M1p+E1p 07 Lineare Algebra und Geometrie 07/08 Klassenseite

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Klasse M1p+E1p / Lineare Algebra und Geometrie 2012

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Spezielle Mitteilungen (M1p+E1p 2012)

	Achtung Testdaten (Link hier)!!!!

	Tutoring Coaching Modulprüfung

Grundsätzliches

Stoff

4 Wochenlektionen nach Stundenplan

Grundausbildung im Einsatz von Mathematik-Software
Einführung von Grundbegriffen, Skalare, Vektoren, Matrizen
komplexe Zahlen und Funktionen
Systeme von linearen Gleichungen: Lösungsmethoden und Anwendungen

Wichtige Links: Vgl. Handout (Hardcopy)

oder mündliche Mitteilung

Qualifikation:

Durch Leistungsprüfungen im Verlaufe des Moduls (Erfahrungsnote), eine abgesetzte schriftliche Modulschlussprüfung (120 Minuten)

Testdaten nach Abmachung

Link Testform und Inhalt (Bewertungsschema u.s.w.)

In der Regel: EN Gewicht 1, MP Gewicht 3

Lineare Alg.+Geom. 1: Dauer 1 Semester

Danach Lineare Alg.+Geom. 2

Tutoring Coaching Modulprüfung:

Nächster abgemachter Termin: Nach Abmachung

Weiterer Termin nach Abmachung

Download "Daten zu Learningmanagement Mathematik"

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Literatur

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Lehrplan, Learningmanagement, Inhalt und Test

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Kontrolle oder Realität

Grün hintgerlegt: Im ersten Semester bei der Art des Dozenten im Unterricht üblicher Stoff (zur Orientierung) und auch Stoff aus dem 2. Semester, welcher noch das was folgen könnte.

Gelb hintgerlegt: Im zweiten Semester beim Dozenten im Unterricht jetzt behandelter Stoff-

Sprung zum aktuellen Ort im Stoff
Sprung zum Semester 2

S1 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	*Beginn Unterricht:* Einführung, Vorstellung Learningmanagement, Organisation, Rahmen, Kommunikation via Internet 1. Koordinaten 2. Stoff 3. Ziel, Weg, Methoden, Feedback, Team 4. Skript beschaffen, Übungen, Selbststudium ==> Internet: Learningmanagement 5. Lerntechnik, Arbeitstechnik, Selfmanagement ( Vergessenskurve, Lernplateau, Teamarbeit ...) 6. Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden. Faktor = 0 ==> Produkt = 0. Das Problem der Vernetzung im Hirn und der Repetition 7. Rechte und Pflichten des Studenten und der Schule: ==>Studieren: Selbständig, fleißig arbeiten, Eigenverantwortung 8. Prinzipien, Grundsätze (Selbstdisziplin, aber auch Prüfungen, Noten, lernen fürs Leben, für den Abschluss...) 9. Rechner, Computer, Mathematiksoftware 10. Semesterorganisation Mathematik (Anzahl Noten, Prüfungsreglement, Prüfungsplan, Prüfungsrahmen, erlaubte Unterlagen, formale Anforderungen, Benotungskriterien, Benotung der Übungen und Projekte, Arbeitsnachweismappe, Klassensprecher, Klassenbetreuer, Kopierchef, Sprechstunden) 11. Hilfsmittel (Bibliothek, Taschenrechner, Mathematiksoftware, Literatur) 12. Zeitplanung Wozu Mathematik? Link Einführung: Was ist Mathematik? (Über das Wesen der Mathematik) Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w. Was ist eine Zahl, was ist ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene u.s.w. ==> keine "materiellen Realitäten". Was ist ein Winkel - was ist das Maß des Winkels? Historische Grundlagen: "Was ist der Ursprung von allem?" ==> Diverse Theorien. Pythagoras: Alles ist Zahl. Näheres zu Pythagoras und den Pytagoräern: Ihre Kulturleistung Näheres zu Euklid und den 13 Büchern (Elemente) Beispielhafte Beweise Wieso beweisen? (Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten".) Beispielbeweise: Thales, Außenwinkel im Dreieck, Anzahl der Primzahlen u.s.w. Modell und Wirklichkeit: Modell in der Sprache der Mathematik - Realität ==> Naturwissenschaft - Mathematik Wieso fällt der Apfel vom Baum - wie fällt der Apfel vom Baum - Galilei, Newton "Könnte der Apfel wieder hinauffallen?" - die Idee der Gleichbewegung der Atome Das Problem des Maßes: Physikalische Masse (Meter - u.s.w.), an die Erde oder an Naturerscheinungen gebunden - mathematische Masse: Das Beispiel der Winkelmessung: 360 Grad contra rad. Wieso 360? Diverses Geschichtlicher Rahmen und Auftrag: Was ist ein Ingenieur - woher kommt diese Disziplin (1. Ecole polytechnique in Paris, Monge, Louis XIV, Entwicklung von Frankreich, Kanäle, Bauwerke noch heute) Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt Praktische Einführung in MATLAB	Downloads, Studium, Literatur, Übungen:
Wo 2	Skalare, Vektoren Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge, Betrag, Norm in Koordinatensystem Addition Multiplikation Gesetze Allgemeiner Vektorbegriff Selbststudium: Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig, Linearkombination Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren) Selbststudium: Eigenschaften einer Basis Weiter mit MATLAB (Einführung im Labor, Kontaktnahme mit dem Programm siehe Übungen) Download Skripte MATLAB nach mündlicher Anleitung im Labor	Selbststudium: Vollständige Liste siehe unter den Übungen!
Wo 3	Vektoren Gesetze Allgemeiner Vektorbegriff, Gesetze Linearkombinationen Bemerkungen zu weiteren mathematischen Problemen Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig Selbststudium: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren) Selbststudium: Eigenschaften einer Basis	Selbststudium: Siehe links
Wo 4	Weiter mit Vektoren Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren) Eigenschaften einer Basis Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen, Spaltenvektoren, Transponierte Gleichheit von Vektoren Einheitsvektoren In Polarkoordinaten Rechengesetze in Koordinatensystemen Basiswechsel, Länge Beispiele Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt Motivation: Arbeit Sätze der Geometrie Definition Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen .....	Selbststudium: Siehe links
Wo 5	Skalarprodukt Motivation: Arbeit Sätze der Geometrie Definition Gesetze, Regeln, Anwendungen Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz, Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors Anwendungen auf lineare Gebilde Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden Parametergleichungen Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden) Umwandlungen ineinander Koordinatengleichung und Normalenvektor Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren) Hess'sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen	Selbststudium: Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren) Hess'sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
Wo 6	Weiter mit Geraden- und Ebenengleichungen: Der Fall der Geraden Repetition Geradengleichungen und Eigenschaften Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren) Hess'sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen Flächenprodukt Motivation, Definition Regeln Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Vektorprodukt Rep. Flächenprodukt Motivation, Definition Regeln Anwendungen, z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren Selbststudium: Spatprodukt Motivation, Definition Eigenschaften, Regeln, Sarrus Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) Beispiele, Übungen Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte Kreis- und Kugelgleichungen Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Beispiele, Übungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 7	Spatprodukt Motivation, Definition, Berechnung Eigenschaften, Regeln, Sarrus Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) Beispiele, Übungen Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte Uebungen Anwendungen: Abstand eines Punktes on einer Geraden oder Ebenen, Hess'sche Normalform Kreis- und Kugelgleichungen Selbststudium: Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel Gleichungen des Zylinders und des Kegels Beispiele dazu, Übungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 8	Repetition Kreis- und Kugelgleichungen Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Angaben zum Selbststudium: Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel Gleichungen des Zylinders und des Kegels Beginn mit der Theorie der Gleichungssysteme Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts Homogene und inhomogene Gleichung Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der Einzelgleichungen Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)	Selbststudium: Siehe links
Wo 9	Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...) Matrizen, Matrixschreibweise Gauss-Jordan-Algorithmus Beispiele Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen Beispiele zum Gauss-Algorithmus: Keine Lösung Genau eine Lösung Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur) Rang (Rang der Matrix) Selbststudium: Testvorbereitung Selbststudium: Matrizenrechnung: Matrizentypen Zeilenrang und Spaltenrang Ordnung, Dimension, Satz zu Ordnung, Rang und Dimension Beispiele Zeilenmatrix, Spaltenmatrix Allgemeine Matrix und transponierte Matrix Regeln zur Transponierten Matrixaddition Beispiele Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Beispiele Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar Beispiele Matrixprodukt Regeln zum Matrixprodukt Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts Gleichungssysteme und Matrixaddition Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen	Selbststudium: Siehe links
Wo 10	Matrizenrechnung: Matrizentypen Zeilenrang und Spaltenrang Ordnung, Dimension, Satz zu Ordnung, Rang und Dimension Beispiele Zeilenmatrix, Spaltenmatrix Allgemeine Matrix und transponierte Matrix Regeln zur Transponierten Matrixaddition Beispiele Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Beispiele Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar Beispiele Matrixprodukt Regeln zum Matrixprodukt Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts Gleichungssysteme und Matrixaddition Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen Testvorbereitung, Fragestunde	Selbststudium: Siehe links
Wo 11	Test (gemachter Test) Bemerkungen zum Test Bemerkung zum Rückwärtseinsetzverfahren Zeilenrang gleich Spaltenrang bei einer Matrix Spezielle Matrizen: Nullmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrizen, Diagonalmatrix, symmetrische Matrix Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln Beginn: Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)	Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 12	Test retour Determinantenberechnung Bedeutung der Determinante und Regeln Entwicklungssatz Anwendung Entwicklungssatz: Determinante der Transponierten von A = Determinante von A Diagonalisierungsverfahren: Determinantenregeln anwenden, analog Gauss-Algorithmus bei Gleichungssyst. Beispiele Determinante Einer Dreiecksmatrix = Produkt der Diagonalelemente Beispiel Determinantenberechnung durch Transformation auf Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln) Beispiel Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten Beispiel Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung Matrixmultiplikation und Gleichungssysteme, Produktmatrix Selbststudium: (A.B).C=A.(B.C) Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen) Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der Inversen Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Beispiele zur Matrixmultiplikation Gesetze zur Matrixmultiplikation Assoziativität: (A.B).C=A.(B.C) (beweisbar mit Abbildungen) Einheitselement E(n) Nullelement N(m,n) Kommutativität gilt nicht allgemein: Gegenbeispiele Existenez und Berechnung der Inversen Matrix: Lösen von n Gleichungssystemen simultan (Gauss-Jordan) Lösung nach Cramer möglich, wenn Det(A) im Nenner nicht null Bilder der Orthonormalbasis: Spaltenvektoren der Matrix Determinantenmultiplikationssatz Was passiert mit einem Spat bei der Weiterabbildung Berechnung der Determinanten der Inversen Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von Gleichungen und der Berechnung der Inversen Übungen, Aufgaben im Labor Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren Grund der Verwendung solcher Zahlen Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar	Hinweis: Download TI-handbücher Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 14	Erweiterung von R zu C, komplexe Ebene Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren, geometrische Addition von komplexen Zahlen Grund der Verwendung solcher Zahlen Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar Beispiele Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von komplexen Zahlen Definition der Multiplikation von komplexen Zahlen Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation, Schreibeweisen von i Gesetze der Multiplikation Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten, Argument und Betrag einer Zahl Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und Konsequenzen Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen Beispiele (z.B. zⁿ = cis(pi/4)ⁿ ==> Achteck) Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation Lage der Inversen Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C Distributivgesetz Wurzelziehen in C n-te Einheitswurzeln n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel Beispiele Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen Harmonische Schwingen und Überlagerungen, Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik Überlagerung von Schwingungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Wurzelziehen in C n-te Einheitswurzeln n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen Beispiele Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))ⁿ (Fourier) Hauptsatz der Algebra Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades) Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen Harmonische Schwingen und Überlagerungen, Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik Überlagerung von Schwingungen Partialbruchzerlegung Das Problem Ausdividieren Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren Beispiele und Anwendungen Ausblicke Beispiele
Wo 16	Weiter mit Partialbruchzerlegung Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren Beispiele und Anwendungen Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen Harmonische Schwingen und Überlagerungen Selbststudium: Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik Überlagerung von Schwingungen Ausblicke Beispiele
S2 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Repetitionen: Semestereinführung, Repetition Übersichtsrepedition zu Grundbegriffen Vektor (was ist- geometr. Vektor...) - frei, gebunden Gesetze: Additive Gruppe, Streckungsprodukt Erzeugendensystem, Basis, Dimension als Mächtigkeit der Basis Linear abhängig, linear unabhängig (bei Vektormengen...) (l.u., l.a.) Lineare Hülle Orthonormalbasis (ONB), Orthonormalsystem (ONS), Zerlegung von Vektoren Skalarprodukt, Idee Gesetze Flächenprodukt Gesetze Selbststudium: Repetition: Vektorprodukt, Idee Gesetze Spatprodukt Gesetze Determinanten Sarrus Anwendungen in der Geometrie: Gleichungen von Geraden, Ebenen usw. Geometrische Interpretation von Gleichungssystemen Lösungsverhalten Determinanten Cramersche Regeln Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Flächeninhalt und Vektorprodukt Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung". Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 2	Repetition und Vertiefung: Vektorprodukt, Idee Gesetze Spatprodukt Gesetze Determinanten Sarrus Anwendungen in der Geometrie: Gleichungen von Geraden, Ebenen usw. Geometrische Interpretation von Gleichungssystemen Lösungsverhalten Determinanten *Selbststudium:* Grundlagen Determinanten Cramersche Regeln Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Flächeninhalt und Vektorprodukt Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung". *Repetitionen und Aufarbeitung im Selbststudium:* Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene) Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel) Die Kegelschnitte Kegelgleichung Zylindergleichung Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck Die Winkel am Apolloniuskreis	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 3	Grundlagen Determinanten Entwicklungssatz Determinante der Transponierten Unterdeterminanten Diagonalisierung und Determinantenberechnung Cramersche Regeln Folgerungen *Selbststudium:* Grundlagen (Kurzrepetition) Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele (Kurzrepetition) zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele *Repetitionen und Aufarbeitung im Selbststudium:* Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene) Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel) Die Kegelschnitte Kegelgleichung Zylindergleichung Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck Die Winkel am Apolloniuskreis *Repetitionen (Selbststudium):* Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Beispiele Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor *Repetitionen (Selbststudium):* Matrizen Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei Abbildungen Eigenschaften Bedeutung der Spaltenvektoren bei der Abbildung Abbildungseigenschaften einer Matrix *Repetitionen (Selbststudium):* Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele Beispiel von Matrizen ohne reelle Eigenwerte Eigenvektoren als Basis Charakteristisches Polynom Berechnungen *Demnächst behandelter Stoff:* Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Das Problem bei nicht regulägen Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiel Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung".	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 4	Repetition Matrizen Abgekürzte Schreibweise eines Gleichungssystems mit Vektoren und Matrix: Matrix mal Vektor: Transponierter Vektor Matrixprodukt mit Vektor = nicht transponierter Vektor Skalarprodukt mit Vektor Matrix: Kurzschreibweise für Spaltenvektor von Zeilenvektoren oder umgekehrt Matrixaddition wie bei Vektoren Multiplikation mit Skalar wie bei Matrix Zeilen- und Spaltenvektoren Matrix und lineare Abbildung Zusammengesetzte Abbildung (mehrmals linear abbilden) Assoziativgesetz Gleichungssystem: Frage nach dem Urbild, Lösungsverhalten Matrix als Zusammenfassung der Bilder der Einheitsvektoren Linearität: Skalarprodukt-Regeln übertragen sich Zusammengesetzte Abbildung und Matrixmultiplikation Damit Motivation und Definition der Matrixmultiplikation Nicht-Allgemeingültigkeit der Kommutativität Distributivität wegen Skalarprodukt *Selbststudium:* Repetition Einheitsmatrix Repetition Inverse Matrix und Berechnung Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Das Problem bei nicht regulägen Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiel Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 5	Repetition Einheitsmatrix Repetition Inverse Matrix und Berechnung, mit Gleichungssystem Algorithmus Gauss-Algorithmus (Gauss-Jordan etc.) Cramer Regeln zur Matrixrechnung (teils Rep., teils neu) Matrix = Komposition von Bildern der Basisvektoren bei kartes. KS zurückführen auf Regeln des Skalarprod. resp. Matrixprodukts Zeile mal Spalte Assoiativität da Abbildung Kommutativität nur in Spezialfällen (in der Regel also nicht) E = neutrales Element Inverse existiert nur, wenn Determinante ungleich 0 (wenn ein n-dim. nicht entarteter Spat in einen ebensolchen abgebildet wird) Damit Test auf lineare Abhängigkeit von n n-dim. Vektoren: Frage ob Determinante = 0? Produkt Matrix M mal E = E mal M Inverse mal M = M mal Inverse Inverse eines Produkts = Produkt der Inversen in kommutierter Reihenfolge Transponierte eines Produkts = Produkt der Transponierten in kommutierter Reihenfolge Distributivgesetz übertragen vom Skalarprodukt Beispiele Das Eigenwertprobelm: Welche Richtungen bleiben bei einer Matrixabbildung (lineare Abnbildung) fix? *Selbststudium:* Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 6	Das Eigenwertprobelm: Welche Richtungen bleiben bei einer Matrixabbildung (lineare Abnbildung) fix? Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren *Selbststudium:* Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation Beispiele Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 7	Spezialanlass: Ostermontagwoche *Selbststudium:* Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation Beispiele Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 8	Repetition Eigenwerte, Eigenvektoren Berechnung Beispiele Anwendungen (Ausblick) Herleitung Drehmatrix Eigenwerte Drehmatrix Eigenwerte, Eigenvektoren der inversen Matrix Fall von lauter verschiedenen Eigenwerten: Eigenvektoren bilden eine Basis Beispiele *Selbststudium:* Repetition einfache Abstandsberechnung: Abstand eines Punktes zu einer Gerade im Raum mit Hilfe der Normalenebene zur Geraden durch den Punkt. Abstand eines Punktes zu einer Ebenen im Raum mit Hilfe der Normalengeraden zur Ebene (aus der Koordinatengleichung) durch den Punkt. Herleitung der Matrixdekomposition (Diagonalisierung) im Falle von verschiedenen Eigenwerten ungleich 0. Das Produkt der Eigenwerte als Determinante der Matrix. Beispiele Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen Prüfungsvorbereitung!
Wo 9	Test *Selbststudium:* Repetition Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren: Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren). Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren. Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 10	*Selbststudium:* Repetition Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren: Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren). Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren. Beispiele Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Ähnliche Matrizen Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Beispiele, Matrixkomposition Ausarbeitung: Zusammenhang Gausalgorithmus - Rangsatz Was ist Rang, Ordnung, Dimension...	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 11	Testrückgabe Besprechung Matrixkomposition: A = X D_EW X^-1 ==> Eine Matrix, bei der die Eigenwertmatrix X eine Inverse besitzt, lässt sich als Produkt darstellen, wobei D_EW die Diagonalmatrix mit den EW in der Diagonalen ist. Auf diese Weise lassen sich Matrizen komponieren. Beispiele: Spiegelungsmatrix an eine Gerade in der Ebene Projektionsmatrix auf eine Ebene im Raum Weitere Ideen Determinante einer Matrix als Produkt der Eigenwerte Determinante einer Matrix als letzter Koeffizient im Charakteristischen Polynom In einem Raum mit Dim = n kann eine Verschiebung nicht durch eine (n x n)-Matrix gemacht werden. Um in einem Raum mit Dim = n eine Verschiebung mit Hilfe einer Matrix zu machen, kann man die Dimension um 1 erhöhen und eine letzte Vektorkoordinate ( = 1 ) anfügen (projektive Koordinaten, liften und verjüngen). *Selbststudium:* Drehung um eine Achse im Raum mit Hilfe von Matrizen Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Ähnliche Matrizen	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 12	Eigenwertprobleme: Berechnung der Streckungsrichtungen zu gegebenen Matrizen: Eigenwertprobleme Berechnung der Eigenwerte: Charakteristische Polynome Berechnung der Eigenvektoren Beispiel einer Projektionsmatrix Beispiel einer Kollineationsmatrix Verschiebungsmatrix, projektive Koordinaten Das Problem der Konstruktion von Matrizen, welche Vektoren in gegebene Vielfache strecken Kollineation: Gegeben Fixgerade, Punkt, Bildpunkt. Abbildung weiterer Punkte und auch einer Figur. Berechnung der Bilder und des Inhalts des Bildes Produkt der Eigenwerte = Determinante: Det = Produkt der EW Abbildung einer Figur: Bildinhalt = Urbildinhalt mal Determinante Spezialfall: Urbildinhalt ist schon eine Determinante ==> Determinantenmultiplikationssatz Eigenwerte und potenzierte Matrizen Anwendungen auf Iterationen EW und EV einer Matrix und Beziehung zu EW und EV der inversen Matrix EW und EV einer Matrix und Beziehung zu EW und EV der transponierten Matrix Drehmatrix im Raum: Zusammensetzung der Abbildungsmatrix: Konstruktion mittels Teilschritten. Benutzung einer lokalen ONB und Matrix mit Bildern der alten ONB als neue ONB Beispiel Potenzen von Matrizen *Selbststudium:* Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen Stichworte zur Testvorbereitung: Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine Annäherung? Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten Gleichungssystem? Drehung um eine Achse im Raum, Matrix? Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und Eigenvektoren Begriffe der linearen Algebra
Wo 13	Matrizen mit gleichen Eigenvektoren Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume *Selbststudium:* Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 14	Spezialanlass: Pfingstmontag *Selbststudium:* Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 15	Testvorbereitung: Aufgabenserie besprechen, Beispiele von ehemaligen Testaufgaben. Selbststudium: Prüfungsvorbereitung	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
Wo 16 Hier sind wir angekommen	Test Klärung der noch offenen Fragen Hier sind wir angekommen Selbststudium: Merke: Jetzt ist man auf sich selbst angewiesen. Man ist fortan sein eigener Planer. Wer nicht selbst plant, für den plant der Zufall, unerbittlich. Hier sollte man angekommen sein (mit dem eigenen Arbeits- und Repetitionsplan) Hier sollte man angekommen sein mit der Neugier	Selbststudium: Siehe links Zu den Übungen
S2 Woche	Hier sind wir angekommen	Grün = Vorjahr / Gelb = jetzt
	Ausschreibung Nachprüfungen: Nach persönlicher Kontaktaufnahme mit dem Dozenten.

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Übungsliste

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Material:
- Übungscheine
- Formelnbuch oder Mathematiklexikon
- Eventuell nach Lehrbuch (Umfang)
- Computer: Rechenprogramm (... u.s.w.)
Eintrag ins Porte-Feuille
- Notizen
- Zusammenfassungen zu den Themen: Begriffe, Zusammenhänge, Anwendungen, Stundennachweis (Handschriften)
- Zusätzlich ev. Computerausarbeitungen
- Handlösungen
- Projekt

Blöcke	Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)	Bemerk.
Wo 1	Vorgesehen: Downloads: Download Skripte auf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html Lineare Algebra, Geometrie, deutsch http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGd.pdf ausführlich (vorerst Teil Vektorrechnung !!!!) MATLAB-Einführung: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/FileList.html (Übersicht über die Files) oder http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf oder MATLAB Externes Material: http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage3.html#EinfMatlab (Skript von der ETH empfehlenswert!) Variante, wer Lust hat: Lineare Algebra, Geometrie (passwortgeschützt, Dozent fragen): http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AndereIntern/MueBae/SkriptLinAlgGeo.pdf Einführungsskript mit Tips zur Lerntechnik http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KursEinf.pdf Download Octave http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage1.html#Freeware (Freeware) Studium, Literatur: Studiere das Learningmanagement-System http://rowicus.ch/Wir/indexTotalF.html Beschaffe Literatur http://rowicus.ch/Wir/TutoringCoaching/LiteraturAktuell.html Übungen Mache dir einen privaten Repetitionsplan oder Arbeitsplan für die Grundlagen, falls du dich unsicher fühlst (Literatur: Vorkurs Mathematik, Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen) Sammle deine Übungsaktivitäten in einem Porte-Feuille zum Fach! Weiter ist ein Blatt schon bereit: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/SEMAlg01.pdf () Übungen:* http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg01.pdf Kurzlösungen: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg01.pdf <== Update: weitere Hinweise Übungscheine (Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf )	Selbststudium siehe links
Wo 2	Download Octave http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage1.html#Freeware (Freeware) Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Selbststudium Stoff aus Lehrbücher: Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig, Linearkombination Selbststudium Stoff aus Lehrbücher: Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren) Selbststudium Stoff aus Lehrbücher: Eigenschaften einer Basis Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg02.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg02.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 3	Selbststudium: Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg03.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg03.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 4	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg04.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg04.pdf Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript Selbststudium: Sätze der Geometrie, Skalarprodukt Motivation: Arbeit Sätze der Geometrie Definition Gesetze ==> Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen	Selbststudium siehe links
Wo 5	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg05.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg05.pdf Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte) Selbststudium: Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren) Hess'sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen	Selbststudium siehe links
Wo 6	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg06.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg06.pdf Selbststudium: Spatprodukt Motivation, Definition Eigenschaften, Regeln, Sarrus Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) Beispiele, Übungen Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte Kreis- und Kugelgleichungen Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Beispiele, Übungen Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz, Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz, Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).	Selbststudium siehe links
Wo 7	Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Weitere Begriffe und Eigenschaften im Zusammenhang mit Kreis und Kugel Gleichungen des Zylinders und des Kegels Beispiele dazu, Übungen Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg07.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg07.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 8	Selbststudium: Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...) Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen (alter Test) http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg08.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg08.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 9	Selbststudium: Matrizenrechnung: Matrizentypen Zeilenrang und Spaltenrang Ordnung, Dimension, Satz zu Ordnung, Rang und Dimension Beispiele Zeilenmatrix, Spaltenmatrix Allgemeine Matrix und transponierte Matrix Regeln zur Transponierten Matrixaddition Beispiele Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Beispiele Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar Beispiele Matrixprodukt Regeln zum Matrixprodukt Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts Gleichungssysteme und Matrixaddition Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen Selbststudium: Testvorbereitung ==> Studium des bisherigen Stoffs Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen (alter Test) http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg09.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg09.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 10	Übungen (alter Test) siehe oben Wo 9 Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg10.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg10.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 11	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg11.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg11.pdf Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)	Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 12	Selbststudium: (A.B).C=A.(B.C) Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen) Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der Inversen Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Jacobi-Verfahren: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGd.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGdf.pdf ( unter 9.8.3.) Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg12.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg12.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 13	Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren Grund der Verwendung solcher Zahlen Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg13.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg13.pdf	Selbststudium siehe links Hinweis: Download TI-handbücher Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 14	Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren Grund der Verwendung solcher Zahlen Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg14.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg14.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Selbststudium: Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und harmonische Schwingungen Harmonische Schwingen und Überlagerungen, Erzeugung von harmonischen Schwingungen: In Elektrotechnik, Mechanik (Federpendel) und Mathematik Überlagerung von Schwingungen Partialbruchzerlegung Das Problem Ausdividieren Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren Beispiele und Anwendungen Ausblicke Beispiele Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg15.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg15.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 16	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg16.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg16.pdf	Selbststudium: Siehe links
Blöcke	Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)	Bemerk.
Wo 1	Selbststudium nach eigenem Plan: Kostenloses Hilfsprogramm: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen Neu erstellte LaTeX-Version: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_01.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_01.pdf (Passwortgeschützte ältere Serien:) http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_011.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_021.pdf Selbststudium: Repetition: Vektorprodukt, Idee Gesetze Spatprodukt Gesetze Determinanten Sarrus Anwendungen in der Geometrie: Gleichungen von Geraden, Ebenen usw. Geometrische Interpretation von Gleichungssystemen Lösungsverhalten Determinanten Cramersche Regeln Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Flächeninhalt und Vektorprodukt Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung". Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 2	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Neu erstellte LaTeX-Version: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_02.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_02.pdf (Passwortgeschützte ältere Serien:) http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_031.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_041.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_051.pdf Selbststudium: Grundlagen Determinanten Cramersche Regeln Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Flächeninhalt und Vektorprodukt Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung". Repetitionen und Aufarbeitung im Selbststudium: Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene) Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel) Die Kegelschnitte Kegelgleichung Zylindergleichung Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck Die Winkel am Apolloniuskreis	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 3	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_03.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_03.pdf *Selbststudium:* Grundlagen (Kurzrepetition) Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung Beispiele (Kurzrepetition) zu Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt Beispiele (Kurzrepetition) zu Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele *Repetitionen und Aufarbeitung im Selbststudium:* Kurze Repetition Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene) Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel) Die Kegelschnitte Kegelgleichung Zylindergleichung Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck Die Winkel am Apolloniuskreis *Repetitionen (Selbststudium):* Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Beispiele Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor *Repetitionen (Selbststudium):* Matrizen Anwendungen bei Gleichungssystemen und bei Abbildungen Eigenschaften Bedeutung der Spaltenvektoren bei der Abbildung Abbildungseigenschaften einer Matrix *Repetitionen (Selbststudium):* Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele Beispiel von Matrizen ohne reelle Eigenwerte Eigenvektoren als Basis Charakteristisches Polynom Berechnungen *Demnächst behandelter Stoff:* Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Das Problem bei nicht regulägen Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiel Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung".	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 4	Selbststudium siehe rechts Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_04.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_04.pdf Selbststudium: Repetition Einheitsmatrix Repetition Inverse Matrix und Berechnung Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Das Problem bei nicht regulägen Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiel Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 5	Übungen: Repetition (beachte Update: Zusatzaufgaben) http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_04.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_04.pdf Übungen: Neu http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_05.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_05.pdf Selbststudium: Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 6	Übungen: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_06.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_06.pdf Selbststudium: Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation Beispiele Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 7	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_07.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_07.pdf Selbststudium: Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren Charakteristisches Polynom Berechnungen, Beispiele, Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Beispiele mit verschiedenen Eigenwerten und Eigenvektoren Eigenraum: Darstellung eines Vektors in der Basis von Eigenvektoren und Abbildung dieses Vektors geometrisch, Aufspannen des Eigenraumes mit Eigenvektoren Zerlegung einer Matrix in Faktoren mit Eigenvektoren (resp. Inverse) und Eigenwerten (Diagonalmatrix) Matrixkomposition Beispiele und Sinn der Sache, Eigenwertprobleme woanders, Beispiele von Operatoren, Schwingungen... Konstruktion der Spiegelungmatrix an eine Gerade Zusammensetzung der Ebenenspiegelung aus Translation, Spiegelung der Ebene an der Parallelebene durch den Ursprung, Rücktranslation Beispiele Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Beispiel mit mehrfachen Eigenwerten: Möglichkeiten dazu für die Eigenvektoren Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Beispiel mit Eigenwert 0 Das Problem bei nicht regulären Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiele, Übungen Repetition Vektorgeometrie-Stoff aus Woche 3, speziell: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 8	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_08.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_08.pdf Selbststudium: Repetition einfache Abstandsberechnung: Abstand eines Punktes zu einer Gerade im Raum mit Hilfe der Normalenebene zur Geraden durch den Punkt. Abstand eines Punktes zu einer Ebenen im Raum mit Hilfe der Normalengeraden zur Ebene (aus der Koordinatengleichung) durch den Punkt. Herleitung der Matrixdekomposition (Diagonalisierung) im Falle von verschiedenen Eigenwerten ungleich 0. Das Produkt der Eigenwerte als Determinante der Matrix. Beispiele Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff Prüfungsvorbereitung!
Wo 9	Testnachbereitung Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_09.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_09.pdf Selbststudium: Repetition Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren: Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren). Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren. Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 10	Testverbesserung Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_10.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_10.pdf Selbststudium: Repetition Spezielles zu Eigenwerten und Eigenvektoren: Quadratische Matrix nicht regulär genau dann wenn mindestens ein Eigenwert null genau dann wenn Konstante im charakteristischen Polynom null Inverse Matrizen haben inverse Eigenwerte und gleiche Eigenvektoren wie die Matrix Transponierte Matrizen haben gleiche Eigenwerte wie die Matrix. Die Eigenvektoren berechnen sich jedoch kompliziert (Matrix der Eigenvektoren invertieren und transponieren). Diagonalmatrizen haben die Diagonalelemente als Eigenwerte und die Basiseinheitsvektoren des ONS als Eigenvektoren. Beispiele Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Ähnliche Matrizen Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Beispiele, Matrixkomposition Ausarbeitung: Zusammenhang Gausalgorithmus - Rangsatz Was ist Rang, Ordnung, Dimension...	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 11	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_11.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_11.pdf Selbststudium: Drehung um eine Achse im Raum mit Hilfe von Matrizen Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Ähnliche Matrizen Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 12	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_12.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_12.pdf Stichworte zur Testvorbereitung: Überbestimmtes Gleichungssystem, eigene Idee für eine Annäherung? Ordnung, Rang und Dimension bei einem unterbestimmten Gleichungssystem? Drehung um eine Achse im Raum, Matrix? Konstruktion von Matrizen bei bekannten Eigenwerten und Eigenvektoren Begriffe der linearen Algebra Selbststudium: Ähnliche Matrizen (gleiche Eigenwerte, nicht notwendigerweise gleiche Eigenvektoren) Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Ähnliche Matrizen Begriffe Spur und Determinante als Koeffizienten im charakteristischen Polynom Das Problem der überbestimmten Gleichungssysteme: Optimale Lösungen, minimale Fehlerquadratsumme Die Begriffe Urbildraum, Kern und Image Urbildraum, Kern und Image als Vektrorräume Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff Testvorbereitung siehe links
Wo 13	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_13.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_13.pdf Selbststudium: Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 14	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_14.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_14.pdf Bisherige Arbeiten zu Rädergelenkgestängen siehe Link Selbststudium: Zusammenhang Lösungsmenge von Gleichungssystemen: Homogene Lösungen, partikuläre Lösungen, inhomogene Lösungen Ordnung = Rang + Dimension und Dimension(Urbildraum) = Dimension(Kern) + Dimension(Image) Berechnung des Rangs einer Matrix Zeilenrang = Spaltenrang Beispiele	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 15	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_15.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_15.pdf Selbststudium: Prüfungsvorbereitung	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
Wo 16 Hier sind wir angekommen	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_16.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_16.pdf Test: Nachbearbeitung, siehe auf ProblemsSolutBachelor/ProblemsSolutBachelor.html#LinAlg Test / Lösungen (pdf) / Souce (.nb) Beispiel eines ehemaligen Tests Alter Test / Alte Lösungen (pdf) / Alter Souce (.nb) Praktische Übung am Computer: Mehr Anfreundung mit MatLab, Session nach eigener Neugier (Interessanter Link: XaoS ==> http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php ) Hier sind wir angekommen Selbststudium: Merke: Jetzt ist man auf sich selbst angewiesen. Man ist fortan sein eigener Planer. Wer nicht selbst plant, für den plant der Zufall, unerbittlich. Hier sollte man angekommen sein (mit dem eigenen Arbeits- und Repetitionsplan) Hier sollte man angekommen sein mit der Neugier	Selbststudium: Siehe links Zum Stoff
S2 Woche	Hier sind wir angekommen	Grün = Vorjahr / Gelb = jetzt
	Ausschreibung Nachprüfungen: Nach persönlicher Kontaktaufnahme mit dem Dozenten.

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Stoffplan/ Input bisher (M1p+E1p 2007/2008)

Realität 2007 / 2008

Übungen 2007 / 2008

a) Möglicher Plan oder Hypothese:

Sprung zum Semester 2

S1 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Einführung, Organisation, Anleitung zur Arbeit Vektoren, Skalare, Zahlen im Computer, MATLAB	Siehe zum Vergleich auch Inhaltsverzeichnis B.M.-Skript
Wo 2	MATLAB, Vektoren in der Ebene, im Raum, Rechenregeln für Vektoren, andere Darstellungen
Wo 3	Vektoren: Technik, MATLAB, Wertetabellen v. Fkt., Skalarprodukt, Anwendungen, Winkel u. Vektoren
Wo 4	Orthogonalität, Projektionen v. Vektoren, Arbeit, Vektorprodukt und seine Anwendungen, Rechenregeln, Bemerkung, Drehmoment, Volumenmessung, Abstand Punkt-Gerade, Aufgaben
Wo 5	Aufgaben, Resultate, ev. Test
Wo 6	ev. Test
Wo 7	Lin. Gl'syst, Matrizen, Beispiele, spezielle Matrizen, gaussscher Algorithmus, Rückwärtseinsetzen-Algorithmus, Rechenaufwand
Wo 8	Kriterien z. Lösbarkeit v. LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten, Rechnen m. Matrizen, Addition, Multiplikation Matrix mit Skalar, Matrix-Multiplikation
Wo 9	Warum so komplizierte Mult.? LU-Faktorisierung, quadr. Matrizen u. Determinanten, Fall n = 2, n>2
Wo 10	Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf.? Rechenaufwand, Zusammenfsg. Theorie zu LGS in Flow-Chart, Aufgaben
Wo 11	Aufgaben, Resultate, ev. Test
Wo 12	ev. Test
Wo 13	Komplexe Zahlen u. harmon. Schwing., harmon. Schwing. u. Überlagerungen, Federpendel, erzeug. in Elektrotechnik u. Mathem. harmon. Schwing., Überlagerung v. Schwingungen
Wo 14	Komplexe Zahlen, rechnen, geometrische Bedeutung Addition u. Multiplikation, Anwendungen, Ortskurven und komplexe Funktionen
Wo15	Aufgaben, Resultate
Wo16	Aufgaben, Resultate, Test
S2 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
Wo 2	Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
Wo 3	Repetition, Ausbau, Aufbau: Vektorrechnung, Anwendungen in der Geometrie
Wo 5	Repetition, Ausbau, Aufbau: Matrizen, Determinanten, Gleichungssysteme
Wo 6	Repetition, Ausbau, Aufbau: Matrizen, Determinanten, Gleichungssysteme
Wo 7	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
Wo 8	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
Wo 9	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
Wo 10	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen
Wo 11	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen, Geometrie
Wo 12	Repetition, Ausbau, Aufbau: Lineare Abbildungen, Eigenwertprobleme
Wo 13	Übungen
Wo 14	Test
Wo 15	Reserve
Wo 16	Reserve

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b) Realität 2007 / 2008:

Sprung zum Semester 2

S1 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Einführung Vorstellung Learningmanagement Koordinaten Lerntechnik: Vergessenskurve, Lernplateau, Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden. Faktor =0 ==> Produkt = 0. Wozu Mathematik? Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen Realitäten". Modell (in der Sprache der Mathematik) - Realität ==> Naturwissenschaft - Mathematik Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt Praktische Einführung in MATLAB
Wo 2	Skalare, Vektoren Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge, Betrag, Norm in Koordinatensystem Addition Multiplikation Gesetze Allgemeiner Vektorbegriff Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig, Linearkombination Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl Basisvektoren) Eigenschaften einer Basis Weiter mit MATLAB (siehe Übungen)
Wo 3	Weiter mit Vektoren Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen, Spaltenvektoren, Transponierte Gleichheit von Vektoren Einheitsvektoren In Polarkoordinaten Rechengesetze in Koordinatensystemen Basiswechsel, Länge Beispiele Skalarprodukt Motivation: Arbeit Definition Gesetze ==> Selbststudium: Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 4	Skalarprodukt Gesetze, Regeln Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz, Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors Anwendungen auf lineare Gebilde Geraden- und Ebenengleichungen Parametergleichungen Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der Geraden) Umwandlungen ineinander Koordinatengleichung und Normalenvektor Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen Normalenvektoren) Hess'sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript	Selbststudium: Siehe links
Wo 5	Flächenprodukt Motivation, Definition Regeln Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Vektorprodukt Motivation, Definition Regeln Anwendungen, z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte).	Selbststudium: Siehe links
Wo 6	Spatprodukt Motivation, Definition Eigenschaften, Regeln, Sarrus Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode) Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von Ebene...) Beispiele, Übungen Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte Kreis- und Kugelgleichungen Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene Beispiele, Übungen Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz, Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz, Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).	Selbststudium: Siehe links
Wo 7	Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des Skalarprodukts Homogene und inhomogene Gleichung Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge der Lösungen der Einzelgleichungen Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten (Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...) Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen. Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit Übungen	Selbststudium: Siehe links
Wo 8	Lineare Gleichungssysteme Matrizen, Matrixschreibweise Matrizentypen Gauss-Jordan-Algorithmus Beispiele Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen Beispiele zum Gauss-Algorithmus: Keine Lösung Genau eine Lösung Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur) Rang der Matrix Zeilenrang und Spaltenrang Ordnung, Dimension, Satz zu Ordnung, Rang und Dimension Beispiele Zeilenmatrix, Spaltenmatrix Allgemeine Matrix und transponierte Matrix Regeln zur Transponierten Matrixaddition Beispiele Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Beispiele Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem Skalar Beispiele Matrixprodukt Regeln zum Matrixprodukt Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts Gleichungssysteme und Matrixaddition Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
Wo 9	Beispiele, Übungen Test
Wo 10	Gauss'scher Algorithmus und Rückwärtseinsetzen-Algorithmus: Rechenaufwand Ueb. Vektorprodukt- Formel via elementare Aufgliederung. Matrixmultiplikation LU-Faktorisierung (LR-Zerlegung, Dreieckszerlegung), quadr. Matrizen u. Determinanten, Fall n = 2, n>2	Sonderprogramm
Wo 11	Rückgabe Test Repetition.: Matrixmultiplikation, Gesetze, rechnen mit Matrizen (Addition, Multiplikation, Streckung mit Skalar), Beziehung Matrix - Gleichungssystem Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)	Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 12	Nachholtest Rep. Determinantenberechnung: Entwicklungssatz Anwendung Entwicklungssatz Determinante der Transponierten von A = Determinante von A Determinante Einer Dreiecksmatrix = Produkt der Diagonalelemente Beispiel Determinantenberechnung durch Transformation auf Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln) Beispiel Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten Beispiel Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung (A.B).C=A.(B.C) Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung von Gleichungssystemen) Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der Inversen Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf.?, Rechenaufwand	Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-' ungef., wann konv. Jacobi-Verf., Rechenaufwand,
Wo 13	Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von Gleichungen und der Berechnung der Inversen Übungen, Aufgaben im Labor Addition von Schwingungen Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren Grund der Verwendung solcher Zahlen Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar	Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 14	Repetition bisheriger Stoff zu den komplexen Zahlen Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von komplexen Zahlen Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation, Schreibeweisen von i Gesetze der Multiplikation Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und Konsequenzen Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen Beispiele (z.B. zⁿ = cis(pi/4)ⁿ ==> Achteck) Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation Lage der Inversen Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C	Selbststudium: Repetition des bisherigen Stoffes im Hinblick auf die Modulprüfung
Wo 15	Wurzelziehen in C n-te Einheitswurzeln n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))ⁿ (Fourier) Hauptsatz der Algebra Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades) Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren Partialbruchzerlegung Das Problem Ausdividieren Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren Beispiele und Anwendungen Ausblicke Beispiele
Wo 16	Partialbruchzerlegung Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren Beispiele und Anwendungen Reserve, Repetition, Ausblick: Alte Prüfungsserien lösen: Vorbereitung auf die Modulprüfung
S2 Woche	Stoffinhalt (grob)	Bemerk.
Wo 1	Beispiele zu Semestereinführung, Repetition Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
Wo 2	Beispiele zu Umrechnungen zwischen Parametergleichung und Koordinatengleichungen Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt Parametergleichung und Abstandsberechnungen Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
Wo 3	Beispiele (Kurzrepetition) zu Flächeninhalt und Vektorprodukt Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und Normalenvektor Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche Normalform!) Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche Normalform!) Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen Punkt Volumen mit Spatprodukt Beispiele Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3 Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0. Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment "Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie) alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun, wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also nichts mehr gespannt werden kann? Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener Richtung: Stichwort "Vorspannung".
Wo 4	Kurze Rep.Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene) Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel) Die Kegelschnitte Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung
Wo 5	Rep. Kreis, Kugel Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung im Dreieck Die Winkel am Apolloniuskreis Tangente, Tangentialebene Kegelgleichung Zylindergleichung	Selbststudium: Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
Wo 6	Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor Repetition Abbildungseigenschaften einer Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren: Beispiel
Wo 7	Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren: Charakteristisches Polynom Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten als die Ordnung Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung Die Triviallösung 0 Das Problem bei nicht regulägen Matrizen Beispiel, Berechnungen Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang + Dimension" gestört. Beispiel
Wo 8	Repetition Vektorgeometrie und Prüfungsstoff Abbildung mit Matrizen Apollonius Kreis, Kugel, Tangente Pol, Polare, Potenz, Potenzgerade Beispiele Berechnung von Eigenwerten, Eigenvektoren: Beispiel Beziehungen zwischen Abbildung und Eigenwerten/Eigenvektoren Ein Beispiel mit A = B D B^-1 - dabei besteht B aus den Eigenvektoren und D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A
Wo 9	Test (Link siehe Übungen)
Wo 10	Spezialwoche
Wo 11	Test retour Repetition von und weiter mit Eigenwertproblemen: Rep. Eigenwerte und Eigenvektoren Berechnung, charakteristisches Polynom, maximale Anzahl Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten Eigenwerte, Eigenvektoren zur inversen Matrix Eigenwerte, Eigenvektoren zur transponierten Matrix Diagonalisierung einer Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten
Wo 12	Repetition Diagonalisierung einer Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten Vergleich der Eigenwerte und Eigenvektoren von A mit denjenigen der zugehörigen Diagonalmatrix D Berechnung der Eigenvektoren von D Vergleich der Determinante von A mit derjenigen von D Konstruktion einer Matrix mit gegebenen Eigenvektoren und Eigenwerten Beispiel einer Konstruktion mit Abbildung einer Kurve (Kreis in eine bestimmte gegebene Richtung zu einer Ellipse deformiert mit gegebenem Achsenverhältnis...)
Wo 13	Spur, Determinante und charakteristisches Polynom Gleichheit der charakteristischen Polynome bei A und D, Ähnlichkeit von Matrizen (gleiche Eigenwerte res. charakteristische Polynome) Kollineation: Geometrische Abbildung einer Figur mit Fixgerade, Konstruktion der Matrix mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren. Beispiele
Wo 14	Neue Teile, andere Teile sind nur Repetition: Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer Geraden in der Ebene mit Hilofe von Eigenvektoren und Eigenwerten Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene mit gegebener Projektionsrichtung Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
Wo 15	Test
Wo 16	Testrückgabe, Nachbearbeitung, Abschluss, Erledigung von ausstehenden Arbeiten u.s.w.
Resultat	Situation Mp+Ep-Klasse, 1. Jahr (Achtung: Login restricted, Passwort wie bisher / nach Mail)

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c) Übungsliste (2007/2008)

Sprung zum Semester 2

Blöcke	Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)	Bemerk.
Wo 1	Downloads: Download Skripte auf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/Scripts.html Lineare Algebra, Geometrie, deutsch http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGd.pdf ausführlich (vorerst Teil Vektorrechnung !!!!) MATLAB-Einführung: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/FileList.html (Übersicht über die Files) oder http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf oder MATLAB Externes Material: http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage3.html#EinfMatlab (Skript von der ETH empfehlenswert!) Variante, wer Lust hat: Lineare Algebra, Geometrie (passwortgeschützt, Dozent fragen): http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/AndereIntern/MueBae/SkriptLinAlgGeo.pdf Einführungsskript mit Tips zur Lerntechnik http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KursEinf.pdf Download Octave http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage1.html#Freeware (Freeware) Studium, Literatur: Studiere das Learningmanagement-System http://rowicus.ch/Wir/indexTotalF.html Beschaffe Literatur http://rowicus.ch/Wir/TutoringCoaching/LiteraturAktuell.html Übungen Mache dir einen privaten Repetitionsplan oder Arbeitsplan für die Grundlagen, falls du dich unsicher fühlst (Literatur: Vorkurs Mathematik, Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen) Sammle deine Übungsaktivitäten in einem Porte-Feuille zum Fach! Weiter ist ein Blatt schon bereit: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/SEMAlg01.pdf () Übungen:* http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg01.pdf Kurzlösungen: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg01.pdf <== Update: weitere Hinweise Übungscheine (Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf )	Selbststudium siehe links
Wo 2	Download Octave http://rowicus.ch/Wir/Links/Linkpage1.html#Freeware (Freeware) Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg02.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg02.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 3	Selbststudium: Skalarprodukt, Gesetze und Anwendungen Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg03.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg03.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 4	Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg04.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg04.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 5	Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte) Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg05.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg05.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 6	Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg06.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg06.pdf Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz, Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz, Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).	Selbststudium siehe links
Wo 7	Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg07.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg07.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 8	Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen (alter Test) http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg08.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg08.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 9	Testvorbereitung: Studium des bisherigen Stoffs Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen (alter Test) http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg09.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg09.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 10	Testnachbereitung: Test Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg10.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg10.pdf	Selbststudium siehe links
Wo 11	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg11.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg11.pdf Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)	Selbststudium: Stoff unter diesen Links (pdf) (txt)
Wo 12	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Jacobi-Verfahren: http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGd.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/KAlgGdf.pdf ( unter 9.8.3.) Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg12.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg12.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 13	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg13.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg13.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 14	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg14.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg14.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 15	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg15.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg15.pdf	Selbststudium: Siehe links
Wo 16	Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg16.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg16.pdf	Selbststudium: Siehe links
Blöcke	Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für Lösung)	Bemerk.
Wo 1	Übungen nach abgegebenem Handout (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier angegebenen Links) http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_011.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_021.pdf Neu erstellte LaTeX-Version: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_01.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_01.pdf
Wo 2	Übungen nach abgegebenem Handout (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier angegebenen Links) http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_031.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_041.pdf http://rowicus.ch/Wir/Scripts/restricted/.../Uebungen2/Serie_051.pdf Neu erstellte LaTeX-Version: http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_02.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_02.pdf
Wo 3	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_03.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_03.pdf
Wo 4	Selbststudium siehe rechts Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_04.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_04.pdf	Selbststudium: Tangente, Tangentialebene Pol, Polare Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung Zylindergleichung
Wo 5	Selbststudium siehe rechts Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_05.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_05.pdf	Selbststudium: Potenz, Potenzgerade, Potenzebene Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
Wo 6	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_06.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_06.pdf
Wo 7	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_07.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_07.pdf
Wo 8	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_08.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_08.pdf
Wo 9	Testnachbereitung: Test Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_09.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_09.pdf
Wo 10	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_10.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_10.pdf
Wo 11	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_11.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_11.pdf
Wo 12	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_12.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_12.pdf
Wo 13	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_13.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_13.pdf
Wo 14	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_14.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_14.pdf
Wo 15	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_15.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_15.pdf
Wo 16	Übungen http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/UEMAlg2_16.pdf http://rowicus.ch/Wir/ProblemsSolutBachelor/LEMAlg2_16.pdf Test: Nachbearbeitung Test Lösungen (pdf) Souce (.nb) Praktische Übung am Computer: Mehr Anfreundung mit MatLab, Session nach eigener Neugier	(Achtung: Link kann hier etwas dauern)
Resultat	Situation Mp+Ep-Klasse, 1. Jahr (Achtung: Login restricted, Passwort wie bisher / nach Mail)

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Klassenliste (M1p+E1p 2011/2012) Ersetze _ bei _ _ durch den Affenschwanz ===> Liste für Hausmail .txt

===> Sammel-Mail an die Klasse

HTI I Maschinentechnik / Gruppe M11 (Teilzeit) / 2011 HS / Total ...Studierende / Stand: ....2011 / * Klassenchef

Anrede	Name	Vorname

HTI I Elektro- und Kommunikationstechnik / Gruppe E11 (Teilzeit) / 2011 HS / Total ...Studierende / Stand: ...2011 / * Klassenchef

Anrede	Name	Vorname

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Abschlussergebnisse Login in SeSaM mit URL ...