| S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Einführung
- Vorstellung
- Learningmanagement
- Koordinaten
- Lerntechnik: Vergessenskurve, Lernplateau,
- Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor =0 ==> Produkt = 0.
- Wozu Mathematik?
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine "materiellen
Realitäten".
- Modell (in der Sprache der Mathematik) - Realität ==>
Naturwissenschaft - Mathematik
- Übungen: Skalare, Vektor und andere Begriffen nach Übungsblatt
- Praktische Einführung in MATLAB
|
|
| Wo 2 |
- Skalare,
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm in Koordinatensystem
- Addition
- Multiplikation
- Gesetze
- Allgemeiner Vektorbegriff
- Lineare Abhängigkeit: Kollinear, komplanar, linear abhängig,
linear unabhängig, Linearkombination
- Erzeugendensystem, Basis, Dimension eines Vektorraums (Anzahl
Basisvektoren)
- Eigenschaften einer Basis
- Weiter mit MATLAB (siehe Übungen)
|
|
| Wo 3 |
- Weiter mit Vektoren
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Rechengesetze in Koordinatensystemen
- Basiswechsel, Länge
- Beispiele
- Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Definition
- Gesetze ==> Selbststudium: Skalarprodukt, Gesetze
und Anwendungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 4 |
- Skalarprodukt
- Gesetze, Regeln
- Anwendungen: Z.B. Test auf Rechtwinkligkeit, Cosinussatz,
Richtungscosinus(e), Drehung eines Vektors
- Anwendungen auf lineare Gebilde
- Geraden- und Ebenengleichungen
- Parametergleichungen
- Koordinatengleichungen (Spezialfall: Funktionsgleichung der
Geraden)
- Umwandlungen ineinander
- Koordinatengleichung und Normalenvektor
- Koordinatengleichung und Distanz vom Ursprung
- Winkel zwischen Geraden oder Ebenen (Winkel zwischen
Normalenvektoren)
- Hess'sche Normalform
- Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebenen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 5 |
- Flächenprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Vektorprodukt
- Motivation, Definition
- Regeln
- Anwendungen, z.B. Berechnung der Koordinatengleichung (3D) aus
einem Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Spatprodukt, Anwendungen und weitere Produkte).
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 6 |
- Spatprodukt
- Motivation, Definition
- Eigenschaften, Regeln, Sarrus
- Anwendungen, z.B. Cramersche Regeln (Determinantenmethode)
- Anwendung auf Abstandsberechnungen (Abstand Punkt von
Ebene...)
- Beispiele, Übungen
- Weitere Produkte: Grassmannprodukt, Viererprodukte
- Kreis- und Kugelgleichungen
- Gleichungen der Tangente oder der Tangentialebene
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 7 |
- Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
- Schreiben einer linearen Gleichung mit Hilfe des
Skalarprodukts
- Homogene und inhomogene Gleichung
- Homogene Erweiterung durch Erhöhung der Dimension
- System von linearen Gleichungen: Systemlösung = Schnittmenge
der Lösungen der Einzelgleichungen
- Elementarsubstitutionen: Lösung des Systems bleibt erhalten
(Abtausch von Gleichungen, Multiplikation mit Skalar, Ersatz
einer Gleichung durch die Summe mit einer anderen...)
- Verhältnis von homogenen und inhomogenen Lösungen: Homogene
Lösungen bilden einen Vektorraum. Nur Basislösungen suchen.
Inhomogene Lösungsmenge = homogene Lösungsmenge + partikuläre
inhomogene Lösung ==> lineare Mannigfaltigkeit
- Übungen
|
- Selbststudium: Siehe links
|
| Wo 8 |
- Lineare Gleichungssysteme
- Matrizen, Matrixschreibweise
- Matrizentypen
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele
- Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang der Matrix
- Zeilenrang uns Spaltenrang
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
- Zeilenmatrix, Spaltenmatrix
- Allgemeine Matrix und transponierte Matrix
- Regeln zur Transponierten
- Matrixaddition
- Beispiele
- Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit
einem Skalar
- Beispiele
- Matrixprodukt
- Regeln zum Matrixprodukt
- Schreiben eines Gleichungssystems mit Hilfe des Matrixprodukts
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
|
|
| Wo 9 |
|
|
| Wo 10 |
- Gauss'scher Algorithmus und Rückwärtseinsetzen-Algorithmus:
Rechenaufwand
- Ueb. Vektorprodukt- Formel via elementare Aufgliederung.
- Matrixmultiplikation
- LU-Faktorisierung (LR-Zerlegung, Dreieckszerlegung), quadr. Matrizen u. Determinanten, Fall n = 2, n>2
|
|
| Wo 11 |
- Rückgabe Test
- Repetition.: Matrixmultiplikation, Gesetze, rechnen mit Matrizen
(Addition, Multiplikation, Streckung mit Skalar), Beziehung Matrix -
Gleichungssystem
- Repetition: Allgemeine Determinantendefinition und Regeln
- Allgemeiner Entwicklungssatz für Determinanten
- Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt)
|
(pdf)
(txt)
|
| Wo 12 |
- Nachholtest
- Rep. Determinantenberechnung: Entwicklungssatz
- Anwendung Entwicklungssatz
- Determinante der Transponierten von A = Determinante von A
- Determinante Einer Dreiecksmatrix = Produkt der
Diagonalelemente
- Determinantenberechnung durch Transformation auf
Dreiecksmatrix (Anwendung der Regeln)
- Determinantenberechnung mittels Unterdeterminanten
- Eine Matrix stiftet eine lineare Abbildung
- (A.B).C=A.(B.C)
- Berechnung der Inversen mittels Gauss-Jordan (simultane Lösung
von Gleichungssystemen)
- Determinantenmultiplikationssatz, Berechnung der Determinanten der
Inversen
- Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-'
ungef., wann konv. Jacobi-Verf.? Rechenaufwand
|
- Selbststudium: Jacobi Verfahren, iteratives Verfahren: A-'
ungef., wann konv. Jacobi-Verf.? Rechenaufwand,
|
| Wo 13 |
- Jacobi Verfahren (iteratives Verfahren) zum Lösen von
Gleichungen und der Berechnung der Inversen
- Übungen, Aufgaben im Labor
- Addition von Schwingungen
- Komplexe Zahlen und zweidimensionale Vektoren
- Grund der Verwendung solcher Zahlen
- Addition in den komplexen Zahlen, Multiplikation mit einem Skalar
|
(pdf)
(txt)
|
| Wo 14 |
- Repetition bisheriger Stoff zu den komplexen Zahlen
- Eine bisher nicht eingeführte Rechnungsart: Multiplikation von
komplexen Zahlen
- Die Bedeutung der imaginären Einheit i bei der Multiplikation,
Schreibeweisen von i
- Gesetze der Multiplikation
- Konjugiert komplexe Zahl und Division, Divisionsformel
- Die Bezeichnung z = Radius cis(Winkel): Polarkoordinaten
- Multiplikation mit der cis-Bezeichnung, Additionstheoreme
- Die geometrische Bedeutung der Multiplikation: Drehstreckung und
Konsequenzen
- Konsequenzen für die Potenzierung von komplexen Zahlen
- Beispiele (z.B. zn = cis(pi/4)n ==>
Achteck)
- Konsequenzen für das Assoziativgesetz der Multiplikation
- Konsequenzen für die Inverse einer Zahl bei der Multiplikation
- Lage der Inversen
- Additive und multiplikative Gruppen bezüglich C
|
- Selbststudium: Repetition des bisherigen Stoffes im Hinblick
auf die Modulprüfung
|
| Wo 15 |
- Wurzelziehen in C
- n-te Einheitswurzeln
- n-te Wurzeln aus beliebigen komplexen Zahlen
- Das Problem der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel
- Drehungen von Figuren mittels komplexer Zahlen
- Formeln von Moivre und Darstellungen wie (cos(w))n
(Fourier)
- Hauptsatz der Algebra
- Das Problem der Berechnung der Nullstellen (mittels Radikalen allgemein nur bis und mit Polynome 4. Grades)
- Zerlegung eines Polynoms in Linearfaktoren
- Partialbruchzerlegung
- Das Problem
- Ausdividieren
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Ausblicke
- Beispiele
|
|
| Wo 16 |
- Partialbruchzerlegung
- Reelle Polynome und Faktorisierbarkeit im Komplexen: Paare konjugiert komplexer Nullstellen oder quadratische reelle Faktoren
- Mehrfache Nullstellen und Potenzen von Faktoren
- Beispiele und Anwendungen
- Reserve, Repetition, Ausblick: Alte Prüfungsserien lösen:
Vorbereitung auf die Modulprüfung
|
|
| S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Beispiele zu
- Semestereinführung, Repetition
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele
|
|
| Wo 2 |
- Beispiele zu
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt
|
|
| Wo 3 |
- Beispiele (Kurzrepetition) zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden (Hess'sche
Normalform!)
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen (Hess'sche
Normalform!)
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Beispiele
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
- Zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung: Stichwort "Vorspannung".
|
|
| Wo 4 |
- Kurze Rep.Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
- Kreis, Kugel, Tangente, (Tangentialebene)
- Thaleskreis (Kugel) und Apolloniiuskreis (-Kugel)
- Die Kegelschnitte
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 5 |
- Rep. Kreis, Kugel
- Proportionierung: Winkelhalbierende und Seitenverhältnisteilung
im Dreieck
- Die Winkel am Apolloniuskreis
- Tangente, Tangentialebene
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
Selbststudium:
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
|
| Wo 6 |
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
- Vektorkurven, Tangentialvektor, Normalenvektor
- Repetition Abbildungseigenschaften einer Matrix
- Eigenwerte und Eigenvektoren: Beispiel
|
|
| Wo 7 |
- Repetition Eigenwerte und Eigenvektoren:
- Charakteristisches Polynom
- Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten oder weniger Eigenwerten
als die Ordnung
- Matrizen mit weniger Eigenvektoren als die Ordnung
- Die Triviallösung 0
- Das Problem bei nicht regulägen Matrizen
- Beispiel, Berechnungen
- Approximation von Eigenwerten: Bei der Berechnung der
Eigenvektoren ist die Gleichung "Ordnung = Rang +
Dimension" gestört.
- Beispiel
|
|
| Wo 8 |
- Repetition Vektorgeometrie und Prüfungsstoff
- Abbildung mit Matrizen
- Apollonius
- Kreis, Kugel, Tangente
- Pol, Polare, Potenz, Potenzgerade
- Beispiele
- Berechnung von Eigenwerten, Eigenvektoren: Beispiel
- Beziehungen zwischen Abbildung und Eigenwerten/Eigenvektoren
- Ein Beispiel mit A = B D B-1 - dabei besteht B aus den
Eigenvektoren und D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von
A
|
|
| Wo 9 |
- Test (Link siehe Übungen)
|
|
| Wo 10 |
|
|
| Wo 11 |
- Test retour
- Repetition von und weiter mit Eigenwertproblemen:
- Rep. Eigenwerte und Eigenvektoren
- Berechnung, charakteristisches Polynom, maximale Anzahl
- Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten
- Eigenwerte, Eigenvektoren zur inversen Matrix
- Eigenwerte, Eigenvektoren zur transponierten Matrix
- Diagonalisierung einer Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten
|
|
| Wo 12 |
- Repetition Diagonalisierung einer Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten
- Vergleich der Eigenwerte und Eigenvektoren von A mit denjenigen
der zugehörigen Diagonalmatrix D
- Berechnung der Eigenvektoren von D
- Vergleich der Determinante von A mit derjenigen von D
- Konstruktion einer Matrix mit gegebenen Eigenvektoren und
Eigenwerten
- Beispiel einer Konstruktion mit Abbildung einer Kurve (Kreis in
eine bestimmte gegebene Richtung zu einer Ellipse deformiert mit
gegebenem Achsenverhältnis...)
|
|
| Wo 13 |
- Spur, Determinante und charakteristisches Polynom
- Gleichheit der charakteristischen Polynome bei A und D, Ähnlichkeit
von Matrizen (gleiche Eigenwerte res. charakteristische Polynome)
- Kollineation: Geometrische Abbildung einer Figur mit Fixgerade,
Konstruktion der Matrix mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren.
- Beispiele
|
|
| Wo 14 |
- Neue Teile, andere Teile sind nur Repetition:
- Repetition Drehmatrix für Drehung in der Ebene
- Repetition Spiegelungsmatrix für Punktspiegelung
- Repetition Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer
Geraden in der Ebene
- Aufbau der Spiegelungsmatrix für Spiegelung an einer
Geraden in der Ebene mit Hilofe von Eigenvektoren und
Eigenwerten
- Projektionsmatrix für Projektion im Raum auf eine Ebene
mit gegebener Projektionsrichtung
- Drehmatrix für Drehung um eine Achse im Raum
|
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
- Testrückgabe, Nachbearbeitung, Abschluss, Erledigung von
ausstehenden Arbeiten u.s.w.
|
|
| Resultat |
|
|
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Downloads:
- Studium, Literatur:
- Übungen
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 2 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 3 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 4 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 5 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 6 |
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
- Selbststudium nach eigenem Plan: http://rowicus.ch/Wir/Matlab_Octave/Matlab_Octave00.pdf
- Übungen
- Selbststudium: Nicht besprochene Anwendungen nach Skript
sowie Ausblick (Apolloniuskreis, Kegelschnitte, Potenz,
Potenzgerade, Polare, Anwendungen, z.B. Sehnensatz,
Sekanten-Tangentensatz, Kegel, Zylinder u.s.w.).
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 7 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 8 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 9 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 10 |
|
Selbststudium siehe links |
| Wo 11 |
|
Selbststudium: Stoff
unter diesen Links (pdf)
(txt) |
| Wo 12 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 13 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 14 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 15 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Wo 16 |
|
Selbststudium: Siehe links |
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Übungen nach abgegebenem Handout
- (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier
angegebenen Links)
- Neu erstellte LaTeX-Version:
|
|
| Wo 2 |
- Übungen nach abgegebenem Handout
- (Die abgegebenen Serien sind mit Passwort abrufbar unter den hier
angegebenen Links)
- Neu erstellte LaTeX-Version:
|
|
| Wo 3 |
|
|
| Wo 4 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
|
Selbststudium:
- Tangente, Tangentialebene
- Pol, Polare
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
| Wo 5 |
- Selbststudium siehe rechts
- Übungen
|
Selbststudium:
- Potenz, Potenzgerade, Potenzebene
- Sehnensatz, Tangenten-Sekantensatz
|
| Wo 6 |
|
|
| Wo 7 |
|
|
| Wo 8 |
|
|
| Wo 9 |
- Testnachbereitung: Test
- Übungen
|
|
| Wo 10 |
|
|
| Wo 11 |
|
|
| Wo 12 |
|
|
| Wo 13 |
|
|
| Wo 14 |
|
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
- Übungen
- Test: Nachbearbeitung
- Praktische Übung am Computer: Mehr Anfreundung mit MatLab,
Session nach eigener Neugier
|
(Achtung: Link kann hier etwas dauern)
|
| Resultat |
|
|
| S1 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Montag Ausfall: Einführungstag
- Einführung
- Vorstellung
- Learningmanagement
- Koordinaten
- Lerntechnik: Vergessenskurve, Lernplateau,
- Lernen = erarbeiten * verstehen * behalten * anwenden.
Faktor =0 ==> Produkt = 0.
- Wozu Mathematik?
- Zahlen, geometrische Gebilde, u.s.w.: keine materiellen
Realitäten.
- Modell (in der Sprache der Mathematik) - Realität ==>
Naturwissenschaft - Mathematik
- Skalare, Vektor als Pfeilklasse, Repräsentant
|
|
| Wo 2 |
- Rep. Algorithmen, Zahlen, Vektoren
- Matlab und Zahlen
- Technik: Approximationen, Messungen, Matlab: Numerikprogramm
- Binärdarstellung von Zahlen
- Matlab ursprünglich Fortranroutinen-Sammlung, traditionell
eingeführt in Bu bei Ing.
- Datentypen: Integer => 2 Byte, Bereich....
- Real: 8 Bytes 16 Halbbytes, Ziffern Platz in Halbbyte ==>
15 Zeichen
- Problem: Binär werden abbrechende Dezimalbrüche oft
periodisch == > Näherungen, Fehler (1 ungef. auf 1016
genau)
- Problem bei Summation: Grössere Zahlen zuerst: Beginnt mit
grösserem Fehler, Einfluss dann auf genaue Stellen kleinerer
Zahlen. Besser mit kleineren Summanden beginnen.....
- Problem der Operationsabfolge bei Berechnungen. Ausdrücke oft
so umformbar, dass genauere oder ungenauere Resultate entstehen
(Fehlergrösse durch Weg beeinflussbar).
- Bsp.: Rekursives Berechnen von abgebrochenen Reihen oft
besser....
- Blick auf Computeralgebra-Programme.
- Vektoren
- Geometrische Definition, Repräsentant, Pfeilklasse, Länge,
Betrag, Norm
- Koordinatensystem, Vektoren in Koordinatensystemen,
Spaltenvektoren, Transponierte
- Gleichheit von Vektoren
- Addition
- Multiplikation
- Gesetze
- Einheitsvektoren
- In Polarkoordinaten
- Diverse Beispiele
- Praktische Übung am Computer: Anfreundung mit MatLab, erste
Session nach eigener Neugier
|
|
| Wo 3 |
- Skalarprodukt
- Motivation: Arbeit
- Definition
- Gesetze, Berechnung
- Beispiele: Orthogonalzerlegung, Koordinatengleichung der Ebene,
Abstand, Normalenebene zu Vektor, Abstand zwischen Ebenen u.s.w.
|
|
| Wo 4 |
- Vektorprodukt und Flächenprodukte (Komponenten)
- Eigenschaften
- Merkregeln
- Übungen
- Spatprodukt
- Idee
- Berechnung und Regeln
- Beispiele, Anwendungen: Abstandsberechnung
- Übungen
|
|
| Wo 5 |
- Ausgewählte Übungen
- Nochmals Übungen
- Nochmals Übungen
|
|
| Wo 6 |
- Ausgewählte Übungen
- MatLab-Probleme
- Test
|
|
| Wo 7 |
- Lineare Gleichungssysteme
- Problematik
- Matrizen, Matrixschreibweise
- Matrizentypen
- Gauss-Jordan-Algorithmus
- Beispiele
|
|
| Wo 8 |
- Ungelöste Probleme: Besprechen von Lösungen
- Beispiele zum Gauss-Algorithmus:
- Keine Lösung
- Genau eine Lösung
- Unendlich viele Lösungen (geometrische Struktur)
- Rang der Matrix
- Zeilenrang uns Spaltenrang
- Homogene Lösungen (Vektorraum), inhomogene Lösung, partikuläre
Lösung
- Ordnung, Dimension,
- Satz zu Ordnung, Rang und Dimension
- Beispiele
|
|
| Wo 9 |
- Gleichungssysteme und Matrixaddition
- Beispiele
- Gleichungssysteme und Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
- Beispiele
- Regeln für die Matrixaddition und die Multiplikation mit einem
Skalar
- Beispiele
- Gleichungssysteme und Multiplikation von Matrizen
- Beispiele
- Regeln für die Multiplikation von Matrizen
- Problem der Nullteiler: Kürzungsregel gilt nicht
- Aus A x1 = b und A x1 = b folgt nicht x1
= x2 (Beispiel).
- Inverse Matrix zu A braucht nicht zu existieren.
- Diverse Gleichungssysteme mit derselben Matrix zusammen: Matrixschreibweise.
- Falls A X = E lösbar: X heisst Inverse von A.
- Linksinverse = Rechtsinverse.
- Matrixprodukt nicht kommutativ:
- Bruchschreibweise mit Nenner nicht sinnvoll.
- Matrixprodukt: A x = b; B y = x ==> A(B y) = b lösbar. A B = Matrixprodukt.
- Gauss-Algorithmus auf Matrizen übertragen: A = L U, L = lower
inverse, U = upper inverse (Dreiecksmatrizen)
- L (U x) = b, A x = (L U) x = b; L, U finden, L y = b lösen ==> y, U x = y lösen ==> x
- L berechnen: Li A = Ai so ansetzen, dass in der i. Spalte unterhalb der Diagonalen 0-er stehen. Li einfach kombinierbar.
- L = Ln …L2 L1
|
|
| Wo 10 |
- Quadratische Matrizen und Determinanten:
- Inverse Matrix: Postulat, Gleichungssystem für die Inverse: A . X
= E, entweder eindeutig lösbar - oder keine oder unendlich viele
Lösungen.
- Beispiele
- Linksinnverse = Rechtsinverse
- Matlab-Code
- Probleme: Existenz, Eindeutigkeit, Berechnung
- Formel für die Inverse für eine 2 x 2-Matrix
- Existenz genau dann wenn Determinante ungleich 0 genau dann wenn
Gleichungssystem A x = b eindeutig lösbar
- Problem der Determinante: Definition als Volumen, Berechnung mit
Volumenregeln,....
- Beispiel Determinantenberechnung, Entwicklungssatz
- Diagonalisierungsmethode
- Regeln für Determinanten: Multiplikation mit Skalar, Produkt,
Inverse,...
- Übungen
|
|
| Wo 11 |
- Arbeit an den Übungen 1 - 30
- Jacobi-Verfahren
- zur Berechnung der Lösung einer Gleichung
- zur Berechnung der Inversen einer Matrix
- Übungen 1 - 35
|
|
| Wo 12 |
- Zeigerdiagramme
- Beispiel Federpendel
- Harmonische Schwingungen: Amplitude, Kreisfrequenz, Frequenz,
Periode, Phasenverschiebung
- Addition von Sinusschwingungen mittels Zeigerdiagrammen
- Beispiele
- Übungen
- Einführung in die komplexen Zahlen:
- Definition als Punkte der Ebene C, Zusammenhang mit
Vektoren
- Addition und Streckung wie bei Vektoren
- Imaginäre Einheit
- Konjugiert komplexe Zahl und Betrag
- Multiplikation und Division
- Darstellung in Polarkoordinaten, Multiplikation als
Drehstreckung
- Exponentialdarstellung z = r ei Winkel
|
|
| Wo 13 |
|
|
| Wo 14 |
- Test retour
- Repetition komplexe Zahlen: Addition, Multiplikation, Division,
Betrag konjugiert komplex
- Repetition Drehstreckung und Multiplikation
- Komplexe Funktionen: Z.B. Polynome, Hauptsatz der Algebra
- Beispiel
- Komplexe Wurzeln, Einheitswurzeln, n-Eck
|
|
| Wo 15 |
- Repetition komplexe Zahlen
- Komplexe Wurzeln im Detail, Problem der Vielfalt, Beispiele
- Die Konstruktion der Inversen einer komplexen Zahl mittels
Einheitskreis
- Komplexe Funktionen: Von C in C und von R in C
(Wege, Spur, Kurven - 3D-Graphen möglich)
- Bemerkung zu konformen Abbildungen
- Lineare Funktion: Geradentreue
- Sichtbarmachungsproblem: 4-dimensional, Gitterabbildungen als
Ersatz
- Inversion am Einheitskreis: Die Menge der Geraden und Kreisen wird
auf die Menge der Geraden und Kreise abgebildet
- Komplexe Exponentialfunktion: Zusammensetzung von Streckung und
Drehung, rechnen wie mit Potenzen.
- Bemerkung zu weiteren Funktionen, Beispiele
|
|
| Wo 16 |
- Übungen zu den komplexen Zahlen
|
|
| S2 Woche |
Stoffinhalt (grob) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
- Beispiele zu
- Lage von Geraden und Ebenen, Beispiele aus dem Skript p.10 und p.
13
|
|
| Wo 2 |
- Beispiele zu
- Umrechnungen zwischen Parametergleichung und
Koordinatengleichungen p.14, 15
- Parametergleichung mit Normalenvektor durch Punkt p. 18
- Parametergleichung und Abstandsberechnungen p. 18, 19
- Orthogonalzerlegung und Fußpunkt p. 20
|
|
| Wo 3 |
- Beispiele zu
- Flächeninhalt und Vektorprodukt
- Gleichung der Ebene durch drei gegebene Punkte und
Normalenvektor
- Abstand eines Punktes zu einer Geraden
- Abstand eines Punktes zu einer Ebenen
- Ebene orthogonal zu zwei andern Ebenen und durch gegebenen
Punkt
- Volumen mit Spatprodukt
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung, Denkanstoss: Löse das Problem erst einmal mit 3
Stützen und 3 Kräften. Dieses Problem ist eindeutig lösbar. Füge
dann eine 4. Stütze lose hinzu, die spannbar ist, z.B. durch eine
Spannschraube. Anfangs ist die Kraft in dieser neuen Stütze 0.
Beginne dann zu spannen. Mit der Zunahme der Kraft in der neuen
Stütze durch das Spannen werden die andern bisherigen Stützen
entlastet. Diese Kraft nennen wir einmal für den Moment
"Vorspannkraft". Diese Vorspannkraft ist nun so groß, wie
man sie eben durch den Schraubenmechanismus vom Menschen einstellt
wird. Das gestellte Problem lässt sich daher auf den Vorspanner und
nicht auf die die Physik resp. die Mathematik (Vektorgeometrie)
alleine abwälzen. Man hat also nicht ein Problem der Berechnung
oder der Methodenfindung vor sich, sondern der Zuordnung zu einem
System resp. zu einer Wissenschaft. Der Vorspanner gehört in diesem
Fall auch zum mit Problem. Das Problem hier reduziert sich hiermit
also auf das Erfassen des Systems. Frage: Wie ist es nun,
wenn die 4 Stützen z.B. im voraus schon verschweißt sind, also
nichts mehr gespannt werden kann?
|
Hinweis zum Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit
gegebener Richtung: Siehe links nebenan
|
| Wo 4 |
- Problem der Aufteilung einer Kraft in 4 Kräfte mit gegebener
Richtung behandeln
- Rep.Spatprodukt, Determinante und Volumen, Abstand
- Kreis, Kugel, Tangente, Tangentialebene
- Kegelgleichung
- Zylindergleichung
|
|
| Wo 5 |
- Repetition Matrizenrechnung
- Repetition Determinanten
- Repetition Gleichungssysteme
|
|
| Wo 6 |
- Übungen zum Stoff der letzten Lektionen.
|
|
| Wo 7 |
|
|
| Wo 8 |
- Test retour
- Erklärungen zu Ortskurven (Ortsvektorfunktionen), gerechnete
Beispiele
- Tangentenvektorberechnung für einen Punkt auf einer Ortskurve
- Berechnung der Kurvenlänge
- Körperdarstellungen und interaktive Internetgrafiken.
- Begriff "lineare Abbildung", Zusammenhang mit Matrizen
bei Abbildungen von Vektoren
- Strukturerhaltende Abbildungen: Operationen im Urbild- oder im
Bildraum möglich.
- Eine lineare Abbildung bildet das 0-Element immer auf 0 ab.
- Interpretation einer Matrix als Liste der Bildvektoren der
Basisvektoren
- Abbildung eines beliebigen Vektors, Beispiele
|
|
| Wo 9 |
|
|
| Wo 10 |
- Test Verbesserung
- Repetition lineare Abbildungen
- Urbild, Kern, Image
- Image und Kern sind Vektorräume
- Dim(Urbildraum) = Dim(Image) + Dim(Kern)
|
|
| Wo 11 |
Skript lineare Abbildungen:
- Seite 6: Populationsmodell kurz studieren. Die Fragen unten werden uns später beschäftigen.
- Seite 7: Drehungen uns Spiegelungen in der Ebene: Drehmatrix uns Spiegelungsmatrix sollten bekannt sein.
- Seite 8: Man sollte zur Einsicht kommen, dass das Resultat einer Drehung eines Punktes um den Ursprung bei fixem Koordinatensystem gleichwertig ist zum Resultat der Rückwärtsdrehung des Koordinatensystems bei fixem Punkt.
- Seite 9: Projektionsmatrix sollte bekannt sein.
- Seite 10: Stoff sichten. Wir werden dann hier anknüpfen.
|
Selbststudium Programm!
(Skript über lineare Abbildungen)
|
| Wo 12 |
- Drehmatrix 2D
- Spiegelungsmatrix 2D
- Abbildung eines Punktes versus umgekehrte Abbildung des
Koordinatensystems
- Projektionsmatrix 3D
- Drehung im Raum 3D
|
|
| Wo 13 |
- Nochmals Zusammensetzungen von Abbildungen, Matrixprodukt, Problem
mit Kern, Image, Rang und Ordnung
- Nochmals inverse Abbildung, inverse Matrix
- Eigenwertprobleme
|
|
| Wo 14 |
- Übungen zu Test: Eigenwertprobleme, Matrixkomposition
|
Testvorbereitung siehe unter Übungen
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
- Übungen, Schlussbesprechung, Testergebnis, Nachtest
|
|
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
|
Vgl. (*) nebenan |
| Wo 2 |
|
|
| Wo 3 |
- Bis Übungen 22-27 (Skript). Achtung: Nicht Übungen mit
grossem Zeitaufwand lösen, die man längst beherrscht. Kräfte auf
diejenigen lenken, die neu sind oder von denen man den Weg nicht auf
den ersten Blick schon sieht!
|
|
| Wo 4 |
- Bis Übungen 30 - 39 (Skript). Achtung: Nicht Übungen mit
grossem Zeitaufwand lösen, die man längst beherrscht. Kräfte auf
diejenigen lenken, die neu sind oder von denen man den Weg nicht auf
den ersten Blick schon sieht!
|
|
| Wo 5 |
|
Selbststudium vgl. nebenan (*). |
| Wo 6 |
|
Selbststudium vgl. nebenan (*). |
| Wo 7 |
|
Test nachbereiten:
ProblemsSolutBachelor.html
|
| Wo 8 |
- Arbeite weiter an den Aufgaben 1 - 19
|
|
| Wo 9 |
|
|
| Wo 10 |
- Arbeite weiter an den Aufgaben 1 - 30
|
|
| Wo 11 |
- Arbeite weiter an den Aufgaben 1 - 35
|
|
| Wo 12 |
- Arbeite weiter an den Aufgaben 1 - 35
|
- Testvorbereitung: Angegebene Aufgaben
|
| Wo 13 |
- Aufgaben zu den komplexen Zahlen 1 - 11
|
|
| Wo 14 |
- Aufgaben zu den komplexen Zahlen: Arbeite weiter an den Problemen
1 - 20
|
|
| Wo 15 |
- Aufgaben zu den komplexen Zahlen: Arbeite weiter an den Problemen
1 - 20
|
|
| Wo 16 |
- Aufgaben zu den komplexen Zahlen: Arbeite weiter an den Problemen
1 - 20
- Vorbereitung Modulprüfung
|
|
| Blöcke |
Übung (Ort, Nummer, gegebenenfalls entsprechend für
Lösung) |
Bemerk. |
| Wo 1 |
|
|
| Wo 2 |
|
|
| Wo 3 |
- Weiterarbeiten an Serien 1 - 5 (Anhang zu Vektoralgebra)
|
|
| Wo 4 |
- Weiterarbeiten an Serien 1 - 6 (Anhang zu Vektoralgebra)
|
|
| Wo 5 |
- Weiterarbeiten an Serien 1 - 6, dazu 33 - 36 (Matrizen,
Determinanten, Gleichungssysteme)
|
|
| Wo 6 |
- Weiterarbeiten an Serien 1 - 6, dazu 33 - 36 (Matrizen,
Determinanten, Gleichungssysteme als Prüfungsvorbereitung)
|
|
| Wo 7 |
|
|
| Wo 8 |
- Ausarbeitung der Korrektur
|
|
| Wo 9 |
|
|
| Wo 10 |
- Serie 10 (lineare Abbildungen)
|
|
| Wo 11 |
|
|
| Wo 12 |
|
|
| Wo 13 |
-
Serie II/ 11 ohne Aufgabe 4
-
Serie II/ 12 Aufgabe 3
-
Testvorbereitung
|
|
| Wo 14 |
-
Besprechung Umfrage
-
Testvorbereitung
|
|
| Wo 15 |
|
|
| Wo 16 |
|
|
