültige Elementarsubstitutionen, wichtig: Distributivgesetz) Wirkung der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl auf die Determinante Determinante und Transponierte Determinante und Vertauschung von Zeilen Determinante und Distributivgesetz beim n-dimensionalen Spat: Addition eines Vielfachen eines anderen Spaltenvektors Wieder Gauß-Algorithmus und Entwicklungssatz Beispiele Repetition Regeln für Determinanten: Volumenregeln von den Dimensionen 2 und 3 übertragen Regel mit Faktor ausklammern Regel mit Summe als Seitenvektors des Spats, Aufteilung in Summanden Regel mit einem Einheitsvektor als Seitenvektor Volumen des Einheitsspat ist definiert als gleich 1 Gauß-Algorithmus: Was passiert, wenn es keine Inverse gibt? Determinanten, Repetition: Idee des Volumeninhalts eines n-dimensionalen Spates Gewinn: Beispiel der Regeln von Cramer für ein Gleichungssystem mit n Unbekannten, Formeln für die Unbekannten als Quotient zweier Determinanten Selbststudium: Drehmatrix (Nicht beendet) Repetition: Determinanten als Volumen, Rechenregeln für Volumina Repetition: Determinanten: Entwicklungssatz Situation bei n=2 und n=3 Entwicklungssatz Beispiele Nichtübertragbarkeit von Sarrus: Beispiele Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen Determinante der Inversen und der Transponierten Determinante von gestreckten Matrizen Weitere Sätze Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen) Berechnung durch rekursive Entwicklung Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm) Neu: Bandmatrizen, Algorithmen	Selbststudium: Siehe links
Wo 10	Berechnung durch Diagonalisierung (Elementarsubstitutionen) Übungen, Beispiele für die Prüfung Diverse Beispiele auf Vorschlag von Studierenden, auch aus der Approximationstheorie Drehmatrix Das Problem der Lösungsstruktur Bei Gleichungssystemen, Charakterisierung der Lösungen: Gauss-Jordan-Verfahren Ziel Diagonalmatrix Was passiert bei Rechtecksmatrizen Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Homogenes und inhomogenes System Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen) Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung Vektorraumstruktur der homogenen Losungen Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Inhomogene und partikuläre Lösung Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension Beispiele Selbststudium: Berechnung durch rekursive Entwicklung Neu: Berechnungen mit Maschinen (Beispiel Excel, Rechner, Computeralgebra-Programm) Neu: Bandmatrizen, Algorithmen, Inverseberechung, Jaccobi-Verfahren
Wo 11	Test Spezialanlass: Auffahrtswoche Selbststudium lineare Algebra: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Kurvenlängen Flächen, Normalenvektor Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen	Selbststudium: Siehe links
Wo 12	Rückgabe Test Lineare Abbildungen: Abbildung der Basis-Einheitsvektoren (ONS) Abbildung von Geraden, Ebenen, Hyperebenen.... Anwendung auf Probleme wie Drehung um eine Achse im Raum Spiegelung an einer Geraden in der Ebene Projektion auf eine Gerade in der Ebene Spiegelung an einer Ebenen im Raum Projektion auf eine Ebene im Raum Größerer Exkurs in die Geometrie der Griechen (die Tetraktys und wie man damit die Welt der platonischen Körper und der Kachelungen in der Ebene aufbaut) Repetition zum Gauss-Jordan-Verfahren Verallgemeinerung der Additionsmethode Elementarumformungen Strategien: Ziel Dreiecksmatrix, rückwärts einsetzen Ziel Diagonalmatrix Was passiert bei Rechtecksmatrizen Möglichkeiten: Widerspruch, exakte Lösung, freie Parameter und unendlich viele Lösungen, überflüssige Gleichungen Neu: Charakterisierung der Lösungen: Homogenes und inhomogenes System Nulllösung als Triviallösung beim homogenen System Homogene Lösungen haben Vektorraumstruktur (Vektorraumstruktur der homogenen Losungen) Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Homogenes und inhomogenes System: Allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung + partikuläre inhomogene Lösung (allgemeine Lösung eines Gleichungssystems = partikuläre Losung des inhomogenen Systems + allgemeine Losung des homogenen Systems Vektorraumstruktur der homogenen Losungen Inhomogene Lösungen: lineare Mannigfaltigkeit Beziehung inhomogene - homogene Lösung, lineare Mannigfaltigkeit Inhomogene und partikuläre Lösung Rangsatz: Ordnung = Rang + Dimension (Erklärung der Ordnung, des Rangs und der Dimension) Beispiele Matrizen und lineare Abbildungen Matrix als Liste der Bildvektoren der Basisvektoren der ONB Konsequenzen für die Abbildung eines Vektors Definition Kern und Image D_f Vektorraum ==> auch Kern und Image Urbildraum = Direkte Summe von Kern und Kern_senkrecht Dim D_f = Dim Kern + Dim Im Beispiele, Repetition: Die Bilder der Vektoren einer Orthonormalbasis sind die Spaltenvektoren der Matrix. Bild einer Linearkombination = Linearkombination der Bilder der verwendeten Vektoren Speziell: Das Bild einer Geraden ist eine Gerade, falls der Kern Dimension null hat. Sonst ist das Bild ein Punkt Das Bild einer Ebene ist eine Ebene, falls der Kern Dimension null hat usw. Beispiel: Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Selbststudium lineare Algebra: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen Beispiele mit dem Computer Übersicht über die im Kurs vorgestellten Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen Verallgemeinerungen der klassischen Methoden (einsetzen, gleichsetzen, Additionsmethode, Determinantenmethode, Iterationen) Matrixmethode zum Lösen von Gleichungssystemen Cramersche Regeln (Determinantenmethode zum Lösen von Gleichungssystemen) Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen Beispiele Übungen, Anwendungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Einführung in die Eigenwerttheorie Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix Charaktereistisches Polynom, Determinante Eigenvektoren als Basis Eigenvektoren und Streckung Das Problem der Nicht-Eindeutigkeit des Gleichungssystems für die Eigenvektoren und der nicht-exakten Eigenwerte Beispiele Verschiedene Eigenwerte ==> Eigenvektoren linear unabhängig Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) M = A D A^-1 (*Selbststudium) Anwendungen (**Selbststudium) Themenvorschläge für themenzentrierte Gruppenarbeiten mit Selbststudium und Vortrag: Link (Situation vom letzten Jahr) - anschließend Vorbereitung der Kurzpräsentationen: Helmert-Transformation Populationsmodell Spannungstensor Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer, Rendon Biegelinien ==> Weibel, Käppeli Beispiele zu Fraktalen Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig, Inniger Geometrie mit dem Computer ==> Hefti, Hoder, Schärer Weitere Vorschläge... ==> Einige sind schon besetzt* *Selbststudium:* Konstruktion der Matrix für die Drehung um eine Achse Konstruktion der Matrix für die Projektion Übungen, auch Konstruktion der Matrix für die Projektion: Z.B. Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu Verwendung obiger Erkenntnisse. Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene. Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer Ebene. U.s.w. Weitere Abbildungsmatrizen: Drehungen in der Ebene Drehung um die z-Achse im Raum Drehung um die x-Achse im Raum Drehung um die y-Achse im Raum Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren: M = A D A^-1 Anwendungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 14	Beenden des Stoffes von Woche 13: Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren: M = A D A^-1 Beispiel Beispiele Konstruktion einer Drehmatrix mit Hilfe der Abbildung einer Basis Konstruktion einer Projektionsmatrix Beispiel der Konstruktion von einer Pyramide mittels Drehung um einer Achse und anschliessendem schrägen Schnitt mit einer Ebene Anwendungen Kurzvorträge vorbereiten Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten: Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2007 (Unter "Bau") http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2008 (Unter "Bau") http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2009 (Unter "Bau")	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Beendung des Stoffes von Woche 13, soweit notwendig Übungsprüfung Vordiplom: Letztjährige Prüfung Link Kurzvorträge Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer, Rendon (o.k.) Biegelinien ==> Weibel, Käppeli (o.k.) *Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)* Helmert-Transformation Spannungstensor Biegelinien Klothoiden.	Selbststudium: Siehe links
Wo 16	General-Repetition für die MP: Plan Kurzvorträge Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig, Inniger Geometrie mit dem Computer ==> Hefti, Hoder, Schärer	Selbststudium: Siehe links
oooooooo	Modulprüfung: Repetitionsplan (generell) Ehemalige Prüfungen Prüfungsbeschrieb Hinweis zur Prüfungsvorbereitung TutoringCoaching/RepetitionsplanVD.pdf (wird gegebenenfalls noch präzisiert)	Einiges wird noch angesagt.... Vorbereitung: Do. 26. 8. Nm 13:00 bis max.16:00 Di. 31. 8. Nm 13:00 bis max.15:45 Fr. 3. 9. Nm ?? 13:00- ?? - ev. Kollision mit Notenkonferenz Raum auf dem Sekretariat erfragen

Top

Ehemalige Übungsliste (Anleitungen zu "Was ist wann zu tun?") 09/10

Zu lösende Übungsserien: Empfohlen sind jene Übungen, die neu sind. Dinge, welche man bereits sehr gut kann, sollen in der persönlichen Übungskontrolle (Self-management) mit "o.k." vermerkt werden.
Selbststudium (selbständig zu erarbeitende Themen oder zu bewältigende Repetitionen)
Administratives: Literatursuche, Literatur- und Materialbeschaffung, Arbeitsplatzeinrichtung, Time Management, strategische und operative Planung u.s.w.
Soziales: Planung von Gruppenarbeiten....
Material:
- Übungscheine
- Formelnbuch oder Mathematiklexikon
- Eventuell nach Lehrbuch (Umfang)
- Computer: Rechenprogramm (... u.s.w.)
Eintrag ins Porte-Feuille
- Notizen
- Zusammenfassungen zu den Themen: Begriffe, Zusammenhänge, Anwendungen, Stundennachweis (Handschriften)
- Zusätzlich ev. Computerausarbeitungen
- Handlösungen
- Projekte

Erfahrung oder Realität 09/10 oder frühere und andere:

Siehe Archiv

Sprung zu Übungen 2. Semester

S1 Woche	Übungen und Arbeiten	Bemerk.
Wo 1	Trotz Ausfall der Lektionen während der ersten Woche infolge abteilungsübergreifender Planung müssen die Übungen der ersten Woche in das Arbeitsprogramm der Studierenden aufgenommen werden. Internatmaterial sichten, studieren ==> Skripte holen, erst Basics und Trigonometrie ("Intern", Passwort!), Literatur, Übungsserien (Passwort!), ev. Laptop, Rechner u.s.w. beschaffen Selbststudium: ! ! ! Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur Repetition) Zu bearbeitende Übungsserien: Serien 1/01, 1/02, 1/03 (möglichst alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungsschein!!!! Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonometrie 1. Lektion 4. Woche, ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. Übungscheine	Download "Daten zu Learningmanagement Mathematik" Download Skripte und Übungen: Nach mündlicher Mitteilung in der 1. Lektion. Bei Schwierigkeiten Mail, Tel. oder Besuch WIR1 (WIR1 = Kürzel des Dozenten) Skirpte: Zuerst Basics, Trigonometrie (Pflicht) Zusätzlich Algebra und Analysis empfohlen (Download auf Hauptseite der Skripte oben) Selbststudium siehe links Zu bearbeitende Serien: 1/01 bedeutet: Vom 1. Jahr Serie 01
Wo 2	Selbststudium: Skript Skript Basics lesen (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) Selbststudium Skript Trigonometrie (1. Hälfte 1. Woche, 2. Hälfte 2. Woche) (vermutlich nur Repetition) Zu bearbeitende Übungsserien: 1/04, 1/05, 1/06 (möglichst alle Aufgaben durchgehen) ==> Übungschein!!!! Ankündigung Kurztest: Basics, Trigonomterie 1. Lektion 4. Woche ohne Rechner, mit Formelbuch, Aufgaben aus den Serien. (Wichtig: Exponenten, Logarithmen, quadratische Gleichungen und weitere Dinge.)	Selbststudium siehe links
Wo 3	Test: Datum festlegen, Vorbereitung.... Übungsserien: 1/12, Probleme 1-6	Selbststudium Kegelschnitte Lösungsmethoden von Gleichungssystemen Test: Datum festgelegt: 12.10.2009, Vorbereitung: Selbststudium
Wo 4	Alter Test 1 studieren, siehe auch (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau ) Übungsserien: Serien 12, 13 Selbststudium: Elementare Funktionen: Polynome, Grad (0,1,2,.., n,...) Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium) Eigenschaften (Selbststudium) Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Hauptsatz der Algebra Linearfaktoren Maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl im Komplexen Beispiele (Selbststudium nach Skript) Crashkurs Infinitesimalrechnung Link zu den Unterlagen (Skriptseite)	Selbststudium: Siehe links
Wo 5	Test 1 nachbereiten, sofern notwendig Lösungen: Link Übungsserien: Serien 14, 15, 16 Selbststudium: Beispiele von Funktionen auf den Zahlen Konstante, lineare, quadratische, kubische,... Funktion (Selbststudium) Eigenschaften (Selbststudium) Selbststudium Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Hauptsatz der Algebra Linearfaktoren Maximale Anzahl Nullstellen Exakte Anzahl im Komplexen Diagramme: Rationale und gebrochen rationale Funktionen, Potenzfunktionen inkl. Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Selbststudium: Testverbesserung Materialbesorgung: Differentialrechnung (Skript downloaden, Passwort!)	Selbststudium: Siehe links
Wo 6	Übungsscheine Download: http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsschein_Mathematik.pdf sowie http://rowicus.ch/Wir/Administratives/Uebungsscheine.html Übungsserien: Serien 17, 18, 19 (soweit schon möglich) Selbststudium: Übungen - Studium der Beispiele im Skript - Graphiken zu Funktionen, speziell: Eigenschaften von Polynomen Diagramme: Quadratische, kubische u.s.w. Funktion - bis p.12 Übungen - Studium der Beispiele Graphiken zu Funktionen, Beispiele im Skript, Hyperbolische Funktionen und Areafunktionen, dazu Repetition: Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Wichtig für Differentialrechnung: ln des Betrags, sin, cos, tan, cot = cgt, xⁿ, x^(-n), x^-(-n) Wichtig für Differentialrechnung: log_a(b x^c) Wichtig für Differentialrechnung: Verkettete Funktionen Beispiele, Übungen Zur Differentialrechnung gehören die Übungsserien 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	Selbststudium: Siehe links
Wo 7	Übungsserien: Serien 20, 21, (soweit schon möglich, Auswahl treffen) Materialbesorgung: Integralrechnung (Skript downloaden) Selbststudium: Beispiele, speziell Ableitung von x^x Ableitungen von arcsin(x), arccos(x), arctan(x),... Regel von Bernoulli Ableitung von x^x Exponentielles contra polynomiales Wachstum Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiele, Arbeit an Übungen Nochmals: Ableitungen vom ln des Betrags, Ableitung von log_a(b x^c) etc. Lineare Approximation, Differentiale, Beispiele Potenzreihen, Graphik-Beispiele, Demos: Selbststudium Kurvendiskussion: konvex und konkav, notwendige und hinreichende Bedingungen für Minima, Maxima, Terrassenpunkte, Wendepunkte, Extrema,... Beispiele - Arbeit an diesen Übungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 8	Übungsserien: Serien 22, 23, (Differentialrechnung, Auswahl treffen) Serien 24, 25 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich) Selbststudium: Differentiale Nullstellenberechnung: Bisektionsverfahren (Intervallschachtelungen) Newton-Methode Regula Falsi Fixpunktverfahren Selbststudium: Siehe hbg-bremen (pdf) oder wikipedia, Fixpunktiteration (html) sowie matheboard.de (html), http://www.matheboard.de/archive/28485/thread.html Beispiele - Arbeit an diesen Übungen und Arbeit an den Übungen Neues Skript: Integralrechnung: Bestimmtes Integral Ober- Unter- und Zwischensummen, Riemannsche Summen Konvergenz (Beispiel monoton uns stetig...) Quadratur der Parabel Übungen, Beispiele Intervallteilungen, Verfeinerungen Riemannsches Integral: Definition Integration durch Summierung (Grenzwert) Regeln und Mittelwertsatz Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Beispiele Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 9	Übungsserien: Serien 26, 27, (28) (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich) Alter Test studieren: Test (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau ) Selbststudium: Integralrechnung: Integration von Potenzfunktionen Integration als linearer Operator Partielle Integration mit Elimination von Polynomfunktionen Beispiele Partielle Integration mit Erzeugung einer algebraischen Gleichung Beispiele	Selbststudium: Siehe links
Wo 10	Alter Test studieren (http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau ) Übungsserien: Serien 29, 30 (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich) Selbststudium: Anwendungen der Integration: Volumen eines Rotationskörpers Länge einer Kurve (2D) Oberfläche eines Rotationskörpers Beispiele, Übungen Schwerpunkte von Flächen Beispiele Flächenmomente 1. Grades: Statische Momente bezüglich Achsen Flächenmomente 2. Grades: Trägheitsmoment Bedeutung des Trägheitsmoment bei der Kreisbewegung (wie Masse bei der kinetischen Energie bei der gewöhnlichen Bewegung) Berechnung des Flächenträgheitsmoments bezüglich Achsen Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson) Einführung: Differentialgleichungen, Funktionen mit mehreren Variablen \|P\| = \|N\| = \|Z\| = \|Q\| = \|[0,1)\| = \|R\| = \|R2\| = \|Rn\| < \|P(R)\| < \|P(P(R))\| <…. und dazu Mächtigkeiten von P,N,Z,Q,R,R2,… siehe auch unter Abzählbarkeit Kardinalzahl_(Mathematik) Reelle_Zahl Cantor cantprob	Selbststudium: Siehe links
Wo 11	Selbststudium: Weiter mit Beispiele zu Flächenmomenten Numerische Methoden: Rechtecksmethode, Trapezmethode (Simpson) Transfinite Mächtigkeiten: Siehe auch unter Abzählbarkeit Kardinalzahl_(Mathematik) Reelle_Zahl Cantor cantprob Übungsserien: Serien 29, 30 weiter (Integralrechnung, soweit ohne viele Regeln schon möglich)	Selbststudium: Siehe links
Wo 12	Selbststudium nach Skript: Geeignete Substitutionen Beispiele Lineare D'Gl: Lösung der homogenen Gleichung Lösung der inhomogenen Gleichung Zusammenspiel der homogenen und der inhomogenen Lösungen, partikuläre Lösung Beispiele Numerische Lösungsmethoden: Euler-Methode Anwendungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme Auswahl aus den Übungsserien: Serien (II) 18, (II) 1 9, (II) 20, (II) 21, (II) 22,	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Selbststudium nach Skript: Anwendungen Differentialgleichungen: Herleitung der Differentialgleichung für die Biegelinie: Diverse Fälle bei der Biegung (spezielles Skript) Schleppkurve Kettenlinie Klothoide Zu- und Abflussprobleme Knickungsprobleme Differentialrechnung mit mehreren Variablen: Richtungsableitung Gradient Bedeutung des Gradienten Beispiele Lagrange-Methode: Extrema mit Nebenbedingungen Beispiele Auswahl aus den Übungsserien: Serie 31 Serie 08, 09	Selbststudium: Siehe links
Wo 14	Selbststudium: Spezielle Beispiele: Kurven, Kurvenkrümmung, Krümmungskreis, Gerade, Kreis Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Zusammenhang zu Potenzreihe Endliche und unendliche Reihe, Reihe Beispiele Auswahl aus den Übungsserien: 13, 14, 15, 16 1 7 so weit wie möglich nach Fortschritt der Stoffbehandlung	Selbststudium, siehe links: Nicht behandelter Stoff aus der "Approximationstheorie" sowie Auswahl aus den Übungsserien während der unterrichtsfreien Zeit bearbeiten.
Wo 15	Selbststudium: Reihentheorie, Konvergenzkriterien Potenzreihen Potenzreihe von Sinus, Cosinus, e^x Beispiele: Bestimmung des Fehlers (Restglied) Endliche und unendliche Reihe, Reihe Harmonische Reihe, Divergenz Alternierende Reihe und Konvergenz Leibnizreihe Geometrische Reihe Majorantenkriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Zusammenhang zu Potenzreihen Beispiele Konvergenzintervall, Konvergenzradius von Potenzreihen Integration und Differentiation von Potenzreihen Beispiele Zur Berechnung der Klothoide mit Hilfe von Potenzreihen Berechnung der Richtung des Tangentenvektors Auswahl aus den Übungsserien: Weiter mit 13, 14, 15, 16 17	Selbststudium, siehe links und Übungen unten Selbststudium: Skript, Sichten von Spezialthemen http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Teil6Kombd.pdf (automatisch formatierte Version) http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/ AndereIntern/EWyl/Jahr1/003_Einfuhrung_ in_die_Stochastik.pdf
Wo 16	Repetition für den nächsten Test, Sichten von Spezialthemen: 24, 25, 26, 27, (28) 29, 30, 18, 1 9, 20, 21, 22, 31, 08, 09, 13, 14, 15, 16 17, 13 (Laplace-Wahrscheinlichkeit) Selbststudium der Literatur (Sichten von Spezialthemen) A. Selbststudium zur Modellierung physikalischer, technischer Vorgänge in der Sprache der Mathematik Zerlegung der Energie in kleine Portionen von Teilenergien, die nach einem Funktionszusammenhang ändern Summe und Integral, Riemannsche Summe, Grenzübergang Energieprobleme mit Federn, Drehfedern Impulsprobleme Kraft als Ableitung des Impulses Pendel: Das Problem der Impulserhaltung und der Abgeschlossenheit von Systemen Rakete Das Problem des an zwei Orten frei Aufliegenden Balkens: Schnittkräfte und Momente, Berechnung und Graph der Funktionen. Maximum des Moments, Nullstelle der Schnittkräfte u.s.w. Beispiele Literaturstudium und Literaturverständnis Beispiel Wasserüberfall B. Selbststudium: Anwendung der Approximationstheorie auf das Lösen von Differentialgleichungen Potenzreihenansatz, Berechnung der ersten Koeffizienten Differenzengleichungen Zentrale Differenzenquotiente gewonnen aus Taylorpolynomen Praktische Durchführung einer Berechnung Beispiele C: Selbststudium: Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Testen der statistischen Wahrscheinlichkeitsapproximation bei Laplace-Experimenten Das Galton-Brett, Experimente mit Hilfe des Computers Denkwürdige Beispiele Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Günstige Fälle/ mögliche Fälle	Selbststudium siehe links Sichten von Spezialthemen: Zum Galton-Brett u.s.w.: http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett http://www-computerlabor.math. uni-kiel.de/stochastik/holst/galton.html http://www.learn-line.nrw.de/angebote/ eda/medio/galton/galton.htm http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/ heiler/os/sim-board.html http://www.dietrichgrude.de/stochastik/ galton/galton.htm http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za204/ Javascript/galtonbrett/galtonbrett.htm ttp://www.fernuni-hagen.de/newstatistics/ applets/Galtonbrett/Galtonbrett.htm
S2 Woche	Übungen und Arbeiten	Bemerk.
Wo 1	Skript: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AndereIntern/EWyl/Jahr2/001_Vektoralgebra_und_Vektoranalysis.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_011.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_021.pdf	Selbststudium: Geometrische Bildung der Differenz Euklidsche Länge (Definition) Unterräume Basiswechsel Einleitung p.1, 2 Beispiele p. 4, 5, 6
Wo 2	Übungen http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_031.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_041.pdf	Selbststudium: Siehe oben beim Stoff Woche 2
Wo 3	Selbststudium: Siehe oben Übungen http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/..../Uebungen2/Serie_051.pdf Studium alter Test als Zwischenübung Test Lösungen (PDF) (Source-Code_(.nb) Stoff für nächsten Test: Laufende Algebra Approximationstheorie	Selbststudium: Siehe oben
Wo 4	Selbststudium: Siehe rechts Übungen Was aus den Serien 011-051 (3 letzte Wochen) noch nicht erledigt worden ist. http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_061.pdf Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf	Selbststudium: Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach Skript) Zylinder Kreistangenten, Tangentialebenen
Wo 5	Übungen: Nachholen, was noch nicht erledigt Nachholen, was noch nicht : Serien II 1-6: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_011.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_021.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_031.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_041.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_051.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_061.pdf Selbststudium: Serien I 32/33, soweit schon möglich http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_34.pdf	Selbststudium: Anwendungen der Vektorrechnung in der Statik und Mechanik (nach Skript) Zylinder Kreistangenten, Tangentialebenen
Wo 6	Selbststudium neuer Stoff: Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Selbststudium: Beispiele zu Matrixmultiplikation und Inversenberechnung aus dem Skript Determinantenberechnung Studium der Möglichkeiten bezüglich Determinanten und Matrizen auf dem eigenen Taschenrechner! Literaturstudium: Kapitel über Matrixmultiplikation und Determinantenberechnung in einem Lehrbuch eigener Wahl studieren. Ein verschiedener Zugang zeigt die Sache immer von einer anderen, ebenfalls wichtigen Seite. Dadurch wird das Verständnis vertieft. Übungen: Serien I 32/33, soweit weiter möglich http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf	Selbststudium: Siehe links.
Wo 7	Grosses Selbststudium: Berechnung des Matrixprodukts Regeln: Zusammen multiplizierbare Matrizen Kommutativität gilt nicht Matrixprodukt und Produktabbildung und Assoziativitätsgesetz Einheitsmatrix als Einselement und Gesetze für diese Matrix Das Bild der Einheitsvektoren und des Einheitswürfels Das Problem der Umkehrabbildung: Existenz und das Problem der Abbildung/Umkehrabbildung eines Würfels auf einen Spat und der Umkehrungsmöglichkeit/ geometrisch Gesetze für die Inverse, falls sie existiert Berechnung einer unbekannten Inversen konkret: Ein Beispiel Distributivgesetze Transponieren des Produkts und der Faktoren Inverse der Multiplikation, Inverse Produkts und der Faktoren Rechnen mit Invesen und Transponierten Matrixgleichungen Reguläre und singuläre Matrizen, Regularität, Gleichungssysteme Der Gauss-Jordan-Algorithmus: Elementarumformungen: Multiplikation einer Gleichung in einem System Ersetzung einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung mit einer andern Vertauschung von Gleichungen in der Reihenfolge Umbenennung der Variablen Das Konzept: Anwendung von Elementaroperationen bis links eine Diagonalmatrix entsteht. Rechts steht dann die Lösung... Rechnen von Beispielen Fälle, alle Gleichungen l.u.: Schlussmatrix n mal n (so breit wie hoch) ==> eindeutige Lösung Schlussmatrix m mal n (breiter als hoch, m<n) ==> unendlich viele Lösungen, Lösungsmenge ist Lineare Mannigfaltigkeit, Dimension n-n Schlussmatrix m mal n (weniger breit als hoch, m>n) ==> Keine Lösung Übungen: Serien I 32/33/34, soweit schon möglich http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_32.pdf falls nicht fertig gemacht http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_33.pdf falls nicht fertig gemacht http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_34.pdf	Selbststudium: Siehe links.
Wo 8	Übungen: Serien I 32/33/34: Weiter mit den noch nicht gemachten Aufgaben Neu: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_35.pdf Selbststudium: Siehe rechts
Wo 9	Übungen: Serien I 32/33/34/35: Noch nicht gemachte Aufgaben beenden. Neu: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen1/Serie_36.pdf Selbststudium: Skript Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Prüfungsvorbereitung: Stoff seit dem letzten Test <=== Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau (Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes beachten!)	Selbststudium, Prüfungsvorbereitung siehe links <=== Weiteres Selbststudium: Siehe links
Wo 10	Übungen: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_061.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_071.pdf <== !!! http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_081.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_091.pdf Prüfungsvorbereitung: Stoff seit dem letzten Test <=== Testvorbereitung siehe ehemalige Testaufgaben auf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#Bau (Wochennummern zur Einschätzung des zu erwartenden Stoffes beachten!)	Selbststudium: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Prüfungsvorbereitung siehe links <===
Wo 11	Test Spezialanlass: Auffahrtswoche Nachbereitung Test Selbststudium lineare Algebra: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Differenzenmethode bei Differentialgleichungen (Eulermethode, AWP, RWP): Durchführung, Beispiele Jacobi-Verfahren, Bandmatrizen, Abweichung zur exakten oder exakteren Lösung. Behandlung des Problems der Schleppkurve, einfachere Berechnung mit Hilfe der inversen Funktion. Vektorkurven im R² und im R³ Glatte Kurven und Spitzen Beispiele Rep. Vektorfunktionen Tangentenvektor, Tangenten an Kurven Kurvenlängen Flächen, Normalenvektor Tangenten an Flächen Inhalte von Funktionsflächen	Selbststudium: Siehe links
Wo 12	Übungen: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_101.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_111.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/.../Uebungen2/Serie_121.pdf Selbststudium lineare Algebra: Optimale Lösung bei überbestimmten Gleichungssystemen Methode der kleinsten Quadrate bei linearen Gleichungssystemen (Problem der überbestimmten Gleichungssysteme und der Quasi-Lösungen), Durchführung, Beispiele Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen Beispiele mit dem Computer Übersicht über die im Kurs vorgestellten Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen Verallgemeinerungen der klassischen Methoden (einsetzen, gleichsetzen, Additionsmethode, Determinantenmethode, Iterationen) Matrixmethode zum Lösen von Gleichungssystemen Cramersche Regeln (Determinantenmethode zum Lösen von Gleichungssystemen) Jacobi-Verfahren für Bandmatrizen Beispiele Übungen, Anwendungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Themenvorschläge für themenzentrierte Gruppenarbeiten mit Selbststudium und Vortrag: Link Anschließend Vorbereitung der Kurzpräsentationen: Kurzvorträge vorbereiten Helmert-Transformation Populationsmodell Spannungstensor Iterationen, Computermodelle, Simulationen, ... Wahrscheinlichkeit ==> Müller, Hofer, Rendon Biegelinien ==> Weibel, Käppeli Beispiele zu Fraktalen Raumgeometrie ==> Waeber, Herzig, Inniger Geometrie mit dem Computer ==> Hefti, Hoder, Schärer Weitere Vorschläge... ==> Einige sind schon besetzt *Selbststudium:* Konstruktion der Matrix für die Drehung um eine Achse Konstruktion der Matrix für die Projektion Übungen, auch Konstruktion der Matrix für die Projektion: Z.B. Konstruktion der Matrix zu einer Ebenenspiegelung. Dazu Verwendung obiger Erkenntnisse. Konstruktion der Matrix zu einer Projektion auf eine Ebene. Konstruktion der Matrix zu einer Streckung senkrecht zu einer Ebene. U.s.w. Weitere Abbildungsmatrizen: Drehungen in der Ebene Drehung um die z-Achse im Raum Drehung um die x-Achse im Raum Drehung um die y-Achse im Raum Matrixkomposition und Dekomposition (Diagonalisierung) mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren: M = A D A^-1 Anwendungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 14	Kurzvorträge vorbereiten Selbststudium Modulprüfung in Gruppen, Gruppenarbeiten: Modulprüfungen, Vordiplome (Link siehe unter Übungen) siehe http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2007 (Unter "Bau") http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2008 (Unter "Bau") http://rowicus.ch/Wir/VDs/VDs.html#2009 (Unter "Bau")	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Übungsprüfung Vordiplom: Letztjährige Prüfung Link Kurzvorträge General-Repetition *Selbststudium (Selbststudium ==> Stoff, der an der Modulprüfung auch geprüft wird!)* Helmert-Transformation Spannungstensor Biegelinien Klothoiden	Selbststudium: Siehe links
Wo 16	General-Repetition Kurzvorträge	Selbststudium: Siehe links
oooooooo	Modulprüfung: Repetitionsplan (generell) Ehemalige Prüfungen Prüfungsbeschrieb Hinweis zur Prüfungsvorbereitung TutoringCoaching/RepetitionsplanVD.pdf (wird gegebenenfalls noch präzisiert)	Einiges wird noch angesagt.... Vorbereitung: Do. 26. 8. Nm 13:00 bis max.16:00 Di. 31. 8. Nm 13:00 bis max.15:45 Fr. 3. 9. Nm ?? 13:00- ?? - ev. Kollision mit Notenkonferenz Raum auf dem Sekretariat erfragen

Top

c) Erfahrene Realität 2010/2011 und früher

Stoffplan: Siehe Link

Übungen: Siehe Link (Anleitungen zu "Was ist wann zu tun?")

Top

Klassenliste Ersetze _ bei _ _ durch den Affenschwanz ===> Liste für Hausmail .txt

===> Sammel-Mail an die Klasse Teilnehmerliste (Passwort / Intern) Abgemeldet (momentan kein Link)

Druckaufträge Druckerei Biel

Anrede	Name	Vorname	--bei --BFH.ch	privat

Total Studierende / Stand: 2.10.11 / * Klassenchef

Go back Top

Abschlussergebnisse Login in SeSaM mit URL .........